九连环中的数学

乌木

聚元号 发表于 2015-9-30 21:35
九连环的一、二环可以同时解套，256步可以解脱。为何要341步？二阶连环如图，根据所得公式可计算得B6=134 ...

虽然一、二环可以同时解套，计算状态数时，应该统计为两个态，每一态与其前后态之间都是仅变化一个环。胡老师的步数的含义在此，你的说法也可以，只是含义不同。
从000 000 000 态到111 111 111态，共有342个态，步数就是341步。
其中一、二环一起上和一起下的“两步并作一步走”的动作算作一步的话，共有85个这种步子，就统计为（341－85＝）256步了。
变化过程的实质是一样的。

乌木

至于7楼胡老师说到格雷码（即九连环的状态代码）转换为相应的二进制数，方法如下：
从右向左一位一位数字依次查看，某一位数字的左方的所有数字之和是偶数的话，该位数字不变；是奇数的话，该位数字改变一下（1变为0；0变为1）。
比如，九连环的状态为110 010 010（右端为第一环，在套子下，等等），这个状态代码就是格雷码，按照上面的变换规则，其对应的二进制数就是 100 011 100，转换为十进制数为 4+8+16+256＝284，也就是九连环从状态000 000 000走284步后就得到状态 110 010 010。

乌木

顺便说一下，二进制数转换为格雷码方法：

对一个二进制数从右向左一位一位数字依次查看，
某一位数字的左面一位数字为1的话，该位数字改一下（1改为0；0改为1）；
某一位数字的左面一位数字为0的话，该位数字不变，
最左面的数字不变。

例如，二进制数
001 100 100 ，  按照上面规则，相应的格雷码就是
001 010 110 。

乌木

我没有深入琢磨过，不知道哪个更好。
似乎用连环状态数列公式计算出来的、十进制的一列数，比如三连环的8个状态数列0、1、3、2、6、7、5、4，很明显是个摆动数列，但是不能直观地看出三连环的状态变化。
如果用二进制数处理，得到一列格雷码 000、001、011、010、110、111、101、100，可以直接体现状态变化，却不易看出摆动性，尤其是环数增加后，状态变化仍很直观，摆动情况不直观。
看来不同目的，各有优点，而两种方法转换较容易，区别不大吧？