三阶魔方三轮换分类及其应用

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      先看角块第1类（异层类）。
      角块第1类（异层类）有9组，我们逐个来看。显然，挑选哪一型作为组的代表、镜面处于什么位置均对结果没有任何影响。我们在第1组（C01）中以最熟悉的OAJ为例，把它做一个镜像变换，得到RJA（也可以把OAJ的镜像读作其他的型，但它们与RJA一定是同组的）。这一三轮换不涉及DBL角块，在固定缓冲（以DBL为例）角块三轮换的分组总表中没有出现过。但是不难发现，我们先记住RJA这三块在魔方上的绝对位置，然后做一个x’z2的整体旋转，则在新坐标系下，原来固定的RJA那三块（已经随着魔方的整体旋转变了位置）的新编码是PBL（注意，此处整体旋转后给出新的三轮换编码的方式和上文不同，请注意区分）。而PBL与OAK（属于角块第2组）是同一个三轮换。也就是说，OAJ与OAK有镜面对称关系，角块第1组（C01）与角块第2组（C02）互为镜像，它们属于同一个“并组”，且这一“并组”就是由这两个组组成。

图  OAJ及其镜像RJA、PBL、OAK

      继续往下看。把角块第3组（C03）的OAL做一个镜像变换，得到RJB。记住RJB在魔方上的绝对位置，然后做一个x’z2的整体旋转，则在新坐标系下，原来固定的那三块的新编码是PBJ。而PBJ与OAL（仍属于角块第3组）是同一个三轮换。也就是说，OAL与它自己有镜面对称关系，OAL的镜像仍是OAL。所以，角块第3组（C03）与它自己互为镜像，且镜像变换后三轮换顺逆不变（称这种性质为“自镜像性质”），第3组（C03）自己归为一个“并组”。这种“自镜像性质”在角块第1类（异层类）中只有这一例，但在后面还会出现。

图  OAL及其镜像RJB、PBJ、OAL

      仿照上面的方法，把角块第4组（C04）的OBJ做一个镜像变换，得到OCK（属于角块第8组）。所以角块第4组（C04）与角块第8组（C08）互为镜像，它们组成了一个“并组”。同样地，角块第5组（C05）与角块第7组（C07）互为镜像，角块第6组（C06）与角块第9组（C09）互为镜像。
      这样，我们把角块第1类（异层类）的9组归为5个“并组”。它们的镜面对称关系如下图。



图  C01及其镜像C02（只各取一型作为示例）属于同一并组



图  C03有自镜像性质，为一个并组



图  C04及其镜像C08属于同一并组



图  C05及其镜像C07属于同一并组



图  C06及其镜像C09属于同一并组

表  角块第1类（异层类）镜面对称关系

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      再看角块第2类（同层类）。
      角块第2类（同层类）也有9组，它们是C10-C18。我们在第10组（C10）中选取OXR，把它做一个镜像变换，得到RWO（或同组其他型）。注意到RWO也是角块第10组（C10）中的三轮换。所以角块第10组（C10）与它自己互为镜像。

图  OXR及其镜像RWO、ORX

      但是要注意，角块第10组（C10）与它自己互为镜像（称这种性质为“准自镜像性质”），这与角块第3组（C03）的“自镜像性质”有一定的区别。在具有“自镜像性质”的组中，三轮换与它自己互为镜像，且镜像变换后三轮换顺逆不变。在角块第10组（C10）中，三轮换与它自己互为镜像，但镜像变换后三轮换的顺逆发生了改变（更严格地说，是二者无法通过整体旋转等同起来）。具有“自镜像性质”的组一定具有“准自镜像性质”，反之不成立。“准自镜像”是比“自镜像”弱一些的性质。
      我们在第11组（C11）中选取OXS，把它做一个镜像变换，得到RWQ（或同组其他型）。注意到RWQ就是OSM，它是角块第12组（C12）中的三轮换。所以角块第11组（C11）与角块第12组（C12）互为镜像。
      我们注意到，角块第11组（C11）在分类表格中出现的那些三轮换的镜像与角块第12组（C12）在分类表格中出现的那些三轮换的顺逆是相反的。其实这与我们最初把OXS和OXT设为默认轮换方向有关。
      在第13组（C13）中选取OYR，镜像变换得到RNO，它是角块第14组（C14）中的三轮换（但与OYS顺逆相反）。所以角块第13组（C13）与角块第14组（C14）互为镜像。
      在第15组（C15）中选取OYT，镜像变换得到RNP，即OTM。注意到OTM也是角块第15组（C15）中的三轮换（但与OYT顺逆相反）。从而，OYT通过镜像变换也可以得到它自己的逆向三轮换OTY。所以角块第15组（C15）与它自己互为镜像（具有“准自镜像性质”）。
      在第16组（C16）中选取OZR，镜像变换得到RMO，它是角块第18组（C18）中的三轮换（但与OZT顺逆相反）。所以角块第16组（C16）与角块第18组（C18）互为镜像。
      在第17组（C17）中选取OZS，镜像变换得到RMQ，即OSN。注意到OSN也是角块第17组（C17）中的三轮换（但与OZS顺逆相反）。从而，OZS通过镜像变换也可以得到它自己的逆向三轮换OSZ。所以角块第17组（C17）与它自己互为镜像（具有“准自镜像性质”）。

