离初始状态最远的图案

宇宙飞碟

怎么这两天有关《循环变换》的点击数[人气]这么低，为了提高《循环变换》[人气]，我又证明了《离初始状态最远的图案》的一个结论： [定理] 设：三阶魔方的最长变换的长度为 x ，并设： a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ， 即： A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任意一个步长为 1 的变换， 那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，也存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 C ， 使得：A = B = C 。 感兴趣的网友对我的 [定理] 先发表一些看法或证明，然后我再给出结论吧，我想这样做是不是可能会增加点 [魔方吧] 的人气 及 大家对《循环变换》的关注和理解呢？[em07][em04][em07]

宇宙飞碟

cube_master ， 我怎么也打不开这个 http://coolow.02835.com/swr.html 网页，不然拜托您把它的主要内容给我粘贴到帖子上，麻烦您了，谢谢！

宇宙飞碟

cube_master ，我想这个问题不难，主要咱们论坛人太少，要是人多些，思维就能调动起来。得想想办法聚聚人气呀！ 怎么办呢？我想也征求一下老猫的意见？[em28][em46]

[此贴子已经被作者于5/30/2004 5:37:59 AM编辑过]

宇宙飞碟

我刚才又试了，好象还是打不开。[em06] 还是劳您大驾把它的主要内容给我粘贴到帖子上吧，麻烦您了，这里先谢谢了！[em20]

宇宙飞碟

以下是引用宇宙飞碟在5/28/2004 10:53:08 AM的发言： 怎么这两天有关《循环变换》的点击数[人气]这么低，为了提高《循环变换》[人气]，我又证明了《离初始状态最远的图案》的一个结论： [定理] 设：三阶魔方的最长变换的长度为 x ，并设： a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换，设这个变换为 A ， 即： A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任意一个步长为 1 的变换， 那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ，也存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 C ， 使得：A = B = C 。 感兴趣的网友对我的 [定理] 先发表一些看法或证明，然后我再给出结论吧，我想这样做是不是可能会增加点 [魔方吧] 的人气 及 大家对《循环变换》的关注和理解呢？[em07][em04][em07]

宇宙飞碟

以下是引用ggglgq在6/24/2004 8:08:40 AM的发言：

十二、“广义循环变换”的定义及应用

定理一： 设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ， 并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换， 设这个变换为 A ， 即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换， 那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 开始的长度为 x 的最少步变换 B ， 使得：A = B 。

证明：假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左无效，则得到存在 i ， 使得 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = ai a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 并且 d = ai ，此时设 B = d a1 a2 a3 ...a(i-1) a(i+1)... a(x-1) ax 即得结论。 假设 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，因魔方的最长变换的 长度为 x，因此对于变换 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 必不是最少步变换， 假设它的一个最少步变换为 b1 b2 b3 ...... bn （n <= x）， 则 (-d) a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) = 1 ， a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) = 1 ， 设 B = d b1 b2 b3 ...... bn ，则 A = B 。 因 (-d) 使 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 左有效，而 变换 B 又由 d 开始， 故 B 与 A 是不同的变换，且length(A)=x，length(B) <= x+1 = length(A) + 1 ， 又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换， 故 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 为广义循环变换， 又因该魔方为只有 [偶] 广义循环变换魔方，因此 n <= x - 1 。 （若 n = x ，则 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax (-(b1 b2 b3 ...... bn)) (-d) 构成 [奇] 广义循环变换，与只有 [偶] 广义循环变换的魔方 矛盾。） 因此 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax = d b1 b2 b3 ...... bn ，(n <= x - 1) 又因 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中一个长度为 x 的最少步变换， 所以 n = x - 1 且 d b1 b2 b3 ...... bn 为最少步变换。 （若 n < x - 1 ，则 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < 1 + ( x - 1 ) = x 即 length( d b1 b2 b3 ...... bn ) < x ，与 a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为一个长度为 x 的最少步变换 矛盾。同样若 d b1 b2 b3 ...... bn 非最少步变换， 亦得矛盾。） 即得 B = d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ），且 A = B 。因 n = x - 1 ， 所以 d b1 b2 b3 ...... bn （ n = x - 1 ）为一个长度为 x 的最少步变换。 又因变换 B 由 d 开始，故定理得证。

同理，再由“有效变换的定义”可证得： 定理二： 设对于只有 [偶] 广义循环变换魔方的最长变换的长度为 x ， 并设：a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax 为其中任意一个长度为 x 的最少步变换， 设这个变换为 A ， 即：A = a1 a2 a3 ...... a(x-1) ax ，又设 d 为任一个步长为 1 的变换， 那么：对于这个最长变换 A 存在一个由 d 结束的长度为 x 的最少步变换 B ， 使得：A = B 。 [em17]

哈哈，原来如此！（差一点儿就被我盗版了）[em07]