Deeper-than-origin设计与Complex puzzles

redcarrot

这一篇和上一次写的Rhomdo Transformer性质上有点像，不过不同的是，上一篇算得上综述的话，这篇可能只能算是“读书笔记”，内容也要困难得多。其实这一篇大概一个月之前就完成了70%了，只是一直没时间完成。

Deeper-than-origin（切割深过轴心）和Complex puzzles（“复”魔方）都是较为现代的魔方设计概念。两者有一定的交叉，却又有很大的差别。希望我的“读后感”能够让大家在魔方的世界中欣赏到更多。

我们先来考虑一件事：我们知道，传统上切割深度的极限是对半切：比如二阶、斜转、Pentultimate、Little Chop以及尚不存在的Big Chop分别是六轴、八轴、正十二轴、菱十二轴、菱三十轴的对半切产物。这些魔方的切割线刚好经过了轴心原点（Origin），即几何体的中心。一个很自然的想法是，有没有可能出现深过轴心原点的切割？（关于对半切魔方，可以参考http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid=107009）

我们先在普通的三阶魔方上看看这个问题：如果认为它的切割是深过轴心原点的，每一步的转动都是双层转(Rw, Uw, Fw, ……)。然而，这么看待问题没有任何的好处，每个双层转总是能够看成是对面的单层转加上一个转体。因此，普通三阶魔方我们没有必要把它看成拥有深过轴心原点的切割。

我们可以试着看看这个魔方：2012年Oskar van Deventer的Enabler Cube。它的工作方式是，只有特殊形状角所在的层是可以转动的。也就是说，初始状态下，红、绿、黄三个面可以转动，其它三个面不能；在右图状态下，红、绿、看不见的白面可以转动，其它三个面不能。一种看待它的办法是看作一种特殊的三阶捆绑；然而事实上我们还有另一种看待方式：握住特殊角不动，此时Rw, Dw, Bw三种转动永远是畅通无阻的。或者换句话说，特殊角变成了“轴”的一部分。这样这三个切割就变成了深过轴心原点的切割，即Deeper-than-origin cut。很明显，这么看待这个魔方自然的多。

同样的，Oskar在2014年的作品Deep Cube是做出了一个特殊1x1x3块，使得魔方只有Rw, Bw两个旋转。

通过简单的分析，我们知道，在Enabler Cube与Deep Cube中，角块的解法和（捆绑）二阶魔方别无二致；然而，看起来和三阶棱块一样的部分，解法上和普通的三阶棱块完全不同。我们暂时地回到普通三阶魔方上，只考虑Uw, Dw, Fw, Bw, Lw, Rw六种双层旋转。此时，每个棱块在4个旋转面上：以UF棱为例，转动Uw, Fw, Lw, Rw都会影响到它；而用通常的观点去看待它，只有U, F两种转动会产生影响。同样的，考虑中心块（不想象它们实际上与一个轴相连），每个中心块在5个旋转面：以U面中心块为例，转动Uw, Fw, Bw, Lw, Rw都会影响它（位置或方向）；而用通常的观点去看待它，只有U这种转动会影响它（的方向）。我们不妨称此时的棱块和中心块为反棱块(inverted edge)和反中心块(inverted center)。

类似的，我们自然想知道，有没有可能在三阶魔方上“做出”其它块来。按照“转动几个面能影响一个块”来分类，我们可以有如下10种数学上可能存在的块：
0个面：普通三阶的轴
1个面(U)：普通中心块
2个面(U, F)：普通棱块
2个面(U, D)：还没命名的块
3个面(U, F, R)：普通角块
3个面(U, L, R)：命名为“Triwall”
4个面(U, F, L, R)：“反棱块”
4个面(U, D, L, R)：还没命名的块，与(U, D)块恰好相反
5个面(U, F, B, L, R)：“反中心块”
6个面(U, D, F, B, L, R)：“反轴”