      这样，我们把角块第2类（同层类）的9组归为6个“并组”。它们的镜面对称关系如下图。



图  C10（只画出其一型作为示例）有准自镜像性质，为一个并组



图  C11及其镜像C12（只各画出其一型作为示例）属于同一并组



图  C13及其镜像C14属于同一并组



图  C15有准自镜像性质，为一个并组



图  C16及其镜像C18属于同一并组



图  C17有准自镜像性质，为一个并组

表  角块第2类（同层类）镜面对称关系

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      最后看角块第3类（等边类）。
      角块第3类（等边类）有5组，它们是C19-C23。我们在第19组（C19）中选取OAG，把它做一个镜像变换，得到RJD（或同组其他型），整体旋转后可得OGA。注意到OGA也是角块第19组（C19）中的三轮换（但与OAG顺逆相反）。所以角块第19组（C19）与它自己互为镜像（具有“准自镜像性质”）。
      类似地，在第20组（C20）中选取OBI，镜像变换得到它的同型逆三轮换OIB。所以角块第20组（C20）具有“准自镜像性质”。在第21组（C21）中选取OCH，镜像变换得到它的同型逆三轮换OHC。所以角块第21组（C21）也具有“准自镜像性质”。
      在第22组（C22）中选取OAH，镜像变换得到RJF，整体旋转后可得OGC。它是角块第23组（C23）中的三轮换（但与OAI顺逆相反）。所以角块第22组（C22）与角块第23组（C23）互为镜像。

      这样我们就把角块第3类（等边类）的5组归为4个“并组”。它们的镜面对称关系如下图。



图  C19（只画出其一型作为示例）有准自镜像性质，为一个并组



图  C20有准自镜像性质，为一个并组



图  C21有准自镜像性质，为一个并组



图  C22及其镜像C23（只各画出其一型作为示例）属于同一并组

表  角块第3类（等边类）镜面对称关系

      现在，角块三轮换各组各型的镜像关系就清楚了。再列一个总表看一下。

表  角块各组镜面对称关系总表

      这样我们得到，角块三轮换分为3个并类，15个并组。

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第3节  全部角块三轮换的分类与分组

      固定缓冲角块三轮换的分类与分组情况已经在前面整理出来了。现在我们把上述结论推广到全部角块三轮换上，得出适用范围更广，更加一般的结论。每个人再根据自己缓冲块的选取情况，仿照上面以DBL为例的固定缓冲角块三轮换的分析，很容易整理出与自己缓冲块对应的系统。

      前面已经提到过，由于魔方有8个角块，每个三轮换涉及3个角块，在把每个角块作为固定缓冲块各算一次时，任意一条三轮换在三个角块分别作缓冲时各算了一次。所以全部角块三轮换总数是固定缓冲块情况下角块三轮换数量的8/3。
      不难看出，在角块三轮换的每个类或组中，不限定缓冲块情况下角块三轮换总数都是固定缓冲块情况下角块三轮换数量的8/3。我们把这一结论称为角块三轮换的“8/3原理”。
      有了这个原理，得到不限定缓冲块情况下角块三轮换各类各组包含的三轮换型及其数量就是一个非常容易的事了。

      我们从第1组（C01）开始看。第1组在固定缓冲下共有9型，那么根据8/3原理，第1组的全部型的数量是9*8/3=24。现在看一下它们是哪24型。

      前面已经提到，角块第1类（异层类）在固定缓冲下有9套，那么根据8/3原理，角块第1类（异层类）一共有24套。由固定缓冲下第1类（异层类）的组、套结构关系，马上得到角块第1类（异层类）全部型的组、套结构关系。
      在不限定缓冲的条件下，角块第1类（异层类）共有24套，它们两两之间至多只差一个整体旋转。角块第1组至第9组（C01-C09）中的每一组在第1类（异层类）的24套中的每一套里有且只有一型；而角块第1类（异层类）的24套中的每一套在角块第1组至第9组（C01-C09）中的每一组里有且只有一型。角块第1类（异层类）共有24*9=216型（432条）。

      已经知道，角块三轮换在固定缓冲下有21套，根据8/3原理可以算出，角块三轮换一共有56套。现在有必要先对这56套分类。

      按字典序对角块第1类（异层类）的24套进行排列，它们是：127、128、135、137、146、147、157、167、178、235、238、246、248、258、268、278、345、346、356、357、358、456、467和468。

      按字典序对角块第2类（同层类）的24套进行排列，它们是：123、124、125、126、134、145、148、156、158、234、236、237、256、267、347、348、367、378、458、478、567、568、578和678。

      注意到，1、3、6、8是一个正四面体的四个顶点，2、4、5、7是另一个正四面体的四个顶点。我们先按顶点所在正四面体，再分别按字典序对角块第3类（等边类）的8套进行排列，它们是：136、138、168、368、245、247、257和457。

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图  C01

      回到第1组（C01）24型的整理。第1组（C01）的OAJ是我们很熟悉的一个型。把魔方做一个y’整体旋转，新坐标系下的614套就是原坐标系下的127套。相应地，新坐标系下的OAJ就是原坐标系下的RDA。所以ARD就是角块第1组（C01）在127套中的那一型。我们把ARD称为角块三轮换第1组第1型，记为C0101（“C”表示角块，前一个“01”表示第1组，后一个“01”表示该组第1型）。

