魔方公理

pengw

所谓簇内变换产生的状态是指用三交换、色向变换能够在一个簇内产生的所有状态，当角块进行到第七步时：

余下的二个角块是不可能交换位置了，第七个角块一但选定色向（有三种可能性，见色向变换法则），第八个角块就没的选择了，第七个角块完全决定了第八个角块的色向状态。

所以算式最后是*6*3

结果乖2跟扰动关系数有关，除24跟偶阶同态问题有关，详见“基于N阶定律的状态数计算方法”一文

我的计算方法是为了兼顾N阶魔方而制定的，就单簇计算而言，如二阶，根本无须考虑扰动关系（考虑也是正确的），二阶任意二个块可以交换位置，第七位是6,第8位仍然没的选了，如果是这样，算式应该是：

（24*21*18*15*12*9*6）/24

显然与考虑扰动关系的计算方法等价，这种方法仅仅对单簇魔方有效，本质上，中心块簇以外的任何簇的状态数匀可照此原理计算，但综合成魔方状态就存在一个问题，不同簇的状态是不可以随意搭配，如何搭配才是合法的？这是N阶定律扰动关系解决的一个问题，即将魔方变换分为簇内变换与簇间变换二种，用簇内变换计算各簇状态数再乖上簇与簇状态的搭配关系数，一切OK。也许我又说复杂了，没办法，这些都是魔方固有的性质，有些人可能不喜欢我的表达方式，我的理解是：中国与CHINA有什么区别？难到说的不是一回事？

-------------------

另外在此特别声明一下，我的最小步数论文被我自已举出反证了，抱歉，对大家说大话了，我还在努力。

[此贴子已经被作者于2006-12-3 9:42:10编辑过]

pengw

魔方组合原理中的计算方法，严格地讲是一种手工而非基于变换性质的计算，即手工组装计算全组合数，再除以手工发现的错误数+1，到三阶为止。如果不熟悉魔方定律，三阶以上恐很难算出。如果仅仅是玩玩三阶，只须懂的：

1。晋通的全组合知识：用于计算手工组装状态

2。还原魔方的方法：用于识别非法状态

凭以上二点即可算出三阶的合法状态数，无须知道更多，但要计算四阶、五阶恐怕很难，乌兄可以用组合原理试算一下四阶或五阶，并表达清楚原理，从中可以体会扰动的作用。

一个称之为状态描述的理论一定可以自足（无手工组装介入）地预言所有状态， 如果这个理论存在缺陷，将导致状态数计算错误，不能解释的状态，无法预言公式循环周期。

另外，诚心提醒一点，仅凭手工组装方法是无法正确计算魔方状态数的，变换性质必须介入

[此贴子已经被作者于2006-12-3 11:52:53编辑过]

pengw

求大同存小异，很好很好，其实真的没的批评谁的意思，只是用我自已犯的错误举例，我常犯错，明知是不对的，还恶作剧式的逗着闹，大家都看过了，哈哈哈。看了rongduo上面的表述后，我居然在自已的文档中发现了一份已记不清是谁发给我“组合原理”WORD 文档，不错不错，我现在对rondguo的置换奇偶性很好奇。

对三阶：

奇环（或称为奇置换）：可以立存在的，不依赖任何其它变换，如何用跷跷板原理平衡？

偶环（或称为偶置换）：分二种情况

1。偶数个偶环可以独立存在

2。奇数个偶环不可以独立存在，对三阶而言，奇数个偶环必然同时存在于中棱块簇与边角块簇中，同时中心块簇的转量的绝对值之和是90的奇数倍，这个问题用扰动方程很好理解，但用跷跷板原理如何解释？

另外,rongduo在文中分解出的一系列置换类别（或称为环类别），匀可通过基本的三置换构造出来，三置换可以独立构造奇环，但只能成对独立构造偶环，如果发现一个簇的偶环数为奇数，显然三个簇相互发生挠动了，又如何用跷跷原理解释？

3。中心块独立转动180,跷跷板原理如何解释?

