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[原创]魔方循环变换理论概述（待完善） [复制链接]

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发表于 2008-2-5 09:54:25 |显示全部楼层

以下是引用ggglgq在2004-6-24 8:08:40的发言：

定理一：设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ，
并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，
设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。
证明：假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左无效，则得到存在 i ，
使得 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = ai a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax
并且 d = ai ，此时设 B = d a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 即得结论。
假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，因魔方的最长变换的
长度为 x，因此对于变换 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 必不是最少步变换，
假设它的一个最少步变换为 b1 b2 b3 ...... bn （n <= x），
则 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) = 1 ，
a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) = 1 ，
设 B = d b1 b2 b3 ...... bn ，则 A = B 。
因 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，而变换 B 又由 d 开始，
故 B 与 A 是不同的变换，且length(A)=x，length(B) <= x+1 = length(A) + 1 ，
又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换，
故 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 为广义循环变换，
又因该魔方为只有 [偶] 广义循环变换魔方，因此 n <= x - 1 。
（若 n = x ，则 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d)
构成 [奇] 广义循环变换，与只有 [偶] 广义循环变换的魔方矛盾。）
因此 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = d b1 b2 b3 ...... bn ，(n <= x - 1)
又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中一个长度为 x 的最少步变换，
所以 n = x - 1 且 d b1 b2 b3 ...... bn 为最少步变换。
（若 n < x - 1 ，则 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < 1 + ( x - 1 ) = x
即 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < x ，与 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax
为一个长度为 x 的最少步变换矛盾。同样若 d b1 b2 b3 ...... bn 非最少步变换，
亦得矛盾。）
即得 B = d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ），且 A = B 。因 n = x - 1 ，
所以 d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ）为一个长度为 x 的最少步变换。
又因变换 B 由 d 开始，故定理得证。

同理，再由“有效变换的定义”可证得：
定理二：设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ，
并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，
设这个变换为 A ，
即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换，
那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ，
使得：A = B 。

再举两个简单实例说明：

可以证明： 123 魔方是只有偶广义循环变换的魔方。因此她的最远变换可以从任意方向开始，
也可以从任意方向结束；

可以证明： 2×2 平面魔方是只有偶广义循环变换的魔方，因此她的最远变换可以从任意方向
开始，也可以从任意方向结束。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-1-8 09:31 编辑 ]

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发表于 2008-3-13 08:48:19 |显示全部楼层

被链接的那些网站出现问题。没关系，有公式，可以看公式！

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发表于 2008-5-26 09:22:24 |显示全部楼层

请楼上参考 3 、4 楼。            “（RBLF）315.......len＝1260 ” 不是“循环变换”，只能算“广义循环变换”。

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发表于 2008-5-26 19:08:04 |显示全部楼层

原帖由 hzhenr 于 2008-5-26 13:31 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=141262&ptid=153" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 是不是说广义和狭义的区别在于是不是最少步变换？

可以这么认为。如果变换的所有半子变换 any(circle0(A),half(A))   都是最少步变换，并且变换的积为单位元，才称这个变换为“循环变换”。            “循环变换”的定义非常苛刻，这样才能保证《循环变换理论》是一个   高效的魔方最少步理论！

原帖由 hzhenr 于 2008-5-26 13:55 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=141295&ptid=153" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 现在所知的三阶循环变换只有5个？

宇宙飞碟小兄弟举的例子仅仅是五个常见示例。

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发表于 2008-5-28 08:06:01 |显示全部楼层

您在 129 楼提到的 (RBLF)315 是正六面体三阶魔方的一个 “广义循环变换” 。       貌似 “执行N次后可以恢复原本状态”的“任何有限步骤的转动序列”都只能归为   “广义循环变换”。         但 ...... 以正六面体三阶魔方为例，  U U U U = U4 却是“循环变换” 。         再比如：

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发表于 2008-5-28 08:07:24 |显示全部楼层