图  C0101

      注意，ARD=DAR=RDA=BSE=EBS=SEB=CTF=FCT=TFC。也就是说，角块第1组第1型（C0101）有9种写法，它涉及A、B、C、D、E、F、R、S、T这9种缓冲（处在同一角块上的三个面本质上是一种缓冲，只是色向不同，所以此处本质上涉及A、D、R三种缓冲）。如果以A为缓冲（或者说以UFL的U面为缓冲），那么C0101就是RD三轮换；如果以D为缓冲（或者说以ULB的U面为缓冲），那么C0101就是AR三轮换；如果以R为缓冲（或者说以DRB的D面为缓冲），那么C0101就是AD三轮换。
      自己整理三轮换的分组时，只要在某型看到了你的缓冲编码，再读出此型在该缓冲下的写法就可以了。如果该型的全部写法中都没有你的缓冲编码，说明此型在你的缓冲中不会出现，可以忽略。

      类似地，把魔方做一个x’z整体旋转，新坐标系下的614套就是原坐标系下的128套。相应地，新坐标系下的OAJ就是原坐标系下的ZCE=AFX。所以AFX就是角块第1组（C01）在128套中的那一型。我们把AFX称为角块三轮换第1组第2型，记为C0102。

图  C0102

   
      AFX=FXA=XAF=BDY=DYB=YBD=CEZ=EZC=ZCE。所以角块第1组第2型（C0102）涉及A、B、C、D、E、F、X、Y、Z这9种缓冲（本质上涉及UFL、ULB、DFR三种缓冲）。如果以A（UFL的U面）为缓冲，那么C0102就是FX三轮换；如果以D（ULB的U面）为缓冲，那么C0102就是YB三轮换；如果以X（DFR的D面）为缓冲，那么C0102就是AF三轮换。

      仿照上面的操作，y’z’整体旋转后新坐标系下的614套就是原坐标系下的135套。新坐标系下的OAJ就是原坐标系下的HBN=AMG。所以AMG是角块第1组（C01）在135套中的那一型，称为角块三轮换第1组第3型，记为C0103。

图  C0103

      AMG=MGA=GAM=BNH=NHB=HBN=CWI=WIC=ICW。角块第1组第3型（C0103）本质上涉及UFL、UBR、DLF三种缓冲。如果以A（UFL的U面）为缓冲，那么C0103就是MG三轮换；如果以G（UBR的U面）为缓冲，那么C0103就是AM三轮换；如果以W（DLF的D面）为缓冲，那么C0103就是IC三轮换。

      下面我们列出第1组（C01）全部24型及每型涉及的套的名称、整体旋转（旋转后新坐标系下的614套就是原坐标系下的那一套）和9种写法。我们会在组名的旁边标出大部分人比较熟悉的，本组在614套的那一型作为“代表”（当然，可以根据情况选取你最熟悉的那一型作为标识本组的“代表型”）。

    角块第1组（C01）  本组代表型：OAJ

C0101  127  y’  ARD=DAR=RAD=BSE=EBS=SEB=CTF=FCT=TFC
C0102  128  x’z  AFX=FXA=XAF=BDY=DYB=YBD=CEZ=EZC=ZCE
C0103  135  y’z’  AMG=MGA=GAM=BNH=NHB=HBN=CWI=WIC=ICW
C0104  137  yz’  AGS=GSA=SAG=BHT=HTB=TBH=CIR=IRC=RCI
C0105  146  -  AJO=JOA=OAJ=BKP=KPB=PBK=CLQ=LQC=QCL
C0106  147  x’z2  ASK=SKA=KAS=BTL=TLB=LBT=CRJ=RJC=JCR
C0107  157  z  ATN=TNA=NAT=BRW=RWB=WBR=CSM=SMC=MCS
C0108  167  x2  AOR=ORA=RAO=BPS=PSB=SBP=CQT=QTC=TCQ
C0109  178  xz’  AXT=XTA=TAX=BYR=YRB=RBY=CZS=ZSC=SCZ
C0110  235  x’  DIW=IWD=WDI=EGM=GME=MEG=FHN=HNF=NFH
C0111  238  y2  DXG=XGD=GDX=EYH=YHE=HEY=FZI=ZIF=IFZ
C0112  246  y2z’  DPJ=PJD=JDP=EQK=QKE=KEQ=FOL=OLF=LOF
C0113  248  z’  DJY=JYD=YDJ=EKZ=KZE=ZEK=FLX=LXF=XFL
C0114  258  x  DWZ=WZD=ZDW=EMX=MXE=XEM=FNY=NYF=YFN
C0115  268  z  DZQ=ZQD=QDZ=EXW=XWE=WEX=FYP=YPF=PFY
C0116  278  yz2  DRX=RXD=XDR=ESY=SYE=YES=FTZ=TZF=ZFT
C0117  345  y  GWJ=WJG=JGW=HMK=MKH=KHM=INL=NLI=LIN
C0118  346  x’z’  GLO=LOG=OGL=HJP=JPH=PHJ=IKQ=KQI=QIK
C0119  356  xz  GON=ONG=NGO=HPW=PWH=WHP=IQM=QMI=MIQ
C0120  357  y2z  GNT=NTG=TGN=HWR=WRH=RHW=IMS=MSI=SIM
C0121  358  z2  GXW=XWG=WGX=HYM=YMH=MHY=IZN=ZNI=NIZ
C0122  456  y’z2  JWO=WOJ=OJW=KMP=MPK=PKM=LNQ=NQL=QLN
C0123  467  xz2  JRP=RPJ=PJR=KSO=SOK=OKS=LTP=TPL=PLT
C0124  468  yz  JQZ=QZJ=ZJQ=KOX=OXK=XKO=LPY=PYL=YLP

