在 N 进制中，首位数为 m 的自然数的概率

lulijie

为了说明概率的求法，先从N=10，m=1开始说明：
先设一个自然数S，S内首位为1的概率表示为P(S),
那么P(1)=1，P(2)=1/2，P(3)=1/3，
       P(19)=11/19……
所有自然数首位为1的概率P就是S趋向于无穷大时P(S)的极限。

lulijie

先例举：
一：
   S=19      首位为1的个数：11
   S=199      首位为1的个数：111
   S=1999      首位为1的个数：1111
  ……
  S=2*10^k  -1   首位为1的个数：[10^(k+1)-1]/9

所以  ，k趋向无穷大时， P(2*10^k  -1) 的极限=
         [10^(k+1)-1]/9  /  2*10^k  -1    (k趋向无穷大)
      =5/9。
二：
   S=9     首位为1的个数：1
   S=99      首位为1的个数：11
   S=999      首位为1的个数：111
  ……
  S=10^k  -1   首位为1的个数：[10^k-1]/9

所以k趋向无穷大时，P(10^k  -1)的极限=1/9
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因为  P(10^k  -1)    与     P(2*10^k  -1)       K趋向无穷大的概率是不同的，
所以P(S)    S趋向无穷大的值是发散的，概率不存在，所以楼主的结论根本不成立。
就好比   1+（-1)^n    的极限不存在一样。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-3-6 20:21 编辑 ]

lulijie

S以内所有的自然数       首位为1的个数     首位为1的概率       S以内所有的自然数      首位为1的个数     首位为1的概率
S=1                                     1                         1
S=(2,9)                               1                        1/S                        S=(10,19)                   S-8                      1-8/S
S=(20,99)                          11                      11/S                       S=(100,199)               S-88                    1-88/S
S=(200,999)                     111                    111/S                      S=(1000,1999)           S-888                  1-888/S

S=(2*10^(k-1),(10^k-1))   (10^k-1)/9          (10^k-1)/(9S)            S=(10^k,2*10^k-1)       S-8/9 *(10^k-1)    1-8 *  (10^k-1)/(9S)
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求所有自然数中首位为1的概率，S必须足够大，                 而S足够大时，
S在左边的范围时，概率随着S的增大从5/9逐渐减至1/9，S在右边的范围时，概率随着S的增大从1/9逐渐增至5/9。
所以概率是发散的，不存在极限值。
若一定要给它求平均值的话，可以这么求：
假设S足够大，S在(2*10^(k-1),2*10^k-1)内变动，概率先从5/9逐渐减至1/9，然后从1/9逐渐增至5/9。
假设S在(2*10^(k-1),2*10^k-1)的分布是随机的，每种取值的概率都是18*10^（k-1) 分之一。
那么所求的平均概率P=
   {  ∑   (10^k-1)/(9S)   (S从2*10^(k-1)到(10^k-1))  +  ∑ （ 1-8 *  (10^k-1)/(9S) ）  (S从10^k到2*10^k-1) }/ 18*10^（k-1)
                   利用该公式      ∑1/i  =ln (b+1)/a    (i从a到b)      当i足够大时，
S足够大时，K也足够大，得到 P={   (10^k-1)/9  *  ln5   +    10^k  - (10^k-1) * 8/9 * ln2 }  / 18*10^（k-1)
                                                      =5/81* ln5  +5/9-40/81 * ln2
                                                      =0.312608670861391
     
所有自然数中首位为1的概率平均值 为 5/81* ln5  +5/9-40/81 * ln2  ， 不等于  lg2  ,但二者基本相等。