跷跷板原理的证明？

乌木

证明我不会，pengw、邱志红等的文章有证明的吧？
我试试作些实验解释解释，不是证明。
从复原态出发（纯粹为了直观、方便），做(R MD)4 ，看看发生的变化；再接着做一遍(R MD)4 ，再看看魔方怎么了。
好，如果要保留刚才第一遍后那个“上右”位置上的棱块色向变化，同时恢复下两层为复原态，可以在上述两遍操作之间插入一个（比如）U' ，最后做一下U 。目的达到的同时，我们不得不接受顶层有两个棱块翻色了，有如“硬性搭卖”。否则，像第一个实验那样，哪个棱块都没有翻色！
下面演示一下。

  
  
  
  
  


对于角块，也可做类似的实验。

  
  
  
  
  
  
  


至于三个角块都翻色，只不过是两对角块翻色的组合，其中一个角块参与了两次折腾而已。三个角块翻色的分析演示如下：

  
  
  


[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-10 15:18 编辑 ]

乌木

你说得对，上面那些实验不是证明。如何证明我不会，下面所说仍是一种实验、猜想、推论。
楼主的问题，就三阶角块的色向变化来说，如何体现跷跷板原理？我试着说说。
任取一个打乱态，角块的色向用站长介绍的盲拧法，转顶、转底，不改变涉及的四个角块的色向和；转右、转左、转前、转后，无论顺转、逆转或180度转，分别都是仅改变涉及的四个角块的色向，但不改变这四角的色向和（指色向和除以3之后的余数不变）。
这实验结果当然出自不多的打乱态，也不可能对所有态做实验，我只能由此作一猜想－－所有表层转对于任何态，每一转所涉及的四角色向和都不变。
复原态的8个角块的色向和为零（这不用证明，是定义）；任一打乱态都是六个表层的转动得到的（这也不用证明，是条件，即不是拆了随机组装）；既然每一表层转都不改变所涉四角的色向和，也就不改变八角的色向和，所以所有打乱态的八角色向和始终为零。
好，任选两个这样的态，它们的八角位置态一样但色向态不同，比较一下，如果有a个角块发生了顺翻色，必定有a个角块发生了逆翻色（但是这些翻色不一定出现在2a个角块上，可以小于2a，即有些角块不止一次翻色）。这样才能保持八角色向和为零。
a个角块顺翻色对应着a个角块逆翻色，这就体现了跷跷板原理。
所以，只剩下上面那猜想等待严格证明。我不会了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-14 07:03 编辑 ]

乌木

我接着14楼想下去。
“所有表层转对于任何态，每一转所涉及的四角色向和都不变。”这句话的证明好像是蛮容易的吧？
U、U'、U2、D、D'、D2－－不改变顶层四角或底层四角的色向，当然色向和也不变。这简直是公理嘛！
R 一转－－4号位上的角块到3号位，色向编码减少1（若是0变成2就是3变成2，也是减少1）；3号位上的角块到7号位，色向编码增加1（若是2变成0就是2变成3，也是增加1）；7号位上的角块到8号位，编码增加2（就是减少1）；8号位上的角块到4号位，编码增加1。分别是－1、＋1、－1和＋1，所以四个角块色向编码和不变。
R'－－类推，也是四角色向和不变。
R2－－四个角块色向编码不变，色向和也就不变。
对于其余三面的共9个动作，结论一样。
所以，所有表层转对于任何态，每一转所涉及的四角色向和都不变。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-15 22:57 编辑 ]