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      鉴于绝大部分人以向上或向下的面作为缓冲，再列出一个简易版的表格。下表中三轮换所有写法的第一个字母编码都位于向上或向下的面。

    角块第1组（C01）  本组代表型：OAJ

C0101  127  y’  ARD=DAR=RAD
C0102  128  x’z  AFX=DYB=XAF
C0103  135  y’z’  AMG=GAM=WIC
C0104  137  yz’  AGS=GSA=RCI
C0105  146  -  AJO=JOA=OAJ
C0106  147  x’z2  ASK=JCR=RJC
C0107  157  z  ATN=WBR=RWB
C0108  167  x2  AOR=ORA=RAO
C0109  178  xz’  AXT=RBY=XTA
C0110  235  x’  DIW=GME=WDI
C0111  238  y2  DXG=GDX=XGD
C0112  246  y2z’  DPJ=JDP=OLF
C0113  248  z’  DJY=JYD=XFL
C0114  258  x  DWZ=WZD=XEM
C0115  268  y’z  DZQ=OEX=XOE
C0116  278  yz2  DRX=RXD=XDR
C0117  345  y  GWJ=JGW=WJG
C0118  346  x’z’  GLO=JPH=OGL
C0119  356  xz  GON=WHP=ONG
C0120  357  y2z  GNT=WRH=RHW
C0121  358  z2  GXW=WGX=XWG
C0122  456  y’z2  JWO=WOJ=OJW
C0123  467  xz2  JRQ=OKS=RQJ
C0124  468  yz  JQZ=OXK=XKO

      下面作出角块第1组（C01）的全部24型的图。

图  C01的全部24型

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      角块第1类（异层类）其他各组的研究方法是高度类似的，我们直接列出表格。

角块第2组（C02）  本组代表型：OAK

C0201  127  y’  ATF=DBR=RDB
C0202  128  x’z  ADX=DXA=XAD
C0203  135  y’z’  ANG=GAN=WHB
C0204  137  yz’  AGT=GTA=RBH
C0205  146  -  AKO=JQC=OAK
C0206  147  x’z2  ARJ=JAR=RJA
C0207  157  z  ASM=WCR=RWC
C0208  167  x2  AOS=OSA=RCQ
C0209  178  xz’  AXR=RAX=XRA
C0210  235  x’  DGW=GWD=WDG
C0211  238  y2  DZI=GEX=XGE
C0212  246  y2z’  DQJ=JDQ=OKE
C0213  248  z’  DJZ=JZD=XEK
C0214  258  x  DWX=WXD=XDW
C0215  268  y’z  DYP=OFX=XOF
C0216  278  yz2  DRY=RYD=XFT
C0217  345  y  GNL=JHW=WJH
C0218  346  x’z’  GJO=JOG=OGJ
C0219  356  xz  GOW=WGO=OWG
C0220  357  y2z  GMS=WRI=RIW
C0221  358  z2  GXM=WIZ=XMG
C0222  456  y’z2  JWP=WPJ=OLN
C0223  467  xz2  JRO=OJR=ROJ
C0224  468  yz  JPY=OXL=XLO

角块第3组（C03）  本组代表型：OAL

C0301  127  y’  ASE=DCR=RDC
C0302  128  x’z  AEX=DZC=XAE
C0303  135  y’z’  AWG=GAW=WGA
C0304  137  yz’  AGR=GRA=RAG
C0305  146  -  ALO=JPB=OAL
C0306  147  x’z2  ATL=JBR=RJB
C0307  157  z  ARW=WAR=RWA
C0308  167  x2  AOT=OTA=RBP
C0309  178  xz’  AXS=RCZ=XSA
C0310  235  x’  DHW=GNF=WDH
C0311  238  y2  DYH=GFX=XGF
C0312  246  y2z’  DOJ=JDO=OJD
C0313  248  z’  DJX=JXD=XDJ
C0314  258  x  DWY=WYD=XFN
C0315  268  y’z  DXO=ODX=XOD
C0316  278  yz2  DRZ=RZD=XES
C0317  345  y  GMK=JIW=WJI
C0318  346  x’z’  GKO=JQI=OGK
C0319  356  xz  GOM=WIQ=OMG
C0320  357  y2z  GWR=WRG=RGW
C0321  358  z2  GXN=WHY=XNG
C0322  456  y’z2  JWQ=WQJ=OKM
C0323  467  xz2  JRP=OLT=RPJ
C0324  468  yz  JOX=OXJ=XJO

