阶魔方 --- 概念定义

Fenz

说在前面：
为了理论的严谨性和普适性，本文是从抽象角度看待魔方，忽略外形，配色等，简单地看成一个变换群，所以同构异形的魔方（如三阶魔方、镜面、鬼魔等）统统看成同一种魔方。
下面提到的一个概念“标准外形”，也需要事先说明一下，对于三阶魔方，标准外形就是普通三阶的外形，镜面、鬼魔有不同的实际外形，但它们仍属于三阶魔方，标准外形还是普通三阶的样子——正六面体。
以上是为消除误解而补充的说明，正文开始...


魔方的分类方式有很多，这里说一种朴素的方式，如“二阶魔方”、“三阶魔方”...“二阶五魔”、“四阶五魔”...“N阶四面体”...这些能用阶数和多面体外形来定义的魔方归为一类。
规范的命名方式为“某某体N阶魔方”或“N阶某某体魔方”，当这个“某某体”是正十二面体，可简称五魔，是正六面体时，若不引起歧义，可省略。
这些魔方统称“阶魔方”，具体定义如下。

1. 魔方的标准外形满足以下条件：
　　a)每个面都是正多边形，
　　b)过每个顶点都3条边；
2. 是转面魔方，每个面上的可转动角集合=2π/n的整数倍角集合(n为转动面的边数)；
3. 每个面都对应数量相同的一组切面，切面深度与形状一一对应相同；
4. 切割的深度不超过与转动面相交的棱的中点到转动面的相邻面的中点的连线；
5. 任意切面与同组切面不相交，与相邻组中的切面都相交，与不相邻组的切面都不相交（此处的相交是指相互交叉穿过，部分重合而没有通过不算）。

阶魔方以标准外形和阶数命名。阶数N通常是数棱上块的个数来定义。下面提供一个等价而更少歧义的定义。
第3点中有一个数字——一个面对应的切面数量，我们记为 M。其中如果切面刚好满足以上第4点，就会与另一组的一个切面重合(比如二阶魔方R面的切面和L面的切面重合)，那么分到一组中只算半个切面，所以M有时候是半整数(这时候就是偶数阶魔方)。
阶数N定义为N=2M+1。这不难理解一条棱与两组切面相交，被切开2M处，就会有2M+1个块。而有“半个切面”时，两组各半个切面组成一个切面，也满足同样的规律。

之所以该定义歧义更少，这里举三阶五魔说明。三阶五魔的切面变深而让棱块变成两个分开的三角形时，数棱上块的个数就变成两个，而事实上魔方还是那个三阶五魔。用切面定义就避免了这个问题。


阶魔方外形的限制下。正八面体、正二十面体这样的多面体就不符合条件了。满足条件的多面体有：
三种柏拉图多面体（正多面体）
正四面体、正六面体、正十二面体；
七种阿基米德多面体
截角四面体、截角立方体、截角八面体、截角十二面体、截角二十面体(足球)、大斜方截半立方体、大斜方截半二十面体；
以及侧面是正方形的正棱柱(无数种)。



图中展示的是几种形状的二阶、三阶魔方，前三种是柏拉图多面体，跟着两种是阿基米德多面体，最后一种是正棱柱。阿基米德多面体和正棱柱数量多，没有全部展示，这里举出具有代表性的。
二阶魔方的切线，是定义中第4条规定的最深切线，一旦超过这个深度，就不再是阶魔方，而属于深切魔方了。而由这条切线可知切面一般不是平面，阶魔方的定义并未规定切面形状，所以是任意的，只要同一组切面不相交即可。

当每个面都相同时，阶魔方才是精准的魔方，所以精准的阶魔方只有三种正多面体外形。当阶魔方有多余一种面时，形状的不同就要产生误差，如已经做成实物的足球三阶魔方、五棱柱三阶魔方；或者通过变形来适应形状，如我的虚拟魔方三棱柱二阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=c34443)、三棱柱三阶(http://uukoo.xjisu.cn/cube/?type=cb34443)。面与面之间边数相差越大，误差或性别程度就越大。如上述两个做成实体的魔方，误差就较小，而那些阿基米德多面体中，有的同时拥有正三角形和正六边形甚至正八边形，所以误差大到无法做成实体，只能通过虚拟魔方变形来解决了。

当然魔方的外形不一定都是标准外形，比如三阶正六面体魔方，就被做成镜面、移棱、鬼魔、粽子、八面体等各种形状。从根本上说，这些同构异形仍与三阶魔方是一回事，作为理论贴，本文将它们视为同一种魔方，这种魔方的实际外形可以多种多样，而标准外形就是正六面体。定义中受到规定的都是标准外形，并不约束实际外形（这事先没有强调造成误解，望能澄清）。

