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常规魔方的块状态及其关联约束[持续更新] [复制链接]

银魔

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四年元老

发表于 2014-2-12 17:43:08 |显示全部楼层
本帖最后由 Fenz 于 2014-2-13 12:59 编辑

引子
魔方的状态由每个块的状态决定。
一个块的状态由两个要素组成——位置和方向。
每个块之间的状态通常不是独立的。譬如一个块占据了某个位置,另一个块就不能也占据这个位置;三阶魔方有一个棱块的方向转了180°,就必然有另外至少1个棱块也转了180°。诸如这种现象我们可称为这两(几)个块状态间的关联约束。
这种关联约束即是魔方状态的基本约束,违反了这些约束的魔方状态或者根本不存在(比如两个块重合),或者没法还原(比如三阶魔方单独一个棱块装反了)。
本帖旨在介绍魔方的块状态以及各种关联约束(不全面的还请大家补充),并和大家一起探讨关联约束产生的原因(在这一部分希望能抛砖引玉)。
实例说明永远比抽象讲解更讨人喜欢,所以本文就从熟悉的三阶开始,当然必要时也会讨论各种魔方而不限于三阶。
标题中的“常规魔方”是指非捆绑、无额外限制的魔方。
诸如Bicube、SQ1等(捆绑),移棱MixUp
]、Curvy Copter plus等(外形限制),直升机(捆绑+外形限制),以及插销魔方、90度限转魔方、L-Cube等(附加限制),不属于此列。
并且为了消除疑义,下面讨论的魔方都是默认没有全同块和全同方向的。
譬如四阶同一面的四个面块,我们认为它们不是全同的,互换位置之后就算是另一个状态,三阶中心块的四个方向也认为是不同的,转过90°也算是另一个状态。也即我们下面说的三阶、四阶是指带方向的三阶、四阶。

块状态
块的位置
参考
谈及位置,就得有参考的物或坐标系。比如三阶魔方我们习惯于用六个中心块所连接的轴作为参考,而二阶魔方则常用一个角块作为参考。玩盲拧的朋友一定对此深有体会。
参考是非常重要的,决定了位置状态以及约束的表现形式。
三阶以自身轴为参考,则六个中心块的位置都是固定的。
若以桌面或者别的什么为参考,则每个中心块可能的位置有6个,并满足两个关联约束:一个块的位置可以决定另一个(与之相对的)块的位置,两个不相对的块的位置决定另一个不相对的块的位置进而决定全部6个块的位置。
两种说法本质上是等价的,只是选了不同的参考从而有不同的表现形式。


一开始玩魔方,我们就会知道角块和棱块的位置是不能互换的。因此魔方的块就被分为了若干个簇。同簇的块可以任意换位,不同簇的块之间不能换位。魔方块的位置状态也就可以分为每一个簇的位置状态。
二阶魔方只有一个簇;
三阶魔方有角块簇、棱块簇、中心块簇三个簇;
MixUp虽然与三阶长得很像,却只有角块簇、棱/面块簇两个簇;
Skewb虽看起来只有两种块,却有三个簇:中心块簇、面块簇、角块簇(关于“中心块”这里说一句,许多人将面上的块称为中心块,我认为这容易混淆。在这里我主张称与轴相连并相对轴固定,且可绕轴旋转的块称为中心块,而面上的块则称为面块),角块和中心块外形和功能完全等价,只是在内部结构上不一样,在忽略内部结构的虚拟魔方,或者磁铁球结构的魔方里,就没有角块、中心块之分了,用两个名字只是为了区分出这是两个簇。
敏锐的朋友可能会想:Skewb绕着竖直轴整体转90°,角块和中心块不就互换了吗?这算不算同一个簇?
鉴于此,必须说明一下,正如任何定律都有前提,“不同簇的块之间不能换位”是在魔方基本转动或其合成转动下成立。基本转动就是比如三阶的R、M、L、U、E、D、F、S、B等这些,而三阶的三个整体转动是这些基本转动的合成(如x是RM'L'的合成),所以满足以上定律,而上面所说的Skewb绕着竖直轴整体转90°则既不是Skewb的基本转动又不能由它们合成,所以不满足以上定律。不满足该定律的另一个例子是,三阶像MixUp那样中层转45°,造成棱块与中心块的互换。
另外,其实比起先入为主的Skewb,同构异形的Jing's Pyraminx更有助于理解这种魔方结构,大家思考时不妨多从Jing's Pyraminx的角度来看。
并簇
就是把一个或多个簇的块经过有规律的捆绑变成一个或多个块数更少的簇。降阶法其实就是在并簇,把四阶的棱块两两捆绑变成同三阶棱簇,面块四个四个捆绑成三阶中心块簇。并簇是一种特殊的捆绑,通俗地说就是捆绑完了也不算是捆绑魔方,那就是并簇。
分簇
就是把一个簇分成两个或多个簇。比如用三阶的老思路,先复形再用三阶方法还原MixUp(这绝对是一种糟糕的还原法),就是先把棱/面块簇分解为三阶的棱簇和中心块簇。
并簇和分簇都带来了簇的改变,簇状态(比如下面要说的簇的奇偶)也会重新生成,有时候新簇会不满足一些关联约束,导致无法还原,这时候就必须撤销先前的并簇(重新拆开)和分簇(重新混合)才能还原,这时候说明先前发生了错误并簇或错误分簇。错误并、分簇导致了并、分簇解法的“特殊情况”,要避免这种“特殊情况”,一种办法(蠢办法)是像盲拧那样全面观察魔方,然后思考如何正确并、分簇,另一种办法就是改用其它还原法,比如MixUp用桥式(楼主大力推荐,改天写个教程),以及四阶用桥式或F3L。

置换和奇偶性
既然块的置换都是在簇中进行,那么一个簇就构成一个置换群,最基本的置换单元就是两个块之间的互换,所有变换都可以由两块互换合成,比如大家熟悉的三循环可以拆分为两个两块互换(如ABC→CAB可拆分为ABC→ACB→CAB或者ABC→CBA