谁愿意用手工组装方式给出N阶合法状态数计算通式

乌木

我昨天说的那（忘了从哪里看来的）二阶算法 8！×3^7 / 24，我曾称之为“随机组装……”什么的，经你的指点，这叫法不妥，算法还是对的。这8！×3^7 / 24 应该就是一个正确二阶魔方的可转出的总态数，其中3^7就是直接考虑了魔方的色向规律，这里并无随机组装或手工组装什么的。正如你的算法中，“边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3”，其中的“×3”就是7次。

以上是说我并不想用手工组装法算二阶的总态数。至于三阶纯色，常见的随机组装数再除以3×2×2的算法，更不是“我的算法”，我没看到它之前，哪里会算啊。

N阶的手工组装算法，我是不会，只是看到有人算四阶纯色：

   

如果把其中的3^7改为3^8 / 3，含义变一变，不知算不算手工组装法了？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-4 10:20 编辑 ]

乌木

确实不易弄懂计算式的含义。先看看全色四阶的（24！×24！×8！×3^8）/（6×24），是否这样分析：

先看算式的分子部分。8个角块的组装数为8!×3^8，这很眼熟了。
24个心块的组装数为24！，它们在某一位置上的的取向是“死的”－－意思是，任一个心块可以装到24个心块位置的任一处，但只能有一个方向装入，不仅是物理结构决定这一点，而且即使屏幕上的虚拟全色四阶魔方，操作下来也是如此。
24个棱块的情况类似于心块，任一个棱块在任一棱块位置上的取向也是“死的”，它尽管有两个色片，但和三阶的“中棱块”性质不同，后者在组装时，在同一位置上可以有两种色向，可是四阶的棱块白长了两片脸面，物理结构和魔方转动规律都说明了这一点，比如，把两个紧挨在一起的棱块互换的时候，它们非得互换的同时都翻色。好比面前有两个不分左右的手套，可以两手手背朝上插入手套。手套不动，左右手互换后，只能手心向上着插入。
难懂一些的是分母 /（6×24）。除以24是消同态吧？
6＝3×2，除以3是排除组装时出现的角块簇的非法色向态，前7个角块可以任意取3种色向，“小八子”的色向只能取三种之一（究竟哪一种，取决于前7个角块的排定后的色向），才能满足整个角块簇的色向和为零。

剩下最后的除以2不易解释了，是不是在四阶全色魔方的转出态中，任一态都不允许单单互换任意两个心块（或单单心块一个偶置换）或单单互换任意两个角块（或单单角块一个偶置换）。心块有一个偶置换的话，必然连带角块也有一个偶置换。一个偶置换可以化解为一个二置换。这样，随机组装得到的、关于角块和心块的位置装出数 8！×24！中显然含有单单心块簇一个二置换或单单角块簇一个二置换，属于非转出态。每一个非转出态都有一个对应的转出态（即那一对肇事的块再互换回去的态），两种态的数目势均力敌，所以只要简单地除以2即得转出态数目。

还要说明的是，转出态之中，如果心块簇含奇数个（确切说不一定仅一个，而是奇数个）偶置换，同时角块簇也含奇数个偶置换，两者彼此彼此，倒也合法的。这些态在上面的算式中不必另加考虑，就包含在除过2之后的转出态数目之中。

实际做做即知，只有心块簇和角块簇两者有上述制约关系，棱块簇可以单单互换任意两个块的，不会牵连别的簇（或者，由于所用的公式使别的簇有变化，也是可以继续修正别的簇的，只留下棱块的一个偶置换。）所以，分母中的除以2与棱块簇无关，棱块簇对总态数的贡献24！不要打任何折扣的。

我只会把6拆成3和2，否则真不知如何解释。

如果上述解释没问题的话，我总觉得仍还是现象，魔方规律的深层次原因不知是什么，一定更有趣吧？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-4 10:30 编辑 ]

乌木

我想，把6看成3×2，分别解释应该也可以，而且分开分析不容易遗漏。比如，楼上你就遗漏了组装态中的一种非转出态－－其余块装对了，但心块簇含一个偶置换，这种错态属于楼上A～F的哪一类呢？
        

