魔方公理

rongduo

QUOTE:

以下是引用邱志红在2006-11-28 12:21:45的发言：

以下是引用rongduo在2006-11-24 20:42:34的发言：

至于邱君的帖子，我读了一遍，初步的印象是，你是完全从基础群论出发的，这是一条正路，就我所知，这也许是唯一的魔方理论研究的康庄之路。人们可以发现、罗列很多魔方现象，利用群论却可以给出优美的理论解释。如果读了我的小书，你可能会发现，我的书貌似“通俗”、“初等”，其实却偷用了群论的方法——事实上，阐述跷跷板原理时，我所使用的数学工具正是交代群。

[em01]

    看得出，你用了群论的方法。但我却没有，这我更清楚

  我用的是《高等代数》里的排列，《高等代数》里的排列是什么呢？我具体地介绍一下：《高等代数》里的排列只是为了确定  行列式每项前面的正负符号  而引入的一个概念。纵览我四年学习的数学专业课程，再也没有发现《高等代数》里的排列有其他任何应用，更不用说与群论的关系了。

  而且从我的论述过程可以看出我都是用自然数来描述和论证的，其间也用到符号，但符号也是代表自然数的。甚至连函数，方程等都没有用，应该是够初等的了，妇孺皆懂了

  现在我澄清这些东西是为了以正视听，消除大家对我的帖子那种敬而远之的心理。我的口号：

 
     玩转魔方的状态，我能，你也能

邱君特意申明你的理论只用到排列论，而没用到群论，如果真是这样，那只能算我猜错了。这，需要倒歉吗？如果你大度说一声：没关系！那么我将非常感动。不过，还要请看我下边的两点说明。

第一，也许，你是在线性代数课程中接触到排列论，而我却正是在群论的知识体系中了解到排列的奇偶性理论。在科学上造假的，一般都是科学的行家。我不是行家，所有还没有水平、也没有胆量去造假或撒谎。如果你认为我故意胡拉乱扯，用群论高攀排列论，那么，就请去看一看北京大学数学力学系编写的《高等代数》第十章§1（人民教育出版社1978年3月第一版）。在那里，引用了排列论来讨论变换群问题。而我正是从那里第一次得知数学中还有一个知识点叫作排列的奇偶性理论。

第二，你在声明的结尾说：“现在我澄清这些东西是为了以正视听，消除大家对我的帖子那种敬而远之的心理。”这好象是说，我诬陷你的理论为群论，居心不良，其心可诛！我认为，你太敏感了。我们讨论的只是一种玩具，并不是在玩俄罗斯轮盘赌。讨论中错误、误会或许有之，但犯得着戒心重重吗？更何况，群论只是一个科学名词，我用它来诬陷、设局，除了证明我的脑子有水以外，什么实际效果也不会有的。不是吗？

rongduo

QUOTE:

以下是引用pengw在2006-12-1 18:43:39的发言：

显然，计算有问题，绝色三阶从组装角度，有11种错误，外加一种合法的，总共12，三阶组装状态总数除12，就是纯色魔方状态总数.

二阶组装总态：24*21*18...*3=3^8*8!=264539520（未消同态）

二阶合法总态：24*21*18...*6=3^7*8!=88179840（未消同态）

二阶所有组装类型数：264539520/3674160=3

二阶非法组装类型数：3-1=2

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为什么计算值44089920会比我的计算值88179840小一半？答案很简单，没有乖上扰动关系数（2n阶=2^n,二阶为2)，这说明扰动关系的角色仍然没有引起必要的重视，rongduo的数据没有考虑扰动关系作用。要想计算高阶魔方状态数,忽略扰动关系数是不可能的.