其中，普通三阶的4种块（轴、中心、棱、角）我们称它们是“实”的(real)；其余6种（反棱、反中心、反轴、Triwall和剩下2种还没命名的块）称为“虚”的(imaginary)。10种块合在一起，就构成了一个“复”的三阶——Complex 3x3x3。虚块的概念是由Matt Galla首先提出的。很明显，实、虚、复是借用了数学上实数、虚数、复数的概念。

上面这些并没有再采用Rw, Uw的记号，因为此时我们不是只考虑普通三阶的模型，在deeper-than-origin语境下，之前的Rw, Uw就是外层转动，记为R, U也是恰当的。事实上，TP的“理论家”们交流时不会用到“面”这个概念，也不是用“转动轴”，而是“grip”（握）。在三阶魔方上，grip就是六个面。之所以用到这个概念是因为斜转、直升机等魔方转的是角、棱而非面，grip大概有“拿着转的地方”的意思，因此被广泛采用了。相应的，复三阶的每个块也有了自己的“grip表示”（grip notation），即用它们所在面（grip）的集合来表示，。如三阶角块之一是{U, F, R}， 反棱块之一是{U, F, L, R}。不能看出，复三阶的每个块事实上就是{U, D, F, B, L, R}的一个子集，也就是说，复三阶的块构成的集合就是{U, D, F, B, L, R}的子集集合，即幂集。

（上图比较形象地展示了什么是Grip，以三阶魔方为例。右图中两个grip染成红色，表明一个grip notation，就是三阶魔方的棱块）

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深切三价是有什么结构问题吗，因为感觉是比较容易实现的一类结构

jjuudydy

redcarrot 发表于 2021-8-7 15:43
有0/1面的魔中魔，同一个块处于不同面时，转动的影响不同，没有纳入这个帖子的讨论范围哈

哦哦，好滴，最近我也在思考魔中魔的定义问题，这么看来还不是太好说。
我本来觉得，保持原有转法不变，加入一些新的种类的块的魔方叫做魔中魔。但这看起来就太笼统了。

redcarrot

jjuudydy 发表于 2021-8-6 17:32
技术贴还是要时常进行回顾，我有这么一个问题哈，不知道罗佬怎么看的
三阶魔中魔系列，如果是全0面的话，那 ...

有0/1面的魔中魔，同一个块处于不同面时，转动的影响不同，没有纳入这个帖子的讨论范围哈

jjuudydy

技术贴还是要时常进行回顾，我有这么一个问题哈，不知道罗佬怎么看的
三阶魔中魔系列，如果是全0面的话，那六个表面上的中心块实际属于轴，四个一组的内棱块属于中心块的等价表达，内角和外棱都属于三阶的棱块，外角属于三阶的角块。那么八大行星当中的内棱内角又该怎么理解呢？貌似应该不属于复三阶的一部分吧

xwfh2000

技术文，顶下慢慢看

otischeng

redcarrot 发表于 2018-10-12 22:39
我觉得理解一个概念最重要两点是背后的数学和充分多的例子。
还是不好读懂的话可能是我文笔不够好~

不是文筆的問題啦, 我悟性有限. 你已經寫得很好了~

redcarrot

otischeng 发表于 2018-10-12 17:38
首先, 感謝樓主以數學的角度分析各種魔方的範疇! 以往在TP上也常看各成員之間的討論. 可惜我自己理論基礎幾 ...

我觉得理解一个概念最重要两点是背后的数学和充分多的例子。
还是不好读懂的话可能是我文笔不够好~

otischeng

首先, 感謝樓主以數學的角度分析各種魔方的範疇! 以往在TP上也常看各成員之間的討論. 可惜我自己理論基礎幾乎為0, 加上英語名詞很深奧, 所以多半情況我都是選擇跳過的.

今天慶幸有樓主為大家用中文解釋了一番, 大大增加了閱讀性. 相信能夠幫助到很多有興趣的魔友們. 嗯, 我自己嘛......變成了中文我還是看不懂啊

尤其喜歡樓主文末有各種原文連結, 可靠之餘亦使看者有更大的擴展!

潮州小魔王

太深奥，如看天书