魔方公理

乌木

48楼我说：“……好像凡是最后出现仅仅要求任何两个角块要求对换，也是非法的，即该魔方一定是错装了的。是不是？是的话，您上面所说的怎么没有这一条呢？我觉得，这个地方如果遗漏了什么错装态的话，对以后计算组装态总数以及其中的合法态数有莫大影响的。即，要么答案不对；要么答案碰巧对但是过程有错。”

刚才看了第八章，原来您计算不合翘翘板原理的角块置换组合数是算总帐的，即文中说的

“单独看角块，其不符合跷板原理的置换组合数为：

　　　　8! - 20160 = 20160 ”

再加上您的计算大方案是“① × ② + ③”， 那就不影响最后结果4.3×10^19 了，与前面讨论错装态时遗漏不遗漏什么态就无关了。

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顺便问问，如果不计“后果”（即不管能否六面复原）地组装3阶魔方的角和棱，则状态总数为

8！×3^8×12！×2^12＝5.2×10^20 ＝12×4.3×10^19。这里的12倍我下面的解释对不对？

这12倍应该是3×2×2；在算“合法态”时，一，不用3^8，要用3^7作为合法角向总数；二，不用2^12，要用2^11作为合法棱向总数；三，不用8!×12！，要用8!×12！/ 2 作为角和棱的合法排位总数。这样就解释了12倍的问题。

原来，在魔方世界里，“好人”少，“坏人”多哪！

[此贴子已经被作者于2006-11-30 11:17:32编辑过]

乌木

57楼说的“8!×12！/ 2”，细说起来是否这样：

排角：a＝8！/2 合法（即符合翘翘板原理），b＝8！/2非法；

排棱：c＝12！/2合法，d＝12！/2非法；

组合：a×c＝8！×12！/4合法；b×d＝8！×12！/4 也是合法！（a×d和c×b是非法的！）

所以，排角排棱的合法组合总数就是2×8！×12！/4＝8！×12！/2 。

乌木

魔方吧主页－－魔方教室－－魔方理论－－rongduo兄的“魔方组合原理”终于啃完了。

味道好极了！

有了这“原理”垫底，今后再读理论区冬兄的几篇文章应该会又有收获的。

乌木

61楼说：“二阶合法总态：24*21*18...*6=3^7*8!=88179840（未消同态）”

那么，消同态后就是88179840 / 24 ＝3674160，就是二阶魔方的状态总数了。对吗？

此外，上面等号左边写全了的话，应该是 24×21×18×15×12×9×6，对吗？这样，我就没问题了。最好是24×21×18×15×12×9×6×1，更确切了。以前我看到您的文章中写成

“边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3”，

就令我费解了。（也许现在已更正，我现在也不必去查看了。）

乌木

67楼说：“边角块簇簇内状态数=24×21×18×15×12×9×3”

是不是这么来的：
角1取位可能数 8，取向可能数3， 8×3＝24；
角2 取位可能数 7，取向可能数 3， 7×3＝21；
角3取位可能数 6，取向可能数  3， 6×3＝18；
角4 取位可能数 5，取向可能数   3， 5×3＝15；
角5 取位可能数  4，取向可能数  3， 4×3＝12；
角6取位可能数   3，取向可能数  3， 3×3＝ 9；
角7 取位可能数  1，取向可能数  3， 1×3＝ 3；
角8 取位可能数  1，取向可能数  1， 1×1＝ 1。

组合：24×21×18×15×12×9×3（×1）。

如果这样理解是对的，那么我66楼的话就不对了。我在两处都是凑答案的：看到最后是×6，我就理解为角7取位数为2；看到最后是×3，我就理解为角7取位数为1；而那个×6只是已经乘上两倍后的结果，跳过了乘两倍之前的、最后的×3，两步并作一步走啊，我却看不出来。

角7究竟取位可能数是2还是1？今天看了67楼的最新说法，我得设法理解角7取位可能数只有1，尽管轮到角7取位时尚有两个空位。这应该是由于受制于魔方定律吧？我还搞不大明白。角8最倒霉，毫无自主权，1×1＝1，别无选择，这倒可以理解。

接着还要×2 / 24，才获得3674160：

24×21×18×15×12×9×3（×1）×2 / 24＝3674160。

“难得，难得。”先凑对了再说，对“×2 / 24”再慢慢琢磨。

[此贴子已经被作者于2006-12-3 0:27:54编辑过]

乌木

哈，新的一天的阳光－－72楼又说：“我的计算方法是为了兼顾N阶魔方而制定的，就单簇计算而言，如二阶，根本无须考虑扰动关系（考虑也是正确的），二阶任意二个块可以交换位置，第七位是6,第8位仍然没的选了，如果是这样，算式应该是：

（24*21*18*15*12*9*6）/24”