在你所引用的乌木的帖子中，乌木性急了一点，未读完全书（虽然快要读完了），就开始猜测总组合数，这个自然难免出错。由于已经说明是猜测，我想，连乌木自己也不需要负什么责任。至于猜测之不妥，从后续的帖子看，乌木先生已经意识到了。

你我的论域和出发点差别很大，但完全可以和平共存。古贤曾谓“君子和而不同”，至哉斯言！

你的扰动概念是一个很好的、极具概括力的东西，在你的理论中占有重要位置。不过在我的系列中不需借重它。我是运用置换（或排列）的奇偶性质，来处理你所说的扰动问题的。

现在，是将这个主题帖子束之高阁的时候了——已经有了乌木兄一丝不苟的审读（那多有错乱的网页，实属难能！），而不同的意见也得到了很充分的发表。

感谢忍大师，时有勖勉，让我特感受用；而其批评也警醒着我，促我如履薄冰，审慎地对待自己的理论。

乌木兄执着于探寻魔方奥秘，其精神让我至感敬佩和亲切。由于他发帖甚多，我还不能全部细读（很遗憾，我只能在双休日上一上网）。但在将来修订拙作的时候，将以乌兄的帖子作为重要参考。

还要感谢邱志红君，是他将这个起始于两年之前的、已经尘封的主题重新翻检出来（连我自己都有隔世之感！），使得我再一次有机会与各路高手进行思想的交流和碰撞。这无论如何不是坏事。争议中语言或有冲撞，望邱君谅之！

[此贴子已经被作者于2006-12-3 14:51:11编辑过]

rongduo

QUOTE:

以下是引用pengw在2006-12-4 12:09:36的发言：

依据跷跷板原理：

中棱块和边角块各有一半的置还状态与另一半的状态对立平衡，计算也证实了这一点，依广义性：

中棱块置换的对立状态数：12！-12!/2                          满足跷跷板原理

边角块置换的对立状态数：8!-8!/2                                满足跷跷板原理

中棱块色向的对立状态数：2^12-2^11,依然为1/2，       满足跷跷板原理

边角块色向的对立状态数：3^8-3^7，变成2/3，            违背跷跷板原理

中心块色向的对立状态数：4^6-4^5,变成了3/4，           违背跷跷板原理

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照rongduo的计算原理，相互对立状态的总和等于魔方总状态，因此有：

 20160 × 239500800 × 2187 × 2048+20160 × 239500800 ×（ 3^8-3^7）×（2^12-2^11）

显然计算结果是正确值的1.5倍,而rongduo的计算式违背了自已定义的计算原理。难到跷跷板原理只对位置置换起作用，对色向无效？以上问题，可能需要作者向大家作进一步的说明。

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在排掉二、三阶色向的前提下，可置换的簇状态各占一半的对立，是正确的，三阶的扰动方程也预言了这一点。其实任何可置换的簇都有这种各占一半的特性，即所谓的基态簇与扰动簇的关系。三阶有二种扰动关系，所以，要么全是基态簇，要么全是扰动簇，从这一点计算出魔方总状态，是可以的，但角块色向与中心块色向并不遵寻跷跷板原理，作者只是直接引用色向状态而非色向对立状态，显然与自已的计算原理违背，但结果碰巧是正确的

对于四阶，基态簇与扰动簇组合关系跟三阶完全不一样，共有四种搭配方式，很难用此消彼长的跷跷板来解释，而三阶上的角色向不满足跷跷板原理的问题，在四阶或以后N阶都存在。

哈哈，很好! 彭君你像是原告，乌兄像是辩护人，本人以被告的身份出现，至于法官，则是其他魔友。我对辩护人的辩护基本满意，下来就请听被告忙里偷闲的自辩。

首先需要将书中到本章节为止的算法与你的根据自己的理解加进的算法区别开来。

先说书中的算法。本节进行的是汇总计算，而所有引用的数字是从前面几节中的明细计算得来的。比如那个3^7，其来路见本章第一节，这里不作新的补充。

下来看你的质疑。需要声明，跷跷板原理只是指出正确的魔方图案应该是什么样的，至于这样的图案有多少，则需借用组合论的公式。跷跷板原理不能直接推出你所列示的1/2或2/3 或其它数字。简单地说，跷跷板原理本质上是描述的而非计算的，我们用它来指导组合计算。故而，你用是否等于1/2或其它y/x来判定是否符合跷跷板原理，在本书中没有根据，或者说，那只是你的理解，客观上与本书内容无关。等于1/2未必一定符合跷跷板原理，不等于1/2也未必不符合跷跷板原理。其实本书至此对1/2之类并不很看重，只是在算出结果后(1/2之类并不是计算的前提!)顺代指出，“恰好”有1/2这个数。

