以最少點決定唯一長方體問題

noski

明白楼主的意思，我认为需要8个点。
底面：在两条棱上各选一个点，在面上选一个点；
顶面：面上选一个点；
四个侧面：每个面上选一个点。
点的选择有些细微的约束，比如任何两个点的连线不能平行，侧面点和底面点的投影的相对位置也要有规则。

noski

骰迷太帅了，支持你，你把点放在直角的平分线上，用极值限制的方法很好。我也支持7个点了，不多说，上图：

我画成正方体是因为把红点放在对角线上就行了，正好能处于角平分线上，画成长方体的话还要做辅助线。
图中ABCD四个红点构成一个正四面体。
那么问题在于：
一个正四面体的四个顶点能确定多少个直角坐标平面？

下面来分析一下：
1、有三个点位于一个面上，另一个点位于另一个面上；
    三点共面在图中有ABC、ABD、ACD、BCD四个可能，但由于蓝点的存在，这四个平面都会把点分隔在平面两侧，故情况1完全排除！
2、有一个点是顶点，另三个点分别位于三个面上；
    比如以A为顶点，由于AB、AC、AD的夹角都是60度，是个最小值了，所以AB、AC、AD必然位于直角的平分线上。这样，有顶点为A、B、C、D四个可能，但由于蓝点的存在，排除掉B、C、D三个！
3、既然4个点决定3个平面，那么让两个点在一个平面上，另两个面上各有一点；
    显然这个解最不好排除了，如上图的红色平面，即让AB在一个平面上，然后让平面绕AB轴转个小角度，成不成立呢？我分析了一下，答案是不成立！
这里ABCD是正四面体，那么我们画个俯视图如下：

作一个过AB的平面，为了用C和D确定另外两个平面，需要把C和D向该平面做垂足，即图中的C'和D'
但是，角C'AD'是必然小于90度的，只有ABCD成正方形时才能取最大值90度，这就决定了，过AB的平面不允许转动，是唯一的。
这样，情况3是不可能情况，完全排除！

综上，答案是，一个正四面体4个顶点，再加上其它的3个点，就能够排除多种情况，使解唯一。
看来此题到极限了，可以终结了。。

noski

谢谢指出我没有考虑22、1111等类型。
第二种情况可以不列出来，因为它的确可以看作是第三种情况的解。

为了减小篇幅，我对第三种情况的说明较简略，导致你没有理解我的意思。下面那个图我不应标C、D、C'、D'，而应该标C'1、C'2、D'1、D'2，你说的CC'、DD'在那个图上，都只是投影成一个点而已。你不理解不要说别人思维短路。

还有，我只用了一个显然，是说“显然不好排除”，并没有像你说的显然的意思。

noski

原帖由 lulijie 于 2009-1-15 19:05 发表
答141#：
    那你的结论   过AB的平面不允许转动，是唯一的。  是怎么得出的？
    过空间5点都无法确定唯一的3个垂直平面，而你的空间4点就得出它们确定唯一的3个垂直平面。不觉得有问题么？
    过你的ABCD4点 ...

呵呵，正是“过AB的平面不允许转动，是唯一的”这个结论，需要细致的分析，不能想当然，为什么我那第一个大图中红色的平面是不可能出现的呢？

对于AB在一个平面上，C和D分别在一个平面上这种情况，说明如下：
一、过AB的平面有无数个，但都是以直线AB为轴的；
二、由C和D确定的平面也有无数个，但都是以直线CC'和直线DD'为轴的（这里C'和D'是C和D在过AB的平面上的垂足）；
由上面一和二可以确定无数种组合，你没有异议吧？

那么开始排除：
首先，由AB确定的平面要保证点C和点D在同一侧。
其次，我的俯视图看明白了吗，先由AB确定一个平面，再垂直于这个平面看下去，CC'、DD'在这里投影成了一个点。
再次，由正四面体的性质，C和D的垂足一定落在我画的第二个俯视图那条直线上，且C'D'与AB垂直，点C和D确定的两个平面也投影成了一条直线。

于是，问题变成了，当C'、D'在那个投影直线上移动时，能不能和A、B组成一个直角的问题。
需要一点立体几何或高等数学的知识才能知道，只有当ABC'D'组成正方形的时候，才能使角C'AD'和角C'BD'都为90度，否则都会小于90度。小于90度意味着什么？意味着如果由点C和D确定了两个垂直的平面，那么必将点A和B分隔在两侧。这个命题我相信对你来说，并不难证明。

由极值点，确定了过AB的平面只有一种可能。由于正四面体高度对称，每两个点都是一样的，那么，再加上其它三个蓝点使解唯一也不足为奇了。