角块第4组（C04）  本组代表型：OBJ

C0401  127  y’  ARE=DCT=REA
C0402  128  x’z  AEZ=DYC=XBF
C0403  135  y’z’  AWI=GBM=WIA
C0404  137  yz’  AHS=GRC=RCG
C0405  146  -  ALQ=JOB=OBJ
C0406  147  x’z2  ASL=JBT=RKC
C0407  157  z  ATW=WAT=RMB
C0408  167  x2  APR=OTC=RAP
C0409  178  xz’  AYT=RBZ=XSC
C0410  235  x’  DHN=GMF=WEI
C0411  238  y2  DXH=GFZ=XHD
C0412  246  y2z’  DOL=JEP=OLD
C0413  248  z’  DKY=JXF=XFJ
C0414  258  x  DMZ=WYF=XNF
C0415  268  y’z  DZO=ODZ=XPE
C0416  278  yz2  DSX=RZF=XDS
C0417  345  y  GWK=JIN=WKG
C0418  346  x’z’  GKQ=JPI=OHL
C0419  356  xz  GPN=WHQ=OMI
C0420  357  y2z  GNR=WSH=RGN
C0421  358  z2  GYW=WGY=XNI
C0422  456  y’z2  JMO=WQL=OJM
C0423  467  xz2  JSQ=OKT=RPL
C0424  468  yz  JQX=OYK=XJQ

角块第5组（C05）  本组代表型：OBK

C0501  127  y’  ATD=DAT=REB
C0502  128  x’z  AFZ=DXB=XBD
C0503  135  y’z’  AMI=GBN=WHC
C0504  137  yz’  AHT=GSC=RBI
C0505  146  -  AJQ=JQA=OBK
C0506  147  x’z2  ARK=JCT=RKA
C0507  157  z  ASN=WBT=RMC
C0508  167  x2  APS=ORC=RCO
C0509  178  xz’  AYR=RAY=XTC
C0510  235  x’  DIN=GWE=WEG
C0511  238  y2  DZG=GDZ=XHE
C0512  246  y2z’  DQL=JEQ=OKF
C0513  248  z’  DKZ=JYF=XEL
C0514  258  x  DMX=WZF=XDM
C0515  268  y’z  DYQ=OEZ=XPF
C0516  278  yz2  DSY=RXF=XFR
C0517  345  y  GNJ=JGN=WKH
C0518  346  x’z’  GLQ=JOH=OHJ
C0519  356  xz  GPW=WGP=ONI
C0520  357  y2z  GMT=WSI=RHN
C0521  358  z2  GYM=WIX=XWI
C0522  456  y’z2  JMP=WOL=OLW
C0523  467  xz2  JSO=OJS=RQL
C0524  468  yz  JPZ=OYL=XKQ

123wyx

角块第6组（C06）  本组代表型：OBL

C0601  127  y’  ASF=DBT=REC
C0602  128  x’z  ADZ=DZA=XBE
C0603  135  y’z’  ANI=GBW=WGB
C0604  137  yz’  AHR=GTC=RAH
C0605  146  -  AKQ=JPC=OBL
C0606  147  x’z2  ATJ=JAT=RKB
C0607  157  z  ARM=WCT=RMA
C0608  167  x2  APT=OSC=RBQ
C0609  178  xz’  AYS=RCX=XRC
C0610  235  x’  DGN=GND=WEH
C0611  238  y2  DYI=GEZ=XHF
C0612  246  y2z’  DQL=JEO=OJE
C0613  248  z’  DKX=JZF=XDK
C0614  258  x  DMY=WXF=XFW
C0615  268  y’z  DXP=OFZ=XPD
C0616  278  yz2  DSZ=RYF=XET
C0617  345  y  GML=JHN=WKI
C0618  346  x’z’  GJQ=JQG=OHK
C0619  356  xz  GPM=WIO=OWI
C0620  357  y2z  GWS=WSG=RIN
C0621  358  z2  GYN=WHZ=XMI
C0622  456  y’z2  JMQ=WPL=OKN
C0623  467  xz2  JSP=OLR=ROL
C0624  468  yz  JOY=OYJ=XLQ

角块第7组（C07）  本组代表型：OCJ

C0701  127  y’  ARF=DBS=RFA
C0702  128  x’z  ADY=DYA=XCF
C0703  135  y’z’  ANH=GCM=WIB
C0704  137  yz’  AIS=GTB=RCH
C0705  146  -  AKP=JOC=OCJ
C0706  147  x’z2  ASJ=JAS=RLC
C0707  157  z  ATM=WCS=RNB
C0708  167  x2  AQR=OSB=RAQ
C0709  178  xz’  AZT=RBX=XRB
C0710  235  x’  DGM=GMD=WFI
C0711  238  y2  DXI=GEY=XID
C0712  246  y2z’  DQK=JFP=OLE
C0713  248  z’  DLY=JZE=XFK
C0714  258  x  DNZ=WXE=XEW
C0715  268  y’z  DZP=OFY=XQE
C0716  278  yz2  DTX=RYE=XDT
C0717  345  y  GWL=JHM=WLG
C0718  346  x’z’  GJP=JPG=OIL
C0719  356  xz  GQN=WHO=OWH
C0720  357  y2z  GNS=WTH=RIM
C0721  358  z2  GZW=WGZ=XMH
C0722  456  y’z2  JNO=WPK=OJN
C0723  467  xz2  JTQ=OKR=ROK
C0724  468  yz  JQY=OZK=XLP