原来如此，冬兄是用“三交换”求状态数，角7的状态数一般N阶为1×3；对于二阶，为2×3。所以我看到的二阶时×6或×3都对，区别在于接下来不乘两倍或乘两倍。

我读冬兄文章时，没有也不会用“三交换”思考，而是用一般的排列组合概念－－逐个地、任取一个角块去“占位”，到第7角块时要受制于魔方定律。但具体排第7个角块时，我就糊涂了－－空位置还有两个，老七的“选位权”是1还是2呢？看到冬兄的算式最后是×3，我就以为老七的选位数是1；看到×6，就以为是2。也就是说，我还不会运用魔方定律，也即跟不上冬兄的思路（这怪我，与您无关）。往往为弄清一个点滴小问题，就要多次烦您不少精力。所以上面我说“难得，难得”。

而rongduo兄的“魔方组合原理”，对我来说，啃起来基本很顺畅。

乌木

我看下来，那“魔方组合原理”第八章说，用的是① × ② + ③ 。

① × ②是，符合“翘翘板”的角态数与符合“翘翘板”的棱态数组合后的角棱态总数；
另，不合“翘翘板”的角态与不合“翘翘板”的棱态组合后的角棱态又符合“翘翘板”，
其总数③经分析数值上等于① × ②，
故① × ② + ③＝2 ×（ 20160 × 239500800 × 2187 × 2048）＝ 43252003274489856000 。

他还简单提了另两种算法：
据魔方定理什么的，得（8！×3^8×12！×2^12）/12  ；
据群论的奇偶置换什么的，得（8！×12！×3^7×2^11）/ 2  。

说错的话，请各位指正。

[此贴子已经被作者于2006-12-4 11:54:11编辑过]

乌木

我78楼仅仅是对rong兄文章的初步理解。照冬兄79楼一说，我也觉得好像有问题了。我是没能耐说明什么的，必得rong来说的。而rong兄要双休日上网，我且把对冬兄79楼所提问题本身的理解及其他，叙述如下。

第8个角的取向数只有1，被“剥夺”数为2，因此，合法的角取向总数为3^7×1，非法的为3^7×2 。

而rong兄在计算那个“ ③”的数值时，先组合非法角置换和非法棱置换，得到“非非得合”的角棱置换态数（8！/2）×（12！/2）＝20160 × 239500800，然后考虑角和棱的取向－－但只用合法取向数3^7×2^11＝ 2187 × 2048，根本不理睬我这里上述的、非法的角取向数“3^7×2”　。所以 ，③就等于20160 × 239500800 × 2187 × 2048＝① × ②  了 。

可见，冬兄认为rong应该用“3^8-3^7＝3^7×2”来计算③；而rong没有用，用了“3^7”。

是不是分歧在此？

我模糊感到，用“3^8-3^7＝3^7×2”还是用“3^7”来计算③，涉及某种逻辑问题。好像是，如果用了“3^8-3^7＝3^7×2”的话，岂非又出现“不符合‘翘翘板’”状态了吗？仅是初步感觉，对排列、组合、逻辑之类的问题，我很怕。您看，我一会觉得rong算得对，一会觉得rong算得有问题，正说明我不懂。

这样争争应该可以弄清楚的吧。

乌木

是不是这样分析：
（8！/2）个非法角排位态与（12！/2）个非法棱排位态组合后，得到（8！/2）×（12！/2）个合法角棱排位态，犹如“废物利用”，也必须“利用”；
但是没有哪个态，能够和（3^7×2）个非法角取向态中的任一个态，搭配产生合法态呀，所以，为何计算中要用（3^7×2）呢？用了反而坏事呀。这好比，魔方“生产”中，只能把属于（3^7×2）个非法角取向态的“半成品魔方”送去回炉（重装），不能用于装配的。
此外，大家讲合法的角取向态总数时，不说是3^8，也不说是3^7×2，而都说是3^7，这不正是服从合法魔方的定律吗？也就是说，“翘翘板”已经用于计算“角取向态总数”了嘛。

[此贴子已经被作者于2006-12-4 19:15:41编辑过]

乌木

您说“从簇层面，8！和12！根本不存在什么非法状态……”，我一直以为它们分别都是一半合法，一半非法的呢，我得重新认识。此前我认为是：

是不是说，假如一批半成品魔方，棱块是装对了的，让我装角块的话，我有8！种排角位法，都可以交货？或者，假如一批半成品魔方，角块是装对了的，让我装棱块的话，我有12！种排棱位法，也都可以交货？（此处暂不论取向问题，即交出的货还是半成品，以后还要调整取向。）

显然不对。那么，一定是给我12！个装好了棱的魔方，这12！个棱态位置情况无一重复，我的8！个角态必须挑出符合某种定律的一半去配12！/2个符合定律的棱态；我手中另8！/2个不合定律的角态只能去配不合定律的12！/2个棱态。（此处，暂不考虑取向问题。此外，“配”指组合，即相乘，不是那种一个螺母配套一个螺钉的一一对应。）

也就是说，给我12！个棱位对而取向暂不论的半成品，我可以虚拟地放大（组合）出 12！×8！/4 + 12！×8！/4＝ 12！×8！/2个棱、角位置都正确的、取向暂未拨正确的魔方来。

区分角位置态或棱位置态为两部分是根据能否簇内复原位置。

今天，我的上述观念有问题了？我将不可能区分8！个态为两部分？也无法区分12！为两部分？

容我想想。