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-11 10:32 编辑 ]

乌木

其实，不把6分拆，完全可以如你那样解释，你只不过A～F的六类归纳得有重复和有遗漏而已，重新分类A～F即可。

此外，我对理论问题确实很木讷，是一下子除以6为简捷，我那分为3×2考虑是有点噜苏。我继续努力吧。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-4 10:34 编辑 ]

乌木

也许是的，容我想想。

我上面把6分开考虑时，除以3之后，在角块正确的条件下，心块、棱块的组装态只有两类－－错误和正确，且两类数目相等，所以才再除以2。

这样，意味着我13楼例子的心块错态和角块错态统统归于一类了－－不管心块错还是角块错都归入24！/ 2 之中了。

所以，仅从字面看，“C。二角独立置换”似乎漏了什么，从实际内容说，心块错态已经归入“C。”了。否则，照我刚才的错误说法，再增加一类的话，就不是除以6了。对吗？是不是心块错可以转换为角块错的？

谢谢指点。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-4 10:38 编辑 ]

乌木

刚才实际做做，确实，四阶、全色的心块错和角块错可以互相转换的。

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-7-19 11:19 编辑 ]

乌木

哈，我也不管你们谁会因我的帖子而“哭笑不得”了，我还想说说，否则有错的话将永远得不到大家的指点，论坛中比我明白的人有的是。

对“四阶纯色：（24！*24！*8！*3^8）/（3*24*24^6）”的理解：

除以3和除以24 的含义同前（11楼）。

六组心块（每组四个，同色）的任一组来说，再怎么打乱，总在某四个位置上。这四个同色的心块在当时的四个位置上的组装数目为4！可是因为纯色，它们白忙乎了－－4！种组装显示不出区别！六组心块的这种“白忙乎”对分子部分（24！*24！*8！*3^8）的贡献为4！^6 ＝24^6，所以最后除以24^6就是修正心块组装态数24！，也即四阶纯色心块的组装态数只有24！/ 24^6 。

至于棱块的组装态数24！，用到四阶纯色转出态数计算时，和全色一样也不要修正，已如前述（11楼）。

在理解、会用N阶定律之前，我只能这样折腾。敬请各位指正。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-4 10:41 编辑 ]

乌木

唷！应该还要解释四阶纯色为何没有全色那样的“除以6”的问题。

我的解释是，6＝3×2，故除以3的含义和全色一样。

至于全色那里的除以2（排除角块或心块的非法态）为何到纯色时就不考虑了呢？我还说不清，似乎纯色时同色的四个心块的4！种排列被合并算作一种的时候，已经“兼顾”（外行话噢）了排除角块或心块的非法态。或者说不但看不出心块的非法态，也“容纳”（也是外行话！）了角块的非法态。或者说，如果实际转魔方时出现角块的奇数个偶轮换，心块也一定隐含着奇数个偶轮换，只不过因为纯色而显示不出而已。或者说，全色那里的心块对而角块错的非法态，到了纯色时完全可以复原－－角块偶轮换回来（可见）同时心块也作不可见的偶轮换，即把角块的错误转移到心块，但心块错误因纯色而看不出。这是假想的，但也是可实现的－－DIY四阶纯色时，单单偶轮换一下同色心块，毫无问题。

究竟怎么解释，请教各位了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-4 10:44 编辑 ]

乌木

补充两个图解：
   

总态数的绝对值都是很大的数：
   



上面那图或可改画一下：
        

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-4-11 11:53 编辑 ]

乌木

这6＝3×2的问题，我是这么看的，除以6是先组合后排除；除以3再除以2是先排除再组合，应该等效。我这样/3/2只是理解有关计算的一种方法而已，丝毫没有不“尊重原始算法的约束”的意思，这里说明一下，各位读者别误会才好。你，完全可以不允许我有另一种思考；我，要放弃/3/2的话，至少要让我想通了。目前还未想通，容我再想。

[ 本帖最后由 乌木 于 2008-7-20 08:48 编辑 ]