另一点，你的质疑思路是包括错误组装在内的（姑且称之为“容错组装“），而本书至此的计算并未考虑容错组装。至于从容错组装角度的计算，见下一节的两种算法。

现在深入一步。其实，1/2和1/3这两个数还真的不是“恰好碰上”的，但其证明乃是群论的任务。在下一章提供的算法(乙）中可以约略看出那个1/2在群论中的来路，那个1/3 (你误认为是2/3) 的来路从本章第一节就可以看出，而用群论方法也能得到。

概括起来看，问题出在你质疑的思路与书中的思路完全不相合（你是否稍微认真地浏览过前三节？)，质疑的内容与质疑对象的内容关联性不大。你和被质疑的对象之间基本上是各说各话。

剩下的是中心块问题。现在我明确指出，跷跷板原理用于中心块无效（以前我曾误以为可以推广到中心块），这是它的局限性。对此以后再谈。

自辩结束。我不知道“原告”能在多大程度上接受我的自辩。

rongduo

刚才发现，有一个叫Ericsong的人，把我的小书的前五章以他的名义挂在了一个叫“数字魔方”的网站：

http://www.wystudy.com/bbs/dispbbs.asp?boardid=45&id=5242

我对此事很感不爽，但不知道怎么处理才好，特在此向吧主cube_master反映并求示下。

[此贴子已经被作者于2006-12-6 17:47:00编辑过]

rongduo

回复98楼pengw——

一、       关于中心块问题

此问题你反复问过，我也反复答过。现再次重复作答。

我的理论不包括中心块。这种研究是可以允许的，因为，我们可以不管边角块而单独去开解中心块，也可以不管中心块去单独地开解边角块，此其一；其二，事实上存在着不理彩中心块方向的魔方，这就是原始的鲁毕克魔方。(在下文中，如果没有说明，则所说的魔方即指这种原始的鲁毕克魔方)。你对中心块很有研究，但那不是我研究的课题。今后对任何来自中心块角度的质疑，一概不再作答。

在我看来，现在我们看到的形形色色的或许更为复杂的魔方，都是在鲁毕克的启示下而来的，所以其发明者未必比鲁毕克更伟大。有时候，我们即使站在了巨人的肩上，也不一定就比巨人伟大。当今之世，魔方领域中最伟大的人物也许仍然是鲁毕克(如果他还健在的话)。

二、我的理论对于鲁毕克魔方而言是完备的，不存在任何根本性的漏洞。该理论隐含的背景是群论，我的主要贡献在于提出、并不着色相地用群论刻画了跷跷板原理。此外，我的小书逻辑性和可读性都是很强的。

三、我对忍兄的提问艺术实在不敢恭维。在回答了忍兄79楼的提问后，忍兄现在的回帖不是步步深入的反诘，或指出我的回答中的错误，而是突发奇招，提出一系列与前帖几乎完全不衔接的问题，或再次提出以往已经争论过的问题，以示反驳。像这样不断地改换辨论的主题，很显然辩论永远不会结束，更谈不上输赢，直到一方身心疲惫退出辩论。比如多次重复地以中心块问题来问难，而我又被迫多次重复地回答，就是一个很明显的例子。这样的辩论难免流于影子的战斗或唐吉诃德与风车的对决。 (未完，见下一帖)

rongduo

(接上一帖)

四、对忍兄这次所提主要问题，严格说来，几乎都可以在小书中找到答案。但我仍然愿意对其主要部分再回答一次。

问：运用跷跷板原理是否可以预言魔方的一切状态？

答：那是一定的。请读第八章第一至四节。白纸黑字，有假包换!

