Skewb 中的一些理论问题

sokoban

对于每种魔方，下面几个基本问题都是可以问的。

1，如何判断一种状态是否可以实现？
2，总状态数是多少？
3，若把魔方拆了随机装回，能复原的概率是多少？（这个问题和结构有关）
等等。。。。

对于普通六轴三阶魔方，这些问题大家讨论得比较多了。

对于skewb，当然也是早已被讨论过的，但是我搜索了一下，发现我们的理论版好像还没有关于skewb的文章，所以就发个贴讨论讨论。

对于每种魔方，都思考一下以上的问题，也是一种乐趣。感兴趣的魔友，最好自己独立地思考一下。如果对普通6轴3阶魔方的这几个问题弄清楚了，对skewb来说，就是一个触类旁通的事情了。有skewb的朋友最好都思考一下，我发现一边摆弄魔方，一边思考其中的一些问题，的确是挺有意思的。





skewb一共有八个角块，六个中心。

八个角块有分为两组，每组四个。一组是和轴固定的，另外一组可以动。所有角块都有方向问题，每个角块有三个方向。而中心块则只有位置不同。

所以，如果我们以固定的四个角块为参照系（就像普通六轴三阶魔方的中心块是不动的一样），那么其余四个的位置有4!种可能，所有八个角块有3个方向，所以乘与3^8。中心块的位置有 6! 种可能。所以最多有

4!* 6!*3^8

种状态。

但是其中有些状态是不能够达到的。这些不可能出现的状态是由skewb的转法所决定的。

首先，相对于固定的四个角块，自由的四个角块的位置一定是偶置换。所以要除以2。

其次，角块的方向不是独立的。不过，skewb的角块方向和6轴3阶的角块方向有不同的规律。在6轴3阶魔方中，若用0，+1，-1分别表示角块当前的位置是正确，顺时针120度或者逆时针120度。则8个角块的方向数之和为0 (模3意义下，以下同)。换句话说，就是其中七个角块的方向是自由的，剩下一个由前七个的方向唯一决定。

对于skewb，我们类似地定义方向数，八个角块的方向数记为a1,a2, .... a8，对应于下图：




对于skewb，一般来说，所有角块方向数之和并不等于零。若八个角块全部归位，且1、2、3、4色向正确时，
5的色向决定7的色向，6的色向决定8的色向。

有这些限制，所以这里要除以9=3*3 （相当于真正独立的角块是6个，此时7、8号角块色向依赖5、6号）

具体的说，就是八个角块的相对位置正确时，必须有

a2+a4+a5+a7=0
a1+a3+a6+a8=0


最后，中心块相对于角块要是偶置换，所以又除以2。

综上所述，真正的状态数是：

4!* 6!*3^8 / (2*9*2)=3149280

同时，我们也说明了，拆开随意重装能还原的概率是1/36。

[ 本帖最后由 sokoban 于 2008-12-23 16:58 编辑 ]

sokoban

烟头兄的观点令我耳目一新。我这才发现skewb和所谓的 Meier-Halpern Pyramid 是一样的。只是skewb 棱块无色向，中心块有色向，Meier-Halpern Pyramid 则相反。

sokoban

其他四个是同构异形都知道，就是没想到这个正四面体也和它们同构异形，而且这种正四面体除了DIY外，很少见啊。

[ 本帖最后由 sokoban 于 2008-12-9 21:50 编辑 ]

sokoban

一个是这样的十二面体：(来自此贴：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=15836)



另外一个是 Pyracue (冈本胜彦的设计)：



还有meffert 马上就要出品的 tony fisher 的golden cube 和 golden egg，其实都是skewb

这个不容易看出来是skewb，因为在复原状态，能转动的地方不是对齐的。设计理念和mirror cube 有类似之处，不需要贴纸，但是把每块的形状搞得很奇怪，让你打乱后看不出来了。

sokoban

CTS 不愧为香港第一魔友。难道 calvin 都没有吗？

sokoban

感谢乌木老师指出错误, 已经对一楼作了修改.

sokoban

大烟头兄的解释令我茅塞顿开。

下面我尝试从群论的角度重新阐述一遍。

魔方的所有状态构成一个群 G。若只允许作簇内变换，那么能够得到的状态全体也构成一个群 H， 这个群是 G 的一个子群。

由群的陪集分解，G 可以表示为 H 的陪集的无交并。

对于6轴3阶魔方， 一共只分解成两个陪集，即所谓奇偶性。

但对于Skewb， 却有3个陪集，分别对应“正扰动状态”、“负扰动状态”、“非扰动状态（即子群 H 本身）”。在只作簇内变换时，状态只能在某个陪集内部转变，而不能从一个陪集变到另外一个陪集。

不排除存在某种魔方，陪集的个数更多，这有待我们的发现。

[ 本帖最后由 sokoban 于 2008-12-25 18:47 编辑 ]

sokoban

原帖由 Cielo 于 2008-12-25 20:39 发表
换个角度想想，如果问：什么样的魔方存在“奇偶性的扰动状态”？恐怕也不是很容易回答得很全面的吧！

说得很对啊，判断一个魔方有多少个扰动状态，相对容易。反过来，找出所有有三个扰动状态的魔方，似乎就不那么容易了。

原帖由 Cielo 于 2008-12-25 20:39 发表
P.S：之前查过sokoban的，是推箱子的意思啊

呵呵，是的，推箱子

[ 本帖最后由 sokoban 于 2008-12-25 21:10 编辑 ]

sokoban

Cielo 是不是西班牙语的 “天空”

sokoban

ggglgq 列出的几个魔方中， 有一个似乎是冈本胜彦的 五阶Skewb。既然3阶skewb 有三个扰动状态， 那么5阶skewb 也有可能是三个扰动状态。