五次机会猜100以内的数，概率是多少

lulijie

无论那种选数法，5次猜中的概率都是31%,与选数无关（除了边界上的数，但它概率更低）。
N次猜中的概率 是 （2^N－1）/100。
7次以上，就是无论那种方法都是100%猜中。

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100以内（从1到100的100个整数），给N次机会，猜中的概率为P。（每次猜数后，都告知 大了，小了，猜中）
假设 共N次 给出的数 分别为 X1，X2，…  XN

一、  N=1
    P=1/100
二、  N=2
       第一次猜 X1,第二次猜 X2
    第一次猜后,各种情况的概率
       猜中   1/100
       大了   （100-X1）/100
           第二次猜中的概率  1/(100-X1)
       小了    (X1-1)/100
           第二次猜中的概率  1/(X1-1)
    总的猜中概率
      P=1/100+（100-X1）/100 * 1/(100-X1）+ (X1-1)/100 * 1/(X1-1)
       =1/100 + 1/100 +1/100
       =3/100
     若X1是边界值，砍掉1个加项，概率只有2/100
三、  N=3
    同理，就不列出过程了
      总的猜中概率
      P=1/100+(100-X1)/100 * 3/(100-X1)+ (X1-1)/100 * 3/(X1-1)
       =1/100 + 3/100 +3/100
       =7/100
四、  N=4
      总的猜中概率
       P=1/100 + 7/100 +7/100
       =15/100
五、  N=5
      总的猜中概率
      P =1/100 + 15/100 +15/100
       =31/100

通项 P（N）＝(2^N-1)/100

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无论取不取中点，任意取数，猜中概率都是一样的。

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用数学归纳法来证明
  S个数从小到大排列，N次猜数，猜中的概率为P（N)
那么 P（N）=(2^N-1)/S  （猜的数非边界值）

N=1  P(1)=1/S  显然成立。
假设N=k时 P（k）=(2^k-1)/S 成立
那么，对于N=k+1时，证明如下：
   第一次猜后，3种可能性的概率（第一次猜第X个数）
    猜中的可能性为   1/S
    大了的可能性为   (S-X)/S
        这种情况剩下的数共有(S-X)个，还有k次猜的机会
        那么猜中的机会为   (2^k-1)/(S-X)
    小了的可能性为   (X-1)/S
        这种情况剩下的数共有(X-1)个，还有k次猜的机会
        那么猜中的机会为   (2^k-1)/(X-1)
    总的猜中概率为
        1/S +  (S-X)/S * (2^k-1)/(S-X) + (X-1)/S * (2^k-1)/(X-1)
       =1/S +  (2^k-1)/S + (2^k-1)/S
       =(2^(k+1)-1)/S
故N=k+1时，公式也成立。
所以上述通项公式成立。

lulijie

保证有31%的命中率，必须保证5次都不是取边界值，比如答案是99，第一次减2，比如取98，第二次就必须取边界值了，所以为了保证5次都不是取边界值，必须对第一次取值有限制，10#已经说的很清楚了。