对空间很感兴趣

小圆来了

莫比乌斯环——非常神奇的东东

乌木

三村三校通路问题，是否如下图这样修路。有一个村到三校的路都较短，另两村都是到两个学校路较短，到另一学校要绕一圈。此图和有的图不同，有的图画上蚂蚁，在带子“外”爬，要爬上两圈才回到起点。我此图，把莫比乌斯带（封闭、扭曲二维面）看作是无厚度的，所画的路就在带子“内”！故绕一圈即到另一学校。白点、绿点分别代表村子还是代表学校，都可以。
      

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-11-18 13:01 编辑 ]

kexin_xiao

<H1>麦比乌斯圈</H1>
<DIV class=text_pic style="FLOAT: right; VISIBILITY: visible"><A href="http://imgsrc.baidu.com/baike/pic/item/d478a800c2e97594e950cd0b.jpg" target=_blank><IMG title="" src="http://imgsrc.baidu.com/baike/abpic/item/d478a800c2e97594e950cd0b.jpg"></A></DIV>
<DIV id=lemmaContent>
<DIV class=bpctrl></DIV>　　<B>麦比乌斯圈是什么：</B><BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　麦比乌斯圈(M&amp;ouml;bius strip, M&amp;ouml;bius band)是一种单侧、不可定向的<A href="http://baike.baidu.com/view/324917.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>曲面</FONT></A>。因A.F.<A href="http://baike.baidu.com/view/167584.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>麦比乌斯</FONT></A>(August Ferdinand M&amp;ouml;bius, 1790-1868)发现而得名。将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起 ，得到的曲面就是麦比乌斯圈，也称麦比乌斯带。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　<B>麦比乌斯圈的发现：</B><BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做<A href="http://baike.baidu.com/view/24057.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>边界</FONT></A>的纸圈儿呢？<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多<A href="http://baike.baidu.com/view/66827.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>科学家</FONT></A>进行了认真研究，结果都没有成功。后来，<A href="http://baike.baidu.com/view/3762.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>德国</FONT></A>的<A href="http://baike.baidu.com/view/66878.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>数学家</FONT></A>麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　一片片肥大的<A href="http://baike.baidu.com/view/1243.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>玉米</FONT></A>叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向<A href="http://baike.baidu.com/view/641089.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>对接</FONT></A>成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小<A href="http://baike.baidu.com/view/53900.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>甲虫</FONT></A>，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。” 麦比乌斯圈就这样被发现了。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　<B>奇妙的麦比乌斯圈：</B><BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　做几个简单的实验，就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们惊奇有趣的结果。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　你弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发现,另一个面的入口被堵住了,原理就是这样啊.<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“麦比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈<A href="http://baike.baidu.com/view/259697.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>一分为二</FONT></A>，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　如果在纸条上划两条线，把纸条三<A href="http://baike.baidu.com/view/728704.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>等分</FONT></A>，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不一分为二，一大一小的相扣环。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　关于麦比乌斯圈的单侧性，可如下直观地了解，如果给麦比乌斯圈着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把麦比乌斯圈两面均涂上颜色 ，即区分不出何是正面，何是反面。对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。单侧性又称不可定向性。以曲面上除边缘外的每一点为<A href="http://baike.baidu.com/view/297302.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>圆心</FONT></A>各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴麦比乌斯圈单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的<A href="http://baike.baidu.com/view/734663.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>指向</FONT></A>相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。麦比乌斯圈是不可定向的。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　麦比乌斯圈还有着更为奇异的特性。一些在<A href="http://baike.baidu.com/view/425685.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>平面</FONT></A>上无法解决的问题，却不可思议地在麦比乌斯圈上获得了解决。比如在普通<A href="http://baike.baidu.com/view/31260.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>空间</FONT></A>无法实现的“手套易位问题”：人左右两手的<A href="http://baike.baidu.com/view/93691.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>手套</FONT></A>虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套。不过，倘若你把它搬到麦比乌斯圈上来，那么解决起来就易如反掌了。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　“手套易位问题”告诉我们：堵塞在一个扭曲了的面上，左、右手系的物体可以通过<A href="http://baike.baidu.com/view/250223.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>扭曲</FONT></A>实现<A href="http://baike.baidu.com/view/708351.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>转换</FONT></A>。让我们展开想象的翅膀，设想我们的空间在宇宙的某个边缘，呈现出麦比乌斯圈式的弯曲。那么，有朝一日，我们的星际宇航员会带着左胸腔的心脏出发，却带着右胸腔的心脏返回地球呢！瞧，麦比乌斯圈是多么的神奇！但是，麦比乌斯圈具有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不足。公元1882年，另一位德国数学家费力克斯•克莱茵（Felix Klein，1849～1925），终于找到了一种<A href="http://baike.baidu.com/view/119423.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>自我封闭</FONT></A>而没有明显边界的模型，后来以他的名字命名为“<A href="http://baike.baidu.com/view/65561.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>克莱因瓶</FONT></A>”。这种怪瓶实际上可以看作是由一对麦比乌斯圈，沿边界粘合而成。<BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　<B>麦比乌斯圈的应用：</B><BR>
<DIV class=spctrl></DIV>　　数学中有一个重要分支叫“<A href="http://baike.baidu.com/view/41881.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>拓扑学</FONT></A>”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，“麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了<A href="http://baike.baidu.com/view/20960.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>建筑</FONT></A>，<A href="http://baike.baidu.com/view/576.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>艺术</FONT></A>，<A href="http://baike.baidu.com/view/10102.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>工业</FONT></A>生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造<A href="http://baike.baidu.com/view/40620.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>立交桥</FONT></A>和<A href="http://baike.baidu.com/view/125492.htm" target=_blank><FONT color=#3366cc>道路</FONT></A>，避免车辆行人的拥堵。 <BR></DIV>

kexin_xiao

记得上次在一个帖子里讨论过莫比乌斯带，的确很神奇。

乌木

类似地，要五个点之间的连线不重复不交叉（即每一点都有不交叉的专线连接另四点），下图表明一个平面内办不到，跳出平面搞立交是一种常见的办法（交通、印刷电路等）。如果限定于一个面内，请思考怎么办？
                                    

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-11-18 12:52 编辑 ]

狂风扬舞

后悔当初没好好学习。。。。。。。。。。。。

ccbreal

四维到多维，或许存在，现在生活在三维中只能是描述，而无法感受。

Cielo

原帖由 乌木 于 2008-11-18 09:18 发表
类似地，要五个点之间的连线不重复不交叉（即每一点都有不交叉的专线连接另四点），下图表明一个平面内办不到，跳出平面搞立交是一种常见的办法（交通、印刷电路等）。如果限定于一个面内，请思考怎么办？
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记得以前在书上看过的，好像在球面上加一个“环柄”就行！

乌木

那还是立交，25楼的条件是限于一个面内。问题在于这个面是特殊面。

（鼠标拖拉出来看提示→这个面是个封闭扭曲面。←）

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-11-18 13:06 编辑 ]

咖啡味的茶

具我所知，早在十六世纪已经有人找到了所有的四维图形。而高维早就广泛运用于物理和代数计算。而我起码可以构造出两种四维图形的模型了。