最少点确定矩形的问题

lulijie

看了  “骰迷” 的     『以最少點決定唯一長方體問題』，我觉得有必要先讨论简单的平面问题。
为了避免有些人没看清题意，还在那里瞎狡辩，我用通俗的话描述题目。
***
    一个平面上有一个矩形，让你在它的边上选N个点，但不能随便选，要达到以下要求：
    在这个平面上除了你原先的矩形以外，不存在另一个矩形，使得这N个点都在其边上。
    那么N的最小值是多少？
***
『以最少點決定唯一長方體問題』的话题中已经有高手说出了答案，N＝5。
我来说说自己的想法。
定X轴，Y轴
在解析集合中，矩形的四条边用表达式表示如下
直线1   y＝k1*x+b1
直线2   y＝k2*x+b2
直线3   y＝k3*x+b3
直线4   y＝k4*x+b4
然后根据限制条件确定系数（k1,b1,k2,b2,k3,b3,k4,b4），从而确定矩形。           
第一个限制条件   有两条直线平行，比如k1=k2                                          等式1
第二个限制条件   另外两条直线平行，比如k3=k4                                       等式2
第三个限制条件   前两条和后两条直线垂直，比如k1*k3＝-1                       等式3
    （实际上k1,k2,k3,k4四个系数只有一个自由度）
其他N个限制条件   （N个点在矩形的边上)
      第i个点的坐标为（Xi,Yi），那么这个点肯定满足上述4个直线方程中的一个，比如第一个
     那么  Yi＝k1*Xi+b1                                                                                等式4
     N个点确定N个等式，总共有3＋N个等式
这3＋N个等式中，有8个未知数，要确定唯一解，总等式数不能小于总未知数。
故N的最小值为5。

lulijie

下面讨论  “骰迷” 的     『以最少點決定唯一長方體問題』
空间  多少个点决定长方体？
长方体6个面，6个面的方程，18个未知数
    z＝a*x＋b*y＋c
N个点确定N个等式
有2个面平行，多了1个等式
另外2个面平行，又多了1个等式
还有2个面平行，再多1个等式
前2个面与另外2个面垂直，多1个等式
前2个面与后2个面垂直，再多1个等式
总共N＋5个等式
故N的最小值为18－5＝13

Cielo

lz 从信息量的角度来看，厉害！

phoenias

没看懂，LZ很猛，顶一下。。。

水磨鱼

看不懂``                                                                                                                                           `

夜的十四章

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 00:23 发表
下面讨论  “骰迷” 的     『以最少點決定唯一長方體問題』
空间  多少个点决定长方体？
长方体6个面，6个面的方程，18个未知数
    z＝a*x＋b*y＋c
N个点确定N个等式
有2个面平行，多了1个等式
另外2个面平行 ...

呵呵,你线性代数学的很好嘛~~我咋就没想到用方程数确定未知量个数~
在这解释下,因为这些方程都是N元一次的,如果要有唯一解,就要有和未知量相同的等式才能解出唯一的解,少了一个方程,这个解就是无穷多个了!这下大家明白了么?
就比如A*X+B*Y=C和D*X+E*Y=F这两个方程才能解出唯一的X和Y,少了其中一个方程,X和Y就不唯一了,就成了无穷多解也就是成了一条直线了,只不过这道题把二元一次方程组拓展到了N元一次方程组
这也是线性代数的精髓之一啊~我咋就忘记了捏~

最后再说句~LZ你真强悍~!!!

[ 本帖最后由 夜的十四章 于 2009-1-7 07:37 编辑 ]

conwood

虽然没看明白，但我觉得这个方法靠谱。

原帖由 lulijie 于 2009-1-7 00:23 发表 下面讨论  “骰迷” 的     『以最少點決定唯一長方體問題』空间  多少个点决定长方体？长方体6个面，6个面的方程，18个未知数    z＝a*x＋b*y＋cN个点确定N个等式有2个面平行，多了1个等式另外2个面平行 ...

第8个小笼包

高手高手高高手，佩服啊

乌木

我又一次看到了自己数学知识的不够。谢谢楼主。

骰迷

LZ誇讚了呵呵
我都沒看明白，留待高中再看，可能看得懂吧