我也来一道数学题目——跟圆周率有关

金眼睛

<P>看大家对圆周率这么感兴趣，我也编程序算了一下，提供一下结果，证明不太会，呵呵！<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28"> </P>
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<P><STRONG>连分数方法：</STRONG>以前研究过农历闰月的置闰规则，知道可以利用辗转相除法将一个小数化为连分数，从而形成一个接近小数数值的分数序列，农历正是通过这种计算确定了19年7闰的规律，也就是纯小数部分接近7/19。圆周率也可以通过这个方法化为连分数，具体的方法大家可以去网上搜索，很简单的。</P>
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<P>圆周率的辗转相除结果为（3，7，15，1，292，1……），也就是pi=3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+1/(1+……)))))</P>
<P>可以看到292很大，如果从这儿舍去连分数部分，带来的误差不大，故pi≈3+1/(7+1/(15+1/1）=355/113</P>
<P>呵呵，这样的好事可不是常有的哦，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/lol.gif" border=0 smilieid="12"> </P>
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<P><STRONG>计算机的计算结果（与连分数无关）：</STRONG></P>
<P>共验证一千万个数，依次更加接近圆周率，1(3)4(13)5(16)6(19)7(22)疏率57-7(差别大)<BR>57(179)64(201)71(223)78(245)85(267)92(289)99(311)106(333)113(355)密率16604-113<BR>比率为16604/113≈147倍，对祖冲之的敬仰如滔滔江水啊，呵呵！</P>
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<P>接下来：<BR>16604(52163)16717(52518)16830(52873)16943(53228)17056(53583)<BR>17169(53938)17282(54293)17395(54648)17508(55003)17621(55358)<BR>17734(55713)17847(56068)17960(56423)18073(56778)18186(57133)……略去131个<BR>尾数3-8依旧(巧合？规律？)，比率差别不大，最后的38交替33102(103993)33215(104348)</P>
<P><BR>开始混乱66317(208341)99532(312689)265381(833719)364913(1146408)<BR>995207(3126535)1360120(4272943)1725033(5419351)再往下差别也不小13435351-1725033</P>
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[ 本帖最后由 金眼睛 于 2008-9-24 15:39 编辑 ]

金眼睛

<P>今天又想了一下，发现用连分数的方法是可以证明的，证明如下：</P>
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<P>连分数的辗转相除法请参考<A href="http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_08/page6.html">http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_08/page6.html</A></P>
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<P>前面说了，圆周率辗转相除法的计算结果为（3，7，15，1，292，……）</P>
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<P>舍去292后的部分，得到355/113，换句话说，如果将355/113=3.1415929203539823……辗转相除的话，292的位置上为无穷大</P>
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<P>设292位置上的数为a，且连分数计算到a这一位，这个连分数可以表示为（355*a+333）/（113*a+106）</P>
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<P>整理后连分数即：355/113*(1-(106-333*113/355)/(113*a+106))，a为正整数的情况下，随着a的减小，这个连分数的值减小。</P>
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<P>我们看到连分数的分母为113*a+106，a越小，则可以保证连分数的分母变小。</P>
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<P>比355/113同样接近pi并且a小的小数为：b=2*pi-355/113=3.1415923868256……</P>
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<P>将其化为连分数，可得此时的a为145，（355*145+333）/（113*145+106）= 3.1415923837244……&nbsp;&nbsp; 已经小于b了</P>
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<P>可见如果想让连分数接近pi的精度大于355/113，a至少为146，也就是说这个更好的连分数为：</P>
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<P>（355*146+333）/（113*146+106）=&nbsp; 52163/16604</P>
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<P>结论：如果当作证明题，已经证明了，a至少为145，也就是分母至少为16491，不仅如此，还可以求出下一个更好的连分数。</P>