角块第8组（C08）  本组代表型：OCK

C0801  127  y’  ATE=DCS=RFB
C0802  128  x’z  AEY=DXC=XCD
C0803  135  y’z’  AWH=GCN=WHA
C0804  137  yz’  AIT=GRB=RBG
C0805  146  -  ALP=JQB=OCK
C0806  147  x’z2  ARL=JBS=RLA
C0807  157  z  ASW=WAS=RNC
C0808  167  x2  AQS=OTB=RCP
C0809  178  xz’  AZR=RAZ=XSB
C0810  235  x’  DHM=GWF=WFG
C0811  238  y2  DZH=GFY=XIE
C0812  246  y2z’  DOK=JFQ=OKD
C0813  248  z’  DLZ=JXE=XEJ
C0814  258  x  DNX=WYE=XDN
C0815  268  y’z  DYO=ODY=XQF
C0816  278  yz2  DTY=RZE=XFS
C0817  345  y  GNK=JIM=WLH
C0818  346  x’z’  GKP=JOI=OIJ
C0819  356  xz  GQW=WGQ=OMH
C0820  357  y2z  GMR=WTI=RGM
C0821  358  z2  GZM=WIY=XNH
C0822  456  y’z2  JNP=WQK=OLM
C0823  467  xz2  JTO=OJT=RPK
C0824  468  yz  JPX=OZL=XJP

角块第9组（C09）  本组代表型：OCL

C0901  127  y’  ASD=DAS=RFC
C0902  128  x’z  AFY=DZB=XCE
C0903  135  y’z’  AMH=GCW=WGC
C0904  137  yz’  AIR=GSB=RAI
C0905  146  -  AJP=JPA=OCL
C0906  147  x’z2  ATK=JCS=RLB
C0907  157  z  ARN=WBS=RNA
C0908  167  x2  AQT=ORB=RBO
C0909  178  xz’  AZS=RCY=XTB
C0910  235  x’  DIM=GNE=WFH
C0911  238  y2  DYG=GDY=XIF
C0912  246  y2z’  DPK=JFO=OJF
C0913  248  z’  DLX=JYE=XDL
C0914  258  x  DNY=WZE=XFM
C0915  268  y’z  DXQ=OEY=XQD
C0916  278  yz2  DTZ=RXE=XER
C0917  345  y  GMJ=JGM=WLI
C0918  346  x’z’  GLP=JQH=OIK
C0919  356  xz  GQM=WIP=ONH
C0920  357  y2z  GWT=WTG=RHM
C0921  358  z2  GZN=WHX=XWH
C0922  456  y’z2  JNQ=WOK=OKW
C0923  467  xz2  JTP=OLS=RQK
C0924  468  yz  JOZ=OZJ=XKP

123wyx

      再来看角块第2类（同层类）。

      已经提到，在不限定缓冲的条件下角块第2类（同层类）既可以分为24套又可以分为9组。
      角块第2类（同层类）的24套是：123、124、125、126、134、145、148、156、158、234、236、237、256、267、347、348、367、378、458、478、567、568、578和678。
      角块第2类（同层类）的9组是：C10-C18。它们的“代表型”分别是OXR、OXS、OXT、OYR、OYS、OYT、OZR、OZS、OZT（也可以根据情况选取你最熟悉的那一型作为标识本组的“代表型”）。

      角块第10组至第18组（C10-C18）中的每一组在第2类（同层类）的24套中的每一套里有且只有一型；而角块第2类（同层类）的24套中的每一套在角块第10组至第18组（C10-C18）中的每一组里有且只有一型。角块第2类（同层类）共有24*9=216型（432条）。

      下面我们列出角块第2类（同层类）第10组至第18组（C10-C18）的全部型以及每型涉及的套的名称、整体旋转（旋转后新坐标系下的678套就是原坐标系下的那一套）和第一个字母编码位于向上或向下的面的3种写法。我们会在组名的旁边标出该组在687套的那一型作为“代表”。

角块第10组（C10）  本组代表型：OXR

C1001  123  z2  ADG=DGA=GAD
C1002  124  yz2  ADJ=DJA=JAD
C1003  125  y2z  ANF=DBW=WDB
C1004  126  xz’  AOF=DBP=OFA
C1005  134  x2  AGJ=GJA=JAG
C1006  145  xz2  AKM=JWC=WCJ
C1007  148  y’z  AKX=JZC=XAK
C1008  156  x’z’  ANO=WPB=OAN
C1009  158  yz’  AXM=WCZ=XMA
C1010  234  y’z2  DGJ=GJD=JDG
C1011  236  yz  DQI=GEO=OGE
C1012  237  x  DRI=GES=RID
C1013  256  z’  DWP=WPD=OFN
C1014  267  x’z2  DQR=OSE=RDQ
C1015  347  z  GTL=JHR=RJH
C1016  348  xz  GXL=JHY=XLG
C1017  367  y’z’  GOS=OSG=RIQ
C1018  378  x’z  GTX=RYH=XGT
C1019  458  x’  JZW=WJZ=XMK
C1020  478  y2z’  JRY=RYJ=XLT
C1021  567  y  WRO=OWR=ROW
C1022  568  y2  WXO=OWX=XOW
C1023  578  y’  WXR=RWX=XRW
C1024  678  -  OXR=ROX=XRO

