调和级数一定不是整数

lulijie

我来完整的用数学归纳法来证明，其实我在前面的思路中已经提到了证明。
证明：若n值满足  2^k<=n<2^(k+1)，那么a(n)  都可表示成   p/(q*2^k)  的形式。   其中 p、q是奇数。
     换句话说，a(n)可表示成 p/(q*2^k) ，其中 p、q是奇数，k=  [ ln(n)/ln2 ]     ，[ ]  表示取整函数。
1.     n=2时，a(2)=3/2  ，k=1，  显然成立。
2.    假设n值满足  2^k<=n<2^(k+1)时，  a(n)  可表示成   p/(q*2^k)  的形式。其中 p、q是奇数。
    那么 ， 2^k<n+1<=2^(k+1)   ，把它分为两个情况
    第一种情况：2^k<n+1<2^(k+1)
    第二种情况：n+1=2^(k+1)。
对于第一种情况：不等式都除以2^k，得到  1<(n+1)/2^k<2。
      所以(n+1)/2^k 不是整数，即n+1 中含2的因子个数小于k。所以n+1可表示成 r*2^m，其中r是奇数，m<k。
      这样，a(n+1)=a(n)+1/(n+1)=p/(q*2^k)+1/( r*2^m)= ( p*r+q*2^(k-m) ) /  (q*r*2^k)   。很显然分子为奇数，分母为奇数和2^k的  乘积。因为 2^k<n+1<2^(k+1) ，当然满足2^k<=n+1<2^(k+1) ，    即a(n+1)也可表示成  p/(q*2^k)  的形式。
对于第二种情况：
     a(n+1)=a(n)+1/(n+1)=p/(q*2^k)+1/(2^(k+1))=(2*p+q) / (q*2^(k+1)) ，分子为奇数，分母为奇数和2^(k+1)的乘积。
     因为  n+1=2^(k+1)，我们设k‘=k+1，  所以  2^k'<=n+1<2^(k’+1)条件满足，而a(n+1)显然可表示成 p’/(q‘*2^k‘)  的形式。其中 p’、q‘是奇数。
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综上所述，假设 n值满足  2^k<=n<2^(k+1)时，  a(n)  可表示成   p/(q*2^k)  的形式。其中 p、q是奇数。
  那么可推出a(n+1)也成立。
所以命题得证。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-4-1 21:26 编辑 ]

lulijie

从上述数学归纳法证明的过程中很明显的看出：
  a(n)的k值，从n=2^i开始，随着n的增加，k值保持不变（等于i），直到n增加到等于2^(i+1)为止，k值跳到i+1，
接着又是重复上面的循环。
  所以从n=2^1开始，n逐渐增大，a(n)的k值从等于1开始，保持不变或加1，
所以无论n增到多大，a(n)通分后的分子是奇数，分母是偶数，永远不可能是整数。

yang_bigarm

原帖由 lulijie 于 2009-4-1 20:43 发表
我来完整的用数学归纳法来证明，其实我在前面的思路中已经提到了证明。
证明：若n值满足  2^k

OK，这个证明就很完整了

Cielo

我的想法其实和金眼睛差不多，也是考虑 1~n 中最大的那个素数 p，只要 p 大于 n/2 或者 n/3 或者类似的就行。但发现这其实也不容易证明。

没想到反而是考虑最小的素数 2，lulijie 厉害啊！