CFOP背后的数学定理

乌木

OLL等都是在转动一个正确魔方时的情况，并非随机组装时的情况。
三阶纯色魔方下两层复原后，顶层四个角块和四个棱块随机组装的话，顶面的颜色情况确实会有1296种－－3^4×2^4＝1296。
但是，当不许随机组装而只许经过转动魔方来改变顶面颜色情况的话，由于存在1楼所说的魔方转动时的色向变换规律，顶层四个角块的色向情况只有3×3×3×1＝3^3＝27，顶层四个棱块的色向情况只有2×2×2×1＝2^3＝8，3^3×2^3＝216种，再简并转顶时的重复情况，只要考虑8种角块色向情况和8种棱块色向情况的组合，组合后还有重复，最后就得到58种色向态。参看：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=22872&extra=page%3D7
至于PLL公式数为21，记得Cielo或哪位也有过很好的分析（一时找不到），记得也是精简掉不少可以经过转顶而转换的PLL情况等等，才得到21式。当然，角块、棱块的位置布排问题，首先要排除随机组装时可能而转动正确魔方时不可能的状态，即1楼提到的不允许单单互换两个块（以及相当于这样的一些位置循环，即先得到4！×4！/ 2＝576 / 2＝288），然而不仅仅如此。

总之，1楼所说的规律在OLL情况精简中的功劳仅为使1296减为216，进一步减为58的过程与它无关；在PLL情况精简中的功劳仅为使576减为288，进一步减为21也和1楼的规律无关。
所以，1楼说什么“……由1296种一下子压缩到58种……”云云不妥。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-5 12:11 编辑 ]

乌木

下两层复原后，顶层的状态总数确实很多。如果是顶层四个角块和四个棱块随机组装的话，其中四个角块和四个棱块色向的变化数，确实是3＾4×2＾4＝1296；但由转魔方的方法，因受“色向和为零”规律的限制，四个角块和四个棱块色向的变化数就只有3＾3×2＾3＝216。不过，这216种情况并非都要给出OLL公式的，魔方可以整体旋转，故可以合并一些相同情况，这样，角块要翻色的情况只有8种，棱块要翻色的情况也只有8种，两者组合数8×8＝64种。这64种之中，有几个是重复的，有一个是已经顶面同色，即已经完成OLL了，所以只要给出57个OLL公式足够了。详见：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=22872

到了PLL阶段，顶层四个角块和四个棱块的位置随机组装的话，位置变化数是4！×4！，但是，由转魔方的方法得到的位置变化数，因受“不能单单交换两个魔方块”规律的限制，只有4！×4！/ 2＝288。同样，不必给出288个PLL公式的，经过转顶和魔方整体旋转，可以合并一些情况，再扣除几种角块、棱块位置相对而言已经正确的情况，最后精简为21个PLL公式。不过，从288精简为21的具体过程，我还说不清，大家补充。