问：跷跷板原理有何用？

答：仅以小书的内容为例：第一，我用跷跷板原理证明了我在第二章所给的开解法的完备性，也就是说，证明了我的开解法足以开解任何被转乱的鲁毕克魔方，除此以外不需要别的转动。(我不知道忍兄是否整理过你的开解法，如果已整理出来，最好也做出符合逻辑规范的完备性的证明)。

第二，我用跷跷板原理证明了魔方表示定理，此定理把天文数字的错误组装化归为11种、最多涉及三个方块的基本类型。此外，引用这一定理还可以很简单地计算出鲁毕克魔方的组合数。

第三，在跷跷板原理的指导下，我运用组合论方法和公式，不须考虑错误组装数，径直计算出了组装正确的魔方的组合数。这里有必要更具体地指出一点，忍兄和乌兄曾就8个角块的组合数为什么是3^7而反复争论，我建议二位重读一下小书的第八章第一节，，在那里可以清楚地看到在跷跷板原理的约束下，我们怎样计算出了3^7。文字不长，也不艰深，不需要耗费很多的时间和脑力。

还须重复强调的是：如上所说，用跷跷板原理作指导，至少可以给出两种方向不同而又同样正确的魔方组合计算。

对于你98楼以后的帖子，初步的感觉是，你不太习惯公理化的方法，不大适应本书的数学思路。至于群论那一部分，只是一个简介，没有必要深究，不过我相信专业的数学家们极有可能正是用这种方法三下五除二算出了魔方的组合数。对他们来说这个问题太简单了。而一切学习过群论初步知识的人对此都不会感到困惑，所谓置换的奇偶性是群论中非常基本的概念，它差不多好像是为魔方量身定做的。

此外你又问：为什么看不到群论与向色和中心块的关系描述？

这个问题提得有水平。目前，我正在考虑建立一个描述中心块的群论的数学模型，且已经有腹稿。这个模型将与跷跷板原理相互独立：二者之间不能相互推出。此外，注意我在小书的结尾处说：

顺带指出，魔方中方块的扭转和翻转也可以转化为纯粹的群论问题去进行处理，但不能像处理置换这样简洁和直接。

这是因为色向问题不能直接表现为置换群（虽然按照群论中的凯来定理，一切有限群原则上都可以化归为置换群），但完全可以建立一种适合于魔方的组合群（这样的群我已经建立过，只作为自己赏玩）来将色向问题彻底群论化。很显然，这将陷入复杂的群论的游戏，不符合本书屏蔽群论的初衷（见该书前言）。(未完，见下一帖)

[此贴子已经被作者于2006-12-9 8:23:22编辑过]

rongduo

(接上一帖)

五、还有一些介乎于题内或题外的话要说。忍兄大概还记得，我曾经对你PengW3定律作过一些评论，姑且不论这些评论的对错，有一点需要表明：那都是精读深思了你的论文后，就很具体的内容进行评论的。决无空泛、耳食、走马观花之弊。但我感到忍兄在批评时没有这样做。我很怀疑，你是否稍微完整、认真地通读或浏览过<<魔方组合原理>>。我无权强迫别人来读这本书；即使不读这本书，人们也有批评它的自由。但我又感觉你不应该有这种自由，因为，你是版主和魔方大师。也许，这种要求过于苛刻甚至不近人情了吧？

我是一个不好争辩的人，基于上边的一些考虑，加之本人的时间和精力都很有限，本帖也许就成了我在本主题帖内的最后一个回帖。除非，忍兄能够一板一钉地紧扣住我书中的某些很具体的内容，一针见血地直指其误，就像乌木兄已经做过的那样(见47楼 )。诚如此，则感激不尽!

下一阶段我的精力将主要用在对小书的修订上，顺代考虑一些相对简单的魔方问题。 (全帖完)

[此贴子已经被作者于2006-12-8 20:24:32编辑过]