PS: 之所以用魔方的标准外形而非轴数来命名，一来单单轴数并不包含轴的分布情况，转动角度等信息，而标准外形则包含所有相关信息；二来轴数并非一个很清晰的概念，比如高阶正四面体魔方，按理说应该算四轴，可换个角度看，又活脱脱是八轴魔方。
比如胡老师的这个







事实上是七阶正四面体魔方的六面体形态，

这种魔方到底算是四轴还是八轴呢？


最后再来讨论与阶魔方有关，但不属于阶魔方的系列

唯棱魔方。在大烟头的观点中，它属于一阶魔方，而按本帖的定义，它不属于阶魔方，因为任意两个切面都不相交，不满足第5点。如果把唯棱叫做一阶魔方有一个问题，当我们把唯棱魔方的棱块从中间切成两块（就像四阶的棱块），同理就成了二阶魔方，这就和真正的二阶魔方冲突了。
所以唯棱魔方另外成一个系列，可以称为一阶唯棱魔方、二阶唯棱魔方。“唯棱”二字不能省略。
而“一阶魔方” ，N=2M+1,N=1  =>  M=0,  没有切面的“魔方”，便如直观认识，是骰子了。

不等阶魔方。这是一类正六面体转面魔方，也有阶的概念，有三个阶数L,M,N。命名方式便是L×M×N或LMN。当L=M=N，且对应切割深度相等时，就是N阶正六面体魔方。所以正六面体阶魔方也和不等阶魔方一并形成一个大类，拥有如3×3×3、4×4×4之类的命名方式。
这里提一个问题，不等阶魔方的并不能仅仅以三个阶数定义，切割深度不同也能让魔方不同（比如3×3×5就可以是好多种）。

百慕大魔方。它的一类特殊情况就是各种三阶魔方，虽然不属于阶魔方，但仍然可以定义一个阶数，这个值永远是3。

可见并非只有阶魔方才能定义阶数，唯独这类魔方能叫阶魔方，是因为它们仅仅用阶和标准外形便可完整描述。

爱好魔方

貌似好深奥，晕~~~
装作路过~~~

星寰剑镛

好高深，好深奥……………………

aspirine

1-魔方的阶定义是一个狭隘的定义，对于用数学方法尤其几何学来定义阶是大材小用,对于阿基米德体用阶定义都存在漏洞
2-魔方是一种机械体，转动方式规则（包括规定转动角，角块移动规则）也将区分看起来相同的魔方。如同一个二阶，一个规定每面只能进行90度旋转，一个规定180度，两魔方自然不同。甚至上下两个旋转层可以在高维中变成一个群
3-数学是魔方的辅助I具，轨道的切割方式有时可以使阶的数学定义不成立……
4-现在的魔方小品化，更多机械组合和联动方式将改变我们对魔方的认识。

我主张把阶作为一个辅助概念，而不是概念的全部

Fenz

ggglgq 发表于 2014-9-16 10:57
　
　　
  

‘阶’这个概念，本来只存在于正方体阶魔方上
也就是正六面体的二阶魔方、三阶魔方、四阶魔方......
“阶”这个词不就是用来描述这些魔方而引入的吗。

三阶魔方去了角块，当然就是一种新的魔方，变换群都不一样了。
还称为“三阶”只会带来混淆。应当以其特征来命名。
帽子魔方去了帽子，阿贝尔群变成了单位元素群，也不是同一种魔方了。

ggglgq

　
　　
  
    楼主 或许以为问题出在：
  
    “‘阶’这个概念，本来只存在于正方体阶魔方上，这也没有争议。可是扩展到其它魔方上，由于定义不同，就会有争议。”
  
我看未必。问题很可能还是出在下面的 刻意“回避问题”上，它们可是都是“正方体”！
  
  
   
  
   
  
   
  
  
别再“回避问题”地谈 你对“帽子”的定义的理解的偏差 或者 它们不属于 阶魔方 了。
  
    你的理论使得所有 “正六面体 N 阶魔方 去了‘角块’ 就不是 N 阶魔方 了”，那
  
我还和你有什么可理论的呢？ 基础的问题不解决好 ...... 楼房越高越危险 ......
　　
　　
　　

ggglgq

　　
  
  
    呵呵！我想 楼上 的核心内容应该是：
  
    “所以当阁下持有不同的“阶”的定义，并且只对某些魔方单独赋值，未给出明确的统一定义，适用范围又模糊。我当然坚持自己的定义。”
  
