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标题: 只有相对两个面贴纸的魔方的最远步数是多少？ [打印本页]

作者: noski 时间: 2009-1-18 00:07:42 标题: 只有相对两个面贴纸的魔方的最远步数是多少？

魔方是一个一个的小方块，忍大师也常说魔方与贴纸无关。

那我们不妨抛开理论，来做个小题：

一个三阶魔方，只在相对的两个面贴上贴纸，那么，它的状态数有多少呢？它的最远步数是多少呢？

下图来自Twisty Puzzle论坛，一个DIY的贴子中的图，原贴：Super Simple Sticker Mod.

另外还有一个更简单一点的题：

一个三阶魔方，只在相对的两个面贴上贴纸，并且是同一个颜色，那么，它的状态数有多少呢？最远步数又是多少呢？

呵呵，大家来想想看~

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作者: lgt 时间: 2009-1-18 00:53:06

哇。貌似很高深的问题，中学生想不来

作者: aben306 时间: 2009-1-18 09:24:23

呵呵,太深澳了吧,偶回去算算,再见了.二十年以后再见.

作者: kexin_xiao 时间: 2009-1-18 15:15:03

状态数和最远步数一直没弄太明白，学习！

作者: R'cube 时间: 2009-1-18 15:32:40

这个我在翻译的时候确实是个很头疼的地方~~~

作者: 乌木 时间: 2009-1-18 17:03:29

1楼头两图所示的魔方，大概仍要约定中心块组固定不动的吧？8个角块只有2种；12个棱块只有3种，且其中一种还只有一个色向（或者说是其两个色向简并为一个色向）。看来，总态数将大大减少（？）。

作者: o嗬飽彈o 时间: 2009-1-18 23:39:26

期待答案~~~
乌木老师算下看看

作者: 乌木 时间: 2009-1-19 11:03:21

实在吃不准如何算，下面是抛砖引玉。

约定六个中心块不动，即魔方无整体运动。

三阶纯色魔方总态数4.3×10^19的算式之一是 8！×12！×3^7×2^11 / 2 ，其含义许多人都知道了。我对照此式的因子逐个改写来解1楼两个图所示的魔方的总态数。

8！改为（8×7×6×5 / 24）×（4×3×2×1 / 24）。
理由：先不管色向，设4个相同的蓝色角块先（用转魔方层的方法）布排。一般，头四个角块有8×7×6×5 种方式；一般，四角块在四位置的排列数为4！＝24，但因这四个角块一样，这24态是位置同态（不管色向，仅就位置状态而言），只能算一个位置态，故要除以24。
接下来四个相同的绿色角块布排方式数（4×3×2×1 / 24）的理由类推。

12！改为（12×11×10×9 / 24）×（8×7×6×5 / 24）×（4×3×2×1 / 24）。
理由：类似于上面角块的考虑，头四个相同的蓝色棱块仅就位置排列数并经消（位置）同态，得到（12×11×10×9 / 24）；接下来四个绿色棱块就位置而言的对总态数的贡献因子为（8×7×6×5 / 24）；最后四个相同的无色棱块提供了（4×3×2×1 / 24）。

3^7 不改。现在的8个角块每个都有自己的色向，魔方的色向和规律仍起作用。

2^11改为 2^8 。理由：只有8个棱块有色向变化；也不必担心“单单一个棱块无法改变色向”之约束，因为有没色向的棱块可以配合“单独一个棱块变色向”，使得该改变色向的棱块表观上似乎不受魔方规律约束。

/ 2 改为 / 1，即不必除以2。理由：有许多相同的角块和棱块在，很容易选出两个相同的块，配合要求互换的两个块，实现表观上的“单单两块互换”。看起来不受魔方规律约束，实际上属于“上有政策，下有对策”。

上述五大因子综合如下：
（8×7×6×5 / 24）×（4×3×2×1 / 24）×（12×11×10×9 / 24）×（8×7×6×5 / 24）×（4×3×2×1 / 24）×3^7×2^8 / 1
＝（8×7×6×5 / 24）×（12×11×10×9 / 24）×（8×7×6×5 / 24）×3^7×2^8
＝1 357 969 536 000
≈1.358*10^12

请指正。

[ 本帖最后由乌木于 2009-1-19 16:44 编辑 ]

作者: 卧月眠海 时间: 2009-1-19 14:35:33

次不懂～～！！

作者: noski 时间: 2009-1-19 14:38:48 标题: 回复 8# 的帖子

（8×7×6×5 / 24）×（12×11×10×9 / 24）×（8×7×6×5 / 24）×3^7×2^8
＝C(8,4)×C(12,4)×C(8,4)×3^7×2^8
但我想，比如蓝色放在D面，绿色放在U面，那么这个魔方绕U-D轴转动，会有四个状态是一样的，这样计算会有重复的。
看这样行不行，U-D轴固定，看8个角块有多少种形状组合（即绕U-D轴转动后一样的算同一个），然后再往上添棱块。这样，角块位置的组合数就是：
D面4个蓝角块  1
D面3个蓝角块  4
D面2个蓝角块  10
D面1个蓝角块  4
D面0个蓝角块  1
1+4+10+5+1＝20种。
这样，状态数就是：
20×3^7×C(12,4)×C(8,4)×2^8
8楼答案除以3.5正好是这个答案。。

作者: 乌木 时间: 2009-1-19 18:31:49

8楼我补充了“约定六个中心块不动，即魔方无整体运动。”这就避免了魔方改变取向所致的24同态问题，也避免了绕U－D轴旋转所致的4同态问题。在有的普通三阶魔方状态数的计算中也是这样约定的。也就是说，这样所得的总态数是相对于参照物中心块组而言的。否则，算得的就是相对于魔方的周围环境这个参照物而言的、且和魔方的运动方式有关的状态数，不去“消同态”的，自有其用处。

10楼的算法我还不太懂，还要学习。先问个问题，比如，组合数的第二条说“D面3个蓝角块 4”，这4个态的每一个，都还有U面3个绿角块的4种变化数，所以，仅这第二条就有4×4＝16种角块（位置）状态数，对吗？

或者，此处你是考虑魔方整体绕U－D轴旋转的，故把16种状态合并为4种了？

对于这种有四个中心块一样的魔方，好像是该合并这种“4同态”，我那固定六个中心块的算法看来有问题。

那么，后面计算棱块时是否也有类似的消同态问题？我一时想不下去了。各位说说。

[ 本帖最后由乌木于 2009-1-19 19:09 编辑 ]

作者: noski 时间: 2009-1-19 23:02:47 标题: 回复 11# 的帖子

"D面3个蓝角块 4"
在这里我是不考虑棱块，不考虑角块的色向，只管位置，把8个角块看成4个蓝的4个绿的。
因为中轴只有两个颜色，我让蓝中块在D面，绿中块在U面。绕U-D轴转的四个状态是同态。
而在D面的蓝色角块数有0，1，2，3，4共五种情况，分别观察。
比如当D面有三个蓝角块时，我总可以绕U-D轴整体转动魔方，使LFD角块不是蓝角块，剩下一个蓝角块在U面可以有4种位置，故我说是4个状态。
这样算了五种情况，角块的位置分布共有20种状态。

作者: illxyxjw 时间: 2009-1-20 09:53:01 标题: illxyxjw

所有贴完全看不懂，专业级别有待提高

作者: 爱红入魔 时间: 2009-1-21 12:26:43

太深奥咯．．．完全整不懂

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