角块第11组（C11）  本组代表型：OXS

C1101  123  z2  AEG=DIC=GAE
C1102  124  yz2  AFL=DJB=JBD
C1103  125  y2z  AME=DCW=WDC
C1104  126  xz’  AOD=DAO=ODA
C1105  134  x2  AGK=GKA=JCI
C1106  145  xz2  AJW=JWA=WAJ
C1107  148  y’z  ALX=JYB=XAL
C1108  156  x’z’  AWO=WOA=OAW
C1109  158  yz’  AXN=WBY=XNA
C1110  234  y’z2  DHJ=GLF=JDH
C1111  236  yz  DPH=GFO=OGF
C1112  237  x  DRG=GDR=RGD
C1113  256  z’  DWQ=WQD=OEM
C1114  267  x’z2  DOR=ORD=RDO
C1115  347  z  GSK=JIR=RJI
C1116  348  xz  GXJ=JGX=XJG
C1117  367  y’z’  GOT=OTG=RHP
C1118  378  x’z  GRX=RXG=XGR
C1119  458  x’  JXW=WJX=XWJ
C1120  478  y2z’  JRZ=RZJ=XKS
C1121  567  y  WRP=ONT=RPW
C1122  568  y2  WZQ=OMX=XOM
C1123  578  y’  WYR=RWY=XTN
C1124  678  -  OXS=RQZ=XSO

角块第12组（C12）  本组代表型：OXT

C1201  123  z2  AFG=DHB=GAF
C1202  124  yz2  AEK=DJC=JCD
C1203  125  y2z  AWD=DAW=WDA
C1204  126  xz’  AOE=DCQ=OEA
C1205  134  x2  AGL=GLA=JBH
C1206  145  xz2  ALN=JWB=WBJ
C1207  148  y’z  AJX=JXA=XAJ
C1208  156  x’z’  AMO=WQC=OAM
C1209  158  yz’  AXW=WAX=XWA
C1210  234  y’z2  DIJ=GKE=JDI
C1211  236  yz  DOG=GDO=OGD
C1212  237  x  DRH=GFT=RHD
C1213  256  z’  DWO=WOD=ODW
C1214  267  x’z2  DPR=OTF=RDP
C1215  347  z  GRJ=JGR=RJG
C1216  348  xz  GXK=JIZ=XKG
C1217  367  y’z’  GOR=ORG=RGO
C1218  378  x’z  GSX=RZI=XGS
C1219  458  x’  JYW=WJY=XNL
C1220  478  y2z’  JRX=RXJ=XJR
C1221  567  y  WRQ=OMS=RQW
C1222  568  y2  WYP=ONX=XON
C1223  578  y’  WZR=RWZ=XSM
C1224  678  -  OXT=RPY=XTO

角块第13组（C13）  本组代表型：OYR

C1301  123  z2  AFI=DGB=GBD
C1302  124  yz2  ADK=DKA=JCF
C1303  125  y2z  AND=DAN=WEB
C1304  126  xz’  APF=DBQ=OEC
C1305  134  x2  AHJ=GLC=JAH
C1306  145  xz2  AKN=JMC=WBL
C1307  148  y’z  AJZ=JZA=XBK
C1308  156  x’z’  AMQ=WPC=OBN
C1309  158  yz’  AYM=WCX=XWC
C1310  234  y’z2  DIL=GJE=JEG
C1311  236  yz  DQG=GDQ=OHE
C1312  237  x  DSI=GET=RHF
C1313  256  z’  DMP=WOF=OFW
C1314  267  x’z2  DPT=OSF=REQ
C1315  347  z  GTJ=JGT=RKH
C1316  348  xz  GYL=JHZ=XKI
C1317  367  y’z’  GPS=ORI=RIO
C1318  378  x’z  GSZ=RYI=XHT
C1319  458  x’  JYN=WKZ=XML
C1320  478  y2z’  JSY=RXL=XLR
C1321  567  y  WSO=OWS=RQN
C1322  568  y2  WXP=ONZ=XPW
C1323  578  y’  WZT=RMX=XRM
C1324  678  -  OYR=ROY=XTQ

123wyx

角块第14组（C14）  本组代表型：OYS

C1401  123  z2  ADI=DIA=GBE
C1402  124  yz2  AFJ=DKB=JAF
C1403  125  y2z  AMF=DBN=WEC
C1404  126  xz’  APD=DAP=OFC
C1405  134  x2  AHK=GJC=JCG
C1406  145  xz2  AJM=JMA=WCL
C1407  148  y’z  AKZ=JYC=XBL
C1408  156  x’z’  ANQ=WOB=OBW
C1409  158  yz’  AYN=WBZ=XMC
C1410  234  y’z2  DGL=GLD=JEH
C1411  236  yz  DPI=GEQ=OHF
C1412  237  x  DSG=GDS=RIF
C1413  256  z’  DMQ=WPF=OEN
C1414  267  x’z2  DQT=ORE=REO
C1415  347  z  GSL=JHT=RKI
C1416  348  xz  GYJ=JGY=XLI
C1417  367  y’z’  GPT=OSI=RHQ
C1418  378  x’z  GTZ=RXH=XHR
C1419  458  x’  JZN=WKX=XWK
C1420  478  y2z’  JSZ=RYL=XKT
C1421  567  y  WSP=ONR=RON
C1422  568  y2  WZO=OWZ=XPM
C1423  578  y’  WXT=RMY=XTW
C1424  678  -  OYS=RQX=XRQ