给我的感觉好像是说 想要指出 楼主 理论错误的人，就必须要有类似的明确的统一的理论的
  
定义，不然是无法说服 楼主 的理论的错误，楼主 当然要坚持自己的定义。  
  
    呵呵，不知我可不可以理解成这是 楼主 在刻意“回避问题”呢？
  
　　
　　
　　
　　
　　

Fenz

ggglgq 发表于 2014-9-13 18:13
　　
  
    3、至于那些 正六面体 N 阶全色魔方 “帽子”的问题，就算咱们对“帽子”的概念

首先感谢阁下与我讨论了这么多，“回避问题”的措辞有所冒犯还请海涵，我的目的也是希望阁下正面阐述。阁下也进一步阐述了对Skewb的观点，但是高阶正四面体还是没有提到。

从32楼看，阁下对“阶”的定义好像是等同于层数。可是层数不能决定什么。二层正方体魔方，就包括转面的二阶、转棱的24Cube、转角的Skewb；三层五魔则更是种类繁多，切面从浅到深有三阶五魔、二阶五魔、水晶五魔......        同样的层数，不同的切割方向、深度，则截然不同。
何况层数和阶不相等也很常见，比如四阶五魔有五层，二阶五魔有三层，所以阁下32楼的佐证就...。


“阶”这个概念，本来只存在于正方体阶魔方上，这也没有争议。
可是扩展到其它魔方上，由于定义不同，就会有争议。还是需要一个好的定义，将概念扩展到合适的魔方上。
魔方是千姿百态的，并非所有的魔方都适合用阶来描述，所以我主张只给适合用阶描述的魔方定义阶。
阁下看来我这样圈定范围是为了“回避”，而我实际为了让“阶”这个概念的意义不变质，并且遵循统一的规则，没有违反规则的特例。
一楼的定义 有完善统一的规则，界定了明确的范围，我认为是个好定义。
正四面体和其他形体一样满足条件，满足规律。

要说正四面体阶魔方有什么特殊的，就是面对角，转面=转角这个特点了。
而正三棱柱、正五棱柱等阶魔方也有类似特点：面对棱，转面=转棱。
面对角和面对棱，都会使层数相比面对面的少，都要特殊处理的话，真是麻烦事。
规律还是简单统一好，层数什么并不重要，既然符合完善统一的定义和规律，何必单独处理。

至于31楼的“歧义性”，有点张冠李戴，那个1阶分明是阁下理论得出，怎么算到我头上。
“存在争议正常，因为从不同角度看，它同时属于两种类别。(让我补充完整)若只从一个角度看，便会得出片面的结论，导致争议。”
而阁下只从转角出发，忽视转面。与我转面角度得到的结论有争议是自然的，但并非合理的，得从两个角度综合看。

至于帽子，既然能转动，产生不同状态，摘掉的话还是有所区别的，不能等同。

我的目的并非争论，只是希望完善魔方的理论。阁下认为讨论的是“基本常识”。然而魔方理论还很不完善，许多概念还缺乏完备的定义。
我所做的，就是整理魔方的分类，符合一定规律的分为一类，给出完善的定义。对于诸如“阶”这样的关键概念，给出明确统一的定义
。
所以当阁下持有不同的“阶”的定义，并且只对某些魔方单独赋值，未给出明确的统一定义，适用范围又模糊。我当然坚持自己的定义。

ggglgq

　　
  
    3、至于那些 正六面体 N 阶全色魔方 “帽子”的问题，就算咱们对“帽子”的概念
  
理解有偏差。引入这个概念就是为了说明 转角正四面体 的“角块”是可以被“摘掉”的，
  
现在目的已经达到，所以我不想再同你纠缠了。
　　
　　
　　

ggglgq

　　
  
  
    2、Skewb 的二阶性，我可以再举出一个佐证：
  
    Skewb 的二阶性，说实在的我已经不想再提了，没什么意思的。 不过你既然提到了
  
四面体百慕大魔方，我想顺便说说下面 这个魔方
  
     
  
它是 正六面体三阶一秩魔方，如果按“阶”算，它应该算“三阶”，你为了“回避问题”
  
把这类魔方都变成“没有阶属性”。 我明确地说，即便没有角块，它还是“三阶”。因此
  
你那 Skewb的三阶性的“佐证” 的本身就值得推敲。
  
    下面是我的 Skewb 的二阶性 的佐证：
  
    我们和三阶粽子魔方做对比，虽然有些牵强，但足可以说明“层”和“阶”的联系：
  
   
   
   
    这里稍微说一下，三阶粽子魔方 是不用“降阶”的，因为它不是“转角”的。