我们宿舍抽牌决定谁值日~

lulijie

请问，若两个人以上抽到最小牌，那么如何安排值日和值日天数呢？

lulijie

让电脑模拟抽牌过程，计算值日期望值
模拟一百万次，平均天数约是1.03天。
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精确计算，我的想法是这样的：
给54张牌从小到大顺序编号从0到53号。
0到53共54个数字中按任取6个数，一共有C(54，6) 种取法。    C(54，6) 表示组合。
那么某人抽的牌最小的几率为1/6。
每种组合最大号和最小号确定的天数差为d()，
那么题目所求的天数期望值=5/6 *0 +   1/6  * ( ∑ d()  /  C(54，6) ) 。
求得了 ∑ d()   ，就能获得 所求的天数期望值。

lulijie

假设6人取得的最小号为i，最大号为j,那么其他4个号有   C(j - i -1，4)=d * (d - 1) * (d - 2) * (d - 3)/24  种，   (d = j - i - 1 )
最大号和最小号决定的值日天数 等于  int( (j+2)/4) - int((i+2)/4)                    int()  为取整。
那么∑ d()   就等于 以下算出的DayNum 。

      DayNum=0
      For i = 0 To 48
                 For j = i + 5 To 53
                     d = j - i - 1               ' d代表剩下4人能取的号数的个数。
                     DayNum = DayNum + d * (d - 1) * (d - 2) * (d - 3) / 24 * (Int((j + 2) / 4) - Int((i + 2) / 4))
                 Next j
      Next i
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计算出的DayNum=253283355。而C(54，6)=25827165，
所以所求的值日天数期望值=5/6 *0 +   1/6  * ( ∑ d()  /  C(54，6) ) =1/6 *  253283355/25827165
                                         =1876173/1147874≈1.63  天。

lulijie

重新审查电脑模拟程序，发现一个变量写错了，改正后：
让电脑模拟抽牌过程，计算值日期望值
   模拟一千万次，       期望值是1.63426759999981天。
而精确值=1876173 / 1147874=1.63447643208227天。
非常吻合。

lulijie

楼主的贴因为涉及到相同点数牌的问题，所以处理稍微麻烦些。一般的问题就是：
从1到N共N个数，随机抽取m个数，那么最大值与最小值的差的期望值是多少？
更一般的问题：
N个数，随机抽取m个数，最大值与最小值的差的期望值是多少？

lulijie

每次值日天数若不固定在某人，
那么不用除以6.也就是把求的值乘以6即可。楼上想的是对的。