角块第15组（C15）  本组代表型：OYT

C1501  123  z2  AEI=DHC=GBF
C1502  124  yz2  AEL=DKC=JBF
C1503  125  y2z  AWE=DCN=WEA
C1504  126  xz’  APE=DCO=ODC
C1505  134  x2  AHL=GKC=JBI
C1506  145  xz2  ALW=JMB=WAL
C1507  148  y’z  ALZ=JXB=XBJ
C1508  156  x’z’  AWQ=WQA=OBM
C1509  158  yz’  AYW=WAY=XNC
C1510  234  y’z2  DHL=GKF=JEI
C1511  236  yz  DOH=GFQ=OHD
C1512  237  x  DSH=GFR=RGF
C1513  256  z’  DMO=WQF=ODM
C1514  267  x’z2  DOT=OTD=REP
C1515  347  z  GRK=JIT=RKG
C1516  348  xz  GYK=JIX=XJI
C1517  367  y’z’  GPR=OTI=RGP
C1518  378  x’z  GRZ=RZG=XHS
C1519  458  x’  JXN=WKY=XNJ
C1520  478  y2z’  JSX=RZL=XJS
C1521  567  y  WSQ=OMT=RPN
C1522  568  y2  WYQ=OMZ=XPN
C1523  578  y’  WYT=RMZ=XSN
C1524  678  -  OYT=RPZ=XSQ

角块第16组（C16）  本组代表型：OZR

C1601  123  z2  AEH=DGC=GCD
C1602  124  yz2  ADL=DLA=JBE
C1603  125  y2z  ANE=DCM=WFB
C1604  126  xz’  AQF=DBO=ODB
C1605  134  x2  AIJ=GKB=JAI
C1606  145  xz2  AKW=JNC=WAK
C1607  148  y’z  ALY=JZB=XCK
C1608  156  x’z’  AWP=WPA=OCN
C1609  158  yz’  AZM=WCY=XNB
C1610  234  y’z2  DHK=GJF=JFG
C1611  236  yz  DQH=GFP=OIE
C1612  237  x  DTI=GER=RGE
C1613  256  z’  DNP=WQE=OFM
C1614  267  x’z2  DOS=OSD=RFQ
C1615  347  z  GTK=JIS=RLH
C1616  348  xz  GZL=JHX=XJH
C1617  367  y’z’  GQS=OTH=RIP
C1618  378  x’z  GRY=RYG=XIT
C1619  458  x’  JXM=WLZ=XMJ
C1620  478  y2z’  JTY=RZK=XLS
C1621  567  y  WTO=OWT=RPM
C1622  568  y2  WXQ=OMY=XQW
C1623  578  y’  WYS=RNX=XRN
C1624  678  -  OZR=ROZ=XSP

角块第17组（C17）  本组代表型：OZS

C1701  123  z2  AFH=DIB=GCE
C1702  124  yz2  AFK=DLB=JCE
C1703  125  y2z  AMD=DAM=WFC
C1704  126  xz’  AQD=DAQ=OEB
C1705  134  x2  AIK=GLB=JCH
C1706  145  xz2  AJN=JNA=WBK
C1707  148  y’z  AJY=JYA=XCL
C1708  156  x’z’  AMP=WOC=OCW
C1709  158  yz’  AZN=WBX=XWB
C1710  234  y’z2  DIK=GLE=JFH
C1711  236  yz  DPG=GDP=OIF
C1712  237  x  DTG=GDT=RHE
C1713  256  z’  DNQ=WOE=OEW
C1714  267  x’z2  DPS=ORF=RFO
C1715  347  z  GSJ=JGS=RLI
C1716  348  xz  GZJ=JGZ=XKH
C1717  367  y’z’  GQT=ORH=RHO
C1718  378  x’z  GSY=RXI=XIR
C1719  458  x’  JYM=WLX=XWL
C1720  478  y2z’  JTZ=RXK=XKR
C1721  567  y  WTP=ONS=RQM
C1722  568  y2  WZP=ONY=XQM
C1723  578  y’  WZS=RNY=XTM
C1724  678  -  OZS=RQY=XTP

角块第18组（C18）  本组代表型：OZT

C1801  123  z2  ADH=DHA=GCF
C1802  124  yz2  AEJ=DLC=JAE
C1803  125  y2z  AWF=DBM=WFA
C1804  126  xz’  AQE=DCP=OFB
C1805  134  x2  AIL=GJB=JBG
C1806  145  xz2  ALM=JNB=WCK
C1807  148  y’z  AKY=JXC=XCJ
C1808  156  x’z’  ANP=WQB=OCM
C1809  158  yz’  AZW=WAZ=XMB
C1810  234  y’z2  DGK=GKD=JFI
C1811  236  yz  DOI=GEP=OID
C1812  237  x  DTH=GFS=RIE
C1813  256  z’  DNO=WPE=ODN
C1814  267  x’z2  DQS=OTE=RFP
C1815  347  z  GRL=JHS=RLG
C1816  348  xz  GZK=JIY=XLH
C1817  367  y’z’  GQR=OSH=RGQ
C1818  378  x’z  GTY=RZH=XIS
C1819  458  x’  JZM=WLY=XNK
C1820  478  y2z’  JTX=RYK=XJT
C1821  567  y  WTQ=OMR=ROM
C1822  568  y2  WYO=OWY=XQN
C1823  578  y’  WXS=RNZ=XSW
C1824  678  -  OZT=RPX=XRP