[原创]魔方循环变换理论概述 （待完善）

ggglgq

 

    乌木 先生，这几天比较忙，没顾上浏览论坛，攒了不少问题没有处理，请 乌木 先生
能体谅、理解。

    您这几次的问题，可以概括为您最后这一次的问题。最后这一次的问题 是 大多数的
魔友能够体会到的问题，正如您所回答的“‘对称’含有对称的操作，如 对于 0 号位置
的‘对称操作’为 U ～ U'，F ～ F'，D ～ D'，B ～ B'，R ～ L' 和 L ～ R'” 等等。

    但“对称”也包含“对称的图案”，如 对于 0 号位置 的 “图案的镜像”分别为：
    蓝、绿、红、橙 自对应，黄 ～ 白 、白 ～ 黄 。

   

其他位置的“对称”或“镜像”均含有“对称操作”及“对称图案”（或“图案镜像”），
您可以通过仔细研究 48 态，进一步地理解 48 态 其他位置的这种“对称”或“镜像”。

 

 

[UserName=乌木]

 
 
   唉，这种“咬文嚼字”真累，相信大家会明白的。请 乌木 先生 尽量少“咬文嚼字”，
（有的时候因您没“咬”对地方，反倒会让您更糊涂）让大家更“容易”明白意思为宜。
数学的东西很多地方需要高度的 抽象思维 才能理解，往往越“咬文嚼字”越糊涂。

[/UserName]

[此贴子已经被作者于2006-11-13 10:49:28编辑过]

ggglgq

                “奇偶差异性”魔方的判定

 

QUOTE:

以下是引用ggglgq在2005-11-16 10:47:39的发言：

    
  
  具有“奇偶差异性”魔方的定义
  
     定义：如果一个魔方不存在步长为奇数的循环变换，则称这个魔方具有“奇偶差异性”。

    即：具有“奇偶差异性”的魔方，只能有步长为偶数的循环变换。

    例如：

    1. 最简单的“开关”魔方具有“奇偶差异性”，她只有一个长度为 2 的循环变换；

    2. 2×2 平面魔方具有“奇偶差异性”，她只有长度为 2、4、6、8 的循环变换；

    

3. 通常意义的 正六面体 N 阶魔方 全部都 具有“奇偶差异性”，因为她们只有长度
为偶数的循环变换。  注意：如 U2 算 两步。

 

 

    如何判定一个魔方是否是“奇偶差异性”魔方呢？

 

ggglgq

<P>&nbsp;</P>
<P>&nbsp;<FONT color=#3300ff size=6>“奇偶差异性”魔方的判定</FONT></P>
<P>&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 一、根据 <A href="http://bbs.mf8-china.com/dispbbs.asp?BoardID=18&amp;ID=153&amp;replyID=45727&amp;skin=1"><FONT color=#3300ff>“奇偶差异性”魔方的定义</FONT></A> 判定：<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 对于某些魔方，我们可以直接通过“奇偶差异性”魔方的定义，判定<BR>这个魔方是否是“奇偶差异性”魔方。<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 比如：1、 正十二面体三阶魔方 存在&nbsp;步长为 5 &nbsp;的“循环变换”，故<BR>&nbsp; 正十二面体三阶魔方&nbsp; <FONT color=#ff0000>非</FONT>“奇偶差异性”魔方。<BR><BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2、2×2 平面魔方 只有长度为 2、4、6、8 的循环变换，因此<BR>2×2 平面魔方是“奇偶差异性”魔方。</P>
<P><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2005-5/20055301803042359.gif" border=0></P>
<P><BR><BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 由于多数“奇偶差异性”魔方的“循环变换”数目很大，无法一一列举<BR>来判定该魔方是“奇偶差异性”魔方，我们可以通过下面的 判定定理 来判定。<BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; </P>
<P>&nbsp;</P>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:44 编辑 ]

ggglgq

<P></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; 二、根据 “奇偶差异性”魔方的判定定理 判定：<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1、 魔方块的位态的“奇偶差异性”：用魔方步长为 1 的变换 移动 <BR>魔方块，如果 魔方块的位态 与 变换移动的步长 存在“奇偶”相关性，那么<BR>我们称 这个 魔方块 的位态 具有“奇偶差异性”。&nbsp;&nbsp;&nbsp; （即：魔方块的位态<BR>与 移动魔方块的步长 具有“奇偶”相关关系，“奇数”的位态 只能“奇数”<BR>步到达，“偶数”的位态 只能“偶数”步到达，不能互相参合）<BR><BR><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2007-5/20075281735499952.gif" border=0><BR><BR><BR></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2、<FONT color=blue><STRONG>“奇偶差异性”魔方的判定定理</STRONG></FONT>：<FONT color=#ff0033>如果魔方的<FONT color=#3300ff>每个块</FONT>的<FONT color=#3300ff>所有</FONT>位态都<BR>具有“奇偶差异性”，那么 这个魔方具有“奇偶差异性”</FONT>。<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 定理的证明采用反证法：假设这个魔方非“奇偶差异性”，那么至少<BR>存在一个长度为“奇数”的“循环变换”使得魔方的每个块都处在“偶数”的<BR>位态。因此得到至少存在一个 魔方块 移动步长为“奇数” 却 处在“偶数”<BR>的位态。&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 这与 该魔方的每个块的所有位态都具有“奇偶差异性”矛盾，<BR>故定理得证。<BR>&nbsp; </P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 上面的定理告诉我们，只须考察 魔方的 所有块 的 所有位态 是否<BR>具有“奇偶差异性”，就可以判定 这个魔方&nbsp; 是否 具有“奇偶差异性”了。<BR>说是 魔方的 所有块 ，实际往往根据魔方的对称性，只须判定几个“<FONT color=#ff0000>代表块</FONT>”，<BR>其它的可同理得证。</P>
<P>&nbsp; <BR>&nbsp; </P><BR><FONT color=#000066>
<P align=right><FONT color=#000066>&nbsp; <BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp; &nbsp; <BR>&nbsp; </FONT></P></FONT>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-22 11:51 编辑 ]

ggglgq

 