不过，跷跷板原理对解决中棱块，边角块的色向变换现象是没问题的。

---------------

以上只是我的一些初浅的看法，也许对跷跷原理的理解的不够。

pengw

再对跷跷板原理计算三阶纯色魔方（不考虑中心块）的方式进行分析：

边角块状态数：24*21*18*15*12*9*3=3^7*8!/2

中棱块状态数：24*22*20*18*16*14*12*10*8*6*2=2^11*12!/2

边角块状态数*中棱块状态数=（3^7*8!/2）*（2^11*12!/2）

计算值是纯色魔方总状态数的一半，基于扰动关系的算法在此乖上了扰动关系数2，正好解决此问题，而跷跷板原理如何处理这种情况？基于什么原理？很想知道。有时，我觉得扰动关系让很多魔友困惑，也在寻求一种更简单的等效方法，显然，rongduo魔友计算出了正确答案，其中必有一种等效方法，但我没有看明白，rongduo魔友方便的话，能不能详细解释一下？

pengw

QUOTE:

以下是引用乌木在2006-12-4 11:34:31的发言：

我看下来，那“魔方组合原理”第八章说，用的是① × ② + ③ 。

① × ②是符合“翘翘板”的角棱态总数；
另，不合“翘翘板”的角态与不合“翘翘板”的棱态组合后的角棱态又符合“翘翘板”，
其总数③经分析数值上等于① × ②，
故① × ② + ③＝2 ×（ 20160 × 239500800 × 2187 × 2048）＝ 43252003274489856000 。

他还简单提了另两种算法：
据魔方定理什么的，得（8！×3^8×12！×2^12）/12  ；
据群论的奇偶置换什么的，得（8！×12！×3^7×2^11）/ 2  。

依据跷跷板原理：

中棱块和边角块各有一半的置还状态与另一半的状态对立平衡，计算也证实了这一点，依广义性：

中棱块置换的对立状态数：12！-12!/2                          满足跷跷板原理

边角块置换的对立状态数：8!-8!/2                                满足跷跷板原理

中棱块色向的对立状态数：2^12-2^11,依然为1/2，       满足跷跷板原理

边角块色向的对立状态数：3^8-3^7，变成2/3，            违背跷跷板原理

中心块色向的对立状态数：4^6-4^5,变成了3/4，           违背跷跷板原理

-------------------------------

照rongduo的计算原理，相互对立状态的总和等于魔方总状态，因此有：

 20160 × 239500800 × 2187 × 2048+20160 × 239500800 ×（ 3^8-3^7）×（2^12-2^11）

显然计算结果是正确值的1.5倍,而rongduo的计算式违背了自已定义的计算原理。难到跷跷板原理只对位置置换起作用，对色向无效？以上问题，可能需要作者向大家作进一步的说明。

-------------------------------

在排掉二、三阶色向的前提下，可置换的簇状态各占一半的对立，是正确的，三阶的扰动方程也预言了这一点。其实任何可置换的簇都有这种各占一半的特性，即所谓的基态簇与扰动簇的关系。三阶有二种扰动关系，所以，要么全是基态簇，要么全是扰动簇，从这一点计算出魔方总状态，是可以的，但角块色向与中心块色向并不遵寻跷跷板原理，作者只是直接引用色向状态而非色向对立状态，显然与自已的计算原理违背，但结果碰巧是正确的

对于四阶，基态簇与扰动簇组合关系跟三阶完全不一样，共有四种搭配方式，很难用此消彼长的跷跷板来解释，而三阶上的角色向不满足跷跷板原理的问题，在四阶或以后N阶都存在。

[此贴子已经被作者于2006-12-4 18:21:01编辑过]

pengw

乌兄看到关键点了，我还是那句话，跷跷板原理不适用于色向计算？理由是什么？那么应该在什么样的条件下有效？rongduo兄的计算式存在主观介入和修正的成份，偏离了跷跷板原理的指导。

乌兄说："模糊感还是应该选择3^7,2^11",理由是什么？用跷跷板原理如何解释？

可以证明，这一原理用在四阶或四阶以上，肯定是错误，当然rongduo兄早已申明，仅针对三阶纯色，不含中心块。我的观点是，不要用着色来期骗眼睛。

[此贴子已经被作者于2006-12-4 18:34:01编辑过]

pengw

QUOTE:

以下是引用乌木在2006-12-4 19:08:29的发言：

是不是这样分析：
（8！/2）个非法角排位态与（12！/2）个非法棱排位态组合后，得到（8！/2）×（12！/2）个合法角棱排位态，犹如“废物利用”，也必须“利用”；
但是没有哪个态，能够和（3^7×2）个非法角取向态中的任一个态，搭配产生合法态呀，所以，为何计算中要用（3^7×2）呢？用了反而坏事呀。这好比，魔方“生产”中，只能把属于（3^7×2）个非法角取向态的“半成品魔方”送去回炉（重装），不能用于装配的。
此外，大家讲合法的角取向态总数时，不说是3^8，也不说是3^7×2，而都说是3^7，这不正是服从合法魔方的定律吗？也就是说，“翘翘板”已经用于计算“角取向态总数”了嘛。