原帖由 <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=153&extra=page%3D1&page=6">ggglgq 于 2005-5-30 08:03</A>     60 楼 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=8358&ptid=153" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>           2×2 平面魔方“循环变换球面网” 
<IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/2005530753795616.jpg">
 2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网” 为“正八面体的循环变换球面网”（如图）。
请各位魔友注意，图中 A --> B 箭头表示：从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。 图中不带箭头的可以互相转换；但带箭头的是不能互相转换的，转换后还需整体旋转。
我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示（D 、 L 、 R 操作同理）： U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转； U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转； U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度； U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。
 由 2×2 平面魔方“正八面体的循环变换球面网”可以得出， 2×2 平面魔方“循环变换” 只有三种：
1. 步长为 2 的循环变换：如 U U =U2 （两点式圆）
2. 步长为 3 的循环变换：如 D R U- （正三角圆）
3. 步长为 4 的循环变换：如 D U D U = (D U)2（正方形圆）
 其他的封闭多边形均是“广义循环变换”，当然可以构造出周期为 N 的算子循环 变换 。请感兴趣的魔友自己试试！

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发表于 2008-5-28 08:08:16 |显示全部楼层

原帖由 <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5798">ggglgq 于 2008-2-9 07:32</A>   2  楼　发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=80900&ptid=5798" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A>                 <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/attachments/month_0802/20080209_1cd15052fcee1c9c484e3i2bOMPGzKbl.png" border=0>       0123 魔方的“态态关系网”为“正六面体循环变换球面网”（如图）。       由 0123 魔方“正六面体的循环变换球面网”可以得出， 0123 魔方“循环变换” 只有三种：          1. 步长为 2 的循环变换：如 U U = U2 （两点式圆）          2. 步长为 4 的循环变换：如 R L U R- （正方形圆） [注：R- 不是 R 的逆]            3. 步长为 6 的循环变换：如 L R L R L R = (L R)3（六边形圆）

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发表于 2008-5-29 08:20:32 |显示全部楼层

其它“循环变换”都可以由这三种“循环变换”衍生出来。

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发表于 2008-5-29 21:52:35 |显示全部楼层

如果不同方位的“同态”算“异态”，那么“ 2×2 平面魔方”只存在步长   为 2、4、6、8 的“循环变换”。  请大家自行寻找这些“循环变换”。         <IMG src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-2/20062131251399109.gif" border=0>                图中所示为“ 2×2 平面魔方”的最长的一个“循环变换” L R U D R L D U  。   请大家参考 92 楼以后的内容。

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发表于 2010-8-25 07:29:03 |显示全部楼层

　　
　　

回黑白子：看得出，黑白子是一个比较严谨的人。  感谢纠正“错误”。


像我们这些搞理论的，说话本来就严谨得近乎啰嗦：定义、定理搞得满大篇，

让多数人不知重点所在。比如本篇《[原创]魔方循环变换理论概述（待完善）》

在论坛中挂了六年多（置顶五年多）了，就没几个人真正搞懂过。而我在那篇

《终极状态》 http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=514&extra=&page=2

原始文章中尽量做到简练易懂，于是出现了这么个“状态”=“最少步变换序列”

的“低级错误”。如果这个“低级错误”影响了大家正确理解“终极状态”的含义，

我只能表示遗憾并作出“更正”（其意思正如乌木先生解释的，在此致谢）：

终极状态：设 c 为任意一个步长为 1 的变换，对于状态 A 存在一个由 c 结束的最少步变换序列 B ，使得 A = B ，则称状态 A 为“终极状态”。

应该描述并理解为：

终极状态：设 c 为任意一个步长为 1 的变换，对于状态 A 存在一个由 c 结束的最少步变换序列 的状态 B ，使得 A = B ，则称状态 A 为“终极状态”。



相关的诠释，我不想再给出了，没什么意思的！因为这些都是表面琐碎的东西，

无妨大碍的。人生何必活得太累？！这里欢迎大家更深入地探讨实质性问题。谢谢！

　　
　　
　　
　　

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