四维几何题

hubo5563

至尊达哥 发表于 2016-4-24 16:28
忽然发现还有一个问题......
任意五胞体的体积怎么求？是1/4Vh吗？

四维空间的锥胞体的胞体积是1/4Vh
其中V是胞体底体的体积，h是锥胞体的高。

四维空间的台胞体的胞体积
1/4h（V1+V2+（V1平方*V2）的立方根+（V1*V2的平方）的立方根）
其中h是台胞体的高，V1和V2是台胞体的上、下底体的体积。

四维空间的任意五胞体，是四维空间最简单的棱锥胞体，因此，它的胞体积是1/4hV。

这里要弄清四维空间锥胞体是什么
二维空间就是三角形，面积是1/2bh，b是底边长，h是高。
三维空间就是四面体，也就是三棱锥，体积是1/3Sh，其中S是底面积，h是高
四维空间的五胞体，是四维空间的最简单的棱锥胞体，胞体积是1/4hV，其中V是锥胞体底体的体积，h是高。

二维空间和三维空间底空间中的任何向量都垂直于高，四维空间的锥胞体底体中的任意向量也垂直于高。
这里的锥是任意锥，包括棱锥、圆锥、底面体是任意曲面体的锥体。

台胞体就是四维空间的截锥胞体，上下底体是平行的。

hubo5563

至尊达哥 发表于 2016-4-29 15:43
我想知道为什么是1/4Vh呢？

我们知道三维中的锥体，设从锥体顶点到任意一个平行底面的截面距离为x，锥体高度为h，底面为S，
截面和底面是相似的，底面上的任意一维度量，就存在截面上的一个一维度量与之对应，截面上的一维度量与底面一维度量之比就等于x/h，面积比是二维度量，面积比是（x/h)的平方。
底面上的任意二维形状，就存在截面上的一个二维形状与之对应，他们是相似的，截面上的二维形状的面积与底面上与之对应的二维形状之比就等于（x/h)的平方。
特别是截面和底面是相似的，他们面积比是
S(x)/S=（x/h)^2   其中S(x)是距离顶点为x的截面积。
S(x)=S/h^2*x^2=k*x^2;

四维中的锥体类似三维，设从锥体顶点到任意一个平行底体的截体距离为x，锥体高度为h，底体为V，这里说的底体和截体是四维锥体的底三维超平面，和截面的三维超平面。
截体和底体是相似的，底体上的任意一维度量，就存在截体上的一个一维度量与之对应，截体上的一维度量与底体一维度量之比就等于x/h，
底体上的任何二维形状，也存在截体上的一个二维形状与之对应，截体上的二维形状与底体上与之对应的二维形状也是相似的，面积之比就等于（x/h）^2，
底体上的任何三维形状，也存在截体上的一个三维形状与之对应，截体上的三维形状与底体上与之对应的三维形状也是相似的，体积之比就等于(x/h)^3，
因此，特别是截体和底体是相似的，体积比等于(x/h)^3，

V(x)/V=(x/h)^3;
V(x)=V/h^3*x^3=k*x^3
这里k=V/h^3是常数。
特别V(h)=V=k*h^3;

四维胞体体积就是V(x)dx的从0到h的定积分
而V(x)dx=kx^3的不定积分是1/4kx^4,所以
四维胞体体积就是1/4k*h^4-1/4*k*0^4=1/4*k*h^4=1/4*h*k*h^3=1/4h*V

四维空间的台胞体就是截锥胞体，体积就是
V(x)dx的从h1到h2的定积分，就是1/4kh2^4-1/4kh1^4=1/4k(h2-h1)(h2^3+h2^2*h1+h2*h1^2+h1^3)
h2-h1=h,是截锥的高
k*h2^3是下底的体积
k*h1^3是上底的体积
k*h2^2*h1是（下底体积平方乘以上底体积）的立方根
k*h2*h1^2是（下底体积乘以上底体积平方）的立方根
就得出四维空间的台胞体积：

1/4h（V1+V2+（V1平方*V2）的立方根+（V1*V2的平方）的立方根）

而三维空间的台体体积是
1/3h（S1+S2+（S1*S2）的平方根）

hubo5563

乌木 发表于 2016-4-26 08:51
这和四维正方体有类似之处，平面三角形——三维四面体——四维锥胞体；平面正方形——三维正方体——四 ...

是的，这个图是投影图，实际上每个点都有4个棱，这4个棱是两两相互垂直的。这在三维空间是不可能的，在四维空间确实是这样。

hubo5563

至尊达哥 发表于 2016-5-1 10:11
数学真奇妙，只是没学过定积分好像不是很理解......
请教个问题，一维度量是什么？

曲面包围的体积、曲线包围的面积等都可以用定积分求。
可量长度的，三角形的高、底边长度、周长等，三维物体的棱，等都是一维度量

hubo5563

至尊达哥 发表于 2016-5-1 19:07
S(x)=S/h^2*x^2=k*x^2;这个好像有点问题，里面的"/"应该为"*"，因为它是由S(x)/S=（x/h)^2通过移项得到 ...

没错呀，S(x)/S=（x/h)^2 两边同乘以常数S，化简就是
S(x)=S/h^2*x^2

hubo5563

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双子流星 发表于 2016-5-2 19:20
体积如何用定积分来求？？？

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