科普：公理不是真理

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看来这里很多人都习惯把数学公理当作真理一样的东西到处挥舞。在此稍微科普一下。

数学里面的公理只不过是用作推理的基础。它本身不代表正确或错误。只有定理的证明能说得上正确或错误。但是多年以来人们一直有种误解，以为公理就是放诸四海而皆准的真理。其实大谬不然。

在非欧几何出现以前，人们认为几何公理“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行”是放诸四海而皆准的。但是数学家**了这个定论，认为别的命题选作公理代替它也是可以的。这个可以的标准是不会出现矛盾。

人们还曾以为，即使不会出现矛盾，那些非欧几何与我们生活的世界也没有关系。但是爱因斯坦**了这个定论。

随后，对于公理的系统研究开始出现，数学家开始研究为了证明一个定理，到底需要哪些公理。这个研究方向彻底颠覆了人们从公理到定理的思维定势（详细情况，可查阅维基百科的“逆科学”这个条目。维基百科在奥运期间没有被封锁，但之后难说，请抓紧时间）。现在，在数学基础领域，数学家已经提出了无数种内容基本等价，但稍有区别，而表述大相径庭的公理系统。

所以，请不要动不动就拿出“公理”的字样。公理本身也是我们研究的对象之一，选择哪些东西作为公理，是理论建构者的自由，只要它不导致自相矛盾，就能言之成理。我们关注的焦点，应该是证明本身是否正确，而不是他有没有采用和我相同的公理。