科普：公理不是真理

yq_118

这个要运用歌哥德尔不完全性定理去证明。
歌德尔第一不完全定理:设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论,如果S是一致的,则下文的T与非T在S中均不可证.设下述公式的编码为q，
　　歌德尔第二不完全定理:如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
　　（第一不完备性定理：任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
　　第二不完备性定理：任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明它本身的无矛盾性。）

dyer

突然发现在讨论这个问题，我学过科学哲学，简单解释一下。
公理这个概念主要出现在数学中。首先要明确的一点就是，数学不是科学。所谓科学指的是物理、化学、天文学这种建立在观察和实验基础上的学问。而数学的基础是公设。比如对于欧氏几何的几条公设，（两点连一直线，所有的直角都相等等等，记不清楚了）在欧氏几何范围内对它们的对错本身是不予讨论的。就相当于你参加一项比赛，可能这项比赛的规则本身有问题，但你既然参赛就必须遵守规则。比赛中你可以对裁判的判罚提出异议，却不能对规则本身提出异议。
后来有人就通过修改第五公设（同位角相等）建立了非欧几何，欧氏几何成为非欧几何的一个特例，这并不是说欧氏几何第五公理本身是错误的，而是说还有不同于欧氏空间之外的其它空间存在。
所谓的公理，就是由能够由公设直接推倒出的定理。由于公设是不可讨论的，因此一个公理一旦被证明是正确的，那么它就将永远正确。这一点也是数学和科学的区别。数学的所有定理只需要一次证明是正确就足够了，而科学（物理、化学）定理来源于对自然界的观察和实验的总结，却是永远不能证明是正确的。对于一条科学定理（例如万有引力定律），无论你做多少次实验证明它是正确的，也不能保证你下一次再做还能的到同样的结果。而且，由于人们对一个定理所做的实验数量总是有限的（n），而理论上可作的实验数量是无穷大（oo），n/oo的结果就是0。

再说个笑话，从前哥德巴赫猜想通常被形象地称为1+1=2，还真有人就认为哥德巴赫猜想就是要证明1+1为什么等于2，本人高中时的数学老师就是如此。还曾在上课时大言不惭地跟我们说他看过陈景润的论文。其实1+1=2（十进制下）是不需要证明的，因为就是这么规定的！

[ 本帖最后由 dyer 于 2009-5-19 13:06 编辑 ]

FairyTale_WL

差不多看明白了,

yq_118

公理系统都是人为规定的，但其完备性不能在内部得到证明

splendidrex

真是太理论太脱离实际的论述了，我觉得没有任何意义。

Cielo

原帖由 dyer 于 2009-5-19 12:41 发表 ……
科学（物理、化学）定理来源于对自然界的观察和实验的总结，却是永远不能证明是正确的。
……
再说个笑话，从前哥德巴赫猜想通常被形象地称为1+1=2，还真有人就认为哥德巴赫猜想就是要证明1+1为什么等于2，本人高中时的数学老师就是如此。还曾在上课时大言不惭地跟我们说他看过陈景润的论文。

好像听说过这种说法：物理等科学里面的理论是不能被证明，但可以被证伪的，所以这些理论在没有被证伪之前就可以暂时认为是“对”的，因为它是目前最能解释实际情况的理论！

关于哥德巴赫猜想，我觉得应该是被形象地称为“1+1”而没有后面的“=2”吧？
陈景润证到了“1+2”确实了不起啊！

貔貅

科学不是普通人能明白的，简称科普

我就是普通银~

yq_118

原帖由 Cielo 于 2009-5-26 01:55 发表

好像听说过这种说法：物理等科学里面的理论是不能被证明，但可以被证伪的，所以这些理论在没有被证伪之前就可以暂时认为是“对”的，因为它是目前最能解释实际情况的理论！

关于哥德巴赫猜想，我觉得应该是被形 ...

物理只是用数学对现实世界的近似描述，如果和实验符合，就被认为是对的，但也是在一定范围内。

例如经典力学，在通常情况下是正确的，但到了微观世界或高速运动就不适用了。

dyer

原帖由 Cielo 于 2009-5-26 01:55 发表

好像听说过这种说法：物理等科学里面的理论是不能被证明，但可以被证伪的，所以这些理论在没有被证伪之前就可以暂时认为是“对”的，因为它是目前最能解释实际情况的理论！

关于哥德巴赫猜想，我觉得应该是被形 ...

证伪理论只是科学哲学的基础，关于如何证伪还有很复杂的理论，就不是几句话能解释清楚的了。详细的内容有兴趣的话可以在网上找四巨头（波普尔、拉卡托斯、库恩和费耶阿本德）的理论看。不过这些人的理论按顺序看一遍之后基本上对科学的崇敬心理也就荡然无存了

1+1=2中那个2可以理解为偶数

splendidrex

我有时候也觉得，科学这个东西，越到后面越讲不清楚，所谓的道理应用的范围越窄，至少在我从事的生物领域是这样，处处有例外。