从簇层面，8！和12！根本不存在什么非法状态，这个层面的所谓非法，是指不同簇之间的状态搭配存在非法，只可能产生于非法组装导致的扰动错误中，从这一点讲，跷跷板原理的基础就出问题了，如果将8!和12！这样的手工组装数据引入计算，无疑让手工介入了，而一个理论的自足性就被破坏了，从而理论被证明有缺陷。

一个根本性的反证，借用rongduo的数据，三阶纯色，魔方合法状态与非法状态的比例为11：1，这个跷跷板又如何平衡？是不是一端太重，另一端太轻？

[此贴子已经被作者于2006-12-4 20:10:35编辑过]

pengw

乌兄，我再重复一遍，站在簇的层面，你可以将边角块簇和中棱块簇的所有块随意人工组装，不会出现非法组合。换句话说，如果你忽略三阶上的中心块和中棱块，你可以转出8!种边角块的位置组合，同理，中棱块是12！，中心块是4^6,这些转出的数据与手工数据完全一致。如果你能找出一种例外，我在吧中谢罪三天。

关键是，不同簇的状态如何组合才是合法，这是扰动关系讨论的问题。对三阶，要么所有簇是基态簇，要么所有簇是扰动簇，所有扰动簇的簇状态可以任意组合，所有基态簇的簇状态可以任意组合，不存在基态簇的簇状态与扰动簇的簇状态组合的可能性。而所有基态簇组合的状态与所有扰动簇组合的状态互不相同，但总数相等，因为簇组合关系只有二种，所以算出一种，乖上2，就是正确答案。

rongduo兄说的棱块置换状态，合法与非法各占一半，应该表达为：棱角置换状态一半归基态簇，一半归扰动簇，而色向和为零不受簇类型影响，从这种角度出法，就可以理解rongduo的计算式为什么是正确的了，但其表述的计算原理是错误的。

从簇层面：

          中心块不允许置换，所以永远不会有组装导致的非法状态。

          中棱块和边角块记只存在安装造成非法色向，不存在安装造成非法位置组合

---------------------

所以，rongduo兄说的棱角置换非法状态根本不存在，倒是棱角色向存在非法安装状态，因此rongduo兄弟的计算原理须要斟酌

--------------------

乌兄之所以发生理解困难，是因为没有在意何为簇内变换，何为簇间变换，N阶定律就是为解决以上这类问题而创造的。

-------------------

我在这里再给出一个命题：“三阶复原状态偶次转动（以90度转动为基本单位）的状态与三阶复原状态奇次转动的状态有部分相同”，有人同意吗？

[此贴子已经被作者于2006-12-5 10:14:52编辑过]

pengw

乌木：

我解读为“随意人工组装角和棱的话，（就位置而言）都可位置复原。”这我还未想通，容再想。

pengw:

以二阶（边角块簇）为列，二阶二个角块可以交换位置，那么任意二个角块都可以交换位置，所以计算到第七位就是2，第八位没的选，所以是8!，显然跟人工交换计算的数据一样。同理，中棱块簇也一样，是12！，所人工任意组装，不会有置换状态错误，只有扰动错误。

乌木：

不过，是否把“组合”改为“排列”。

pengw:

说得好，是排列不是组合，这是一个不应该犯的低级错误，羞愧接受。

乌木：

但这都是指合法三阶魔方转动出来的情况，对吗？否则，我故意错装，其中角簇是扰动的，棱簇不扰动，它不是也可存在吗？只不过它无法仅仅经过转动复原，因而不必对它多所讨论，但要能识别它

pengw:

以扰动为核心的N阶定律，不仅可以预言所有魔方的合法状态，也可以预言非法状态，详见“魔方组装分析”一文，就我的理解，状态应该由变换规则自足地预言，而无须拆开魔方，否则只能预示理论有问题，因为我们主要还是对转动而非组装更感兴趣，当然，除大烟头这类梦想靠魔方发财的商人除外，哈哈哈，玩笑。

--------------------------

上面那个命题，也是N阶定律预言的命题，很有意思。

换一种命题方法：以复原三阶为始态，找出二套公式，一套步数为奇数，一套步数为偶数，这二套公式分别都可以做出同一种状态。

注：以90转动为步长

[此贴子已经被作者于2006-12-5 13:59:40编辑过]

pengw

厉害！厉害！结论正确，但表述还象有笔误