    三、需要说明的几点：

        1.如果考虑 正六面体 奇 阶魔方 中心块问题（即大家所说的 全色魔方），
它的“奇偶差异性”可由 正六面体 奇 阶魔方 中心块的位态的“奇偶差异性”得到。
即由 中心块的位态具有“奇偶差异性” 得： 正六面体 奇 阶魔方 是“奇偶差异性”
魔方。

        2.如果不考虑 中心块问题，那么 任何的 变换 都不会影响 它的中心块
位态，即 任何 变换 相对于 中心块 的移动步长 都为 0 。

          所以 任意 不考虑 中心块 的 中心块魔方 都是 “奇偶差异性”魔方。

          如：不考虑 中心块 正十二面体五魔方 的 中心块魔方 是“奇偶差异性”
魔方。
              而 不考虑 中心块 正十二面体五魔方 却 非 “奇偶差异性”魔方。

          因此 不考虑 中心块 的 正六面体 N 阶魔方（即大家所说的 纯色魔方）
 的“奇偶差异性” 可由它的所有 棱、角 块 是否都具有“奇偶差异性”来 判定。

        3.对于 不考虑 中心块 的 正六面体 N 阶魔方（即大家所说的 纯色魔方），
如果 每个面旋转 180 °必须按两步计算，大家可由 “奇偶差异性”魔方判定定理
判定出 正六面体 N 阶魔方 是“奇偶差异性”魔方。
同理 如果 每个面只能旋转 180 °，正六面体 N 阶魔方 也是“奇偶差异性”魔方。

[此贴子已经被作者于2007-5-28 17:39:03编辑过]

ggglgq

 

    还是分别回答清楚些。

 

---

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-5-26 19:36:48的发言：

上面说： “3. 通常意义的 正六面体N 阶魔方全部都具有‘奇偶差异性’，因为她们只有长度为偶数的循环变换。 注意：如 U2 算两步。”

上面又说： “比如：1. 正六面体三阶魔方 每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，存在 U U2 U 的“循环变换”，故 正六面体三阶魔方 相对于 每面旋转 90 °、180 °都按一步计算，正六面体三阶魔方非‘奇偶差异性’魔方。”

那么，一个正六面体三阶魔方究竟是还是不是“奇偶差异性”魔方呢？180°算一步和算两步，结论就完全相反，对吗？

 

    对！

ggglgq

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-5-26 19:36:48的发言：

上面说： “‘奇数’的位置 只能‘奇数’步到达，‘偶数’的位置 只能‘偶数’步到达，不能互相参合。”  并且给出了这个图（经删节）：

图0和图3不是同一位置吗？某一个棱块在这位置上可以有两种颜色取向，不等于这是两个位置吧？否则，是否要说“三阶魔方共有24个棱块位置”呢？

此外，图2位置相对于图0位置来说是偶位置；但是相对于图1来说，又是奇位置。可见，讲一个位置的奇偶，必须涉及两个位置。既不是这个位置的性质，也不是那个位置的性质，而是所涉一对位置的相互关系；而且是奇还是偶，还与棱色取向有关。g老师说的是这意思吗？

 

    乌木 先生的意思我很明白。我在这里只是为了叙述“简明”才用“位置”这一
概念的！我想 实在是 没有必要 再给“位置”下一个定义了！

    因为各类“奇偶差异性”魔方（比如 一维、二维、三维 或 高维 魔方）的情形
比较复杂，因此我统一用“位置”表述。我做图的意思就是为了让大家认识到这一点。
这里顺便强调一点：同一“位置” 的 不同的 魔方块 也具有“奇偶差异性”，我就
不扩展说明了，这个问题有能力的魔友可以考虑一下的。

ggglgq

QUOTE:

以下是引用乌木在2007-5-26 19:36:48的发言：

上面说： “如：不考虑中心块正十二面体五魔方的中心块魔方是‘奇偶差异性’魔方。而不考虑中心块正十二面体五魔方却非‘奇偶差异性’魔方。”

这里说的两种“五魔方”区别是什么？是不是一种的中心块因为印有图案之类而具有了方向性，另一种则无？如果是的，哪一种有？哪一种无？

 

    请您注意“中心块魔方”是不包含其他 棱块、角块 的！

    这句话的意思委婉地说： 考虑 中心块 正十二面体五魔方 的 中心块魔方 是
非“奇偶差异性”的魔方。

    魔方的“循环变换”、“奇偶差异性”等概念的内涵与外延是极其丰富的！

ggglgq

 

    “位态”这个词好，感谢 乌木 先生的提醒，采纳 乌木 先生“位态”的建议，
帖子已经做了修正！

     欢迎大家提出好的建议，让我们大家共同完善“循环变换理论”！

ggglgq

 

    请参考“宇宙飞碟”的[原创]有关《正六面体三阶魔方的循环变换》理论的一些命题[定理]。
可能有些内容有错误或不妥之处，请参考对照我的循环变换理论进行纠正。为尊重“宇宙飞碟”
小兄弟的[原创]，我想还是保留“宇宙飞碟”的一切版权，即便错误，我们也不要随便改动。请
大家理解为盼！

    另请参考：

    大烟头写的 [循环公式的一种现象]、还有我写的 [“魔方循环理论”演示专贴]，也都是很好的
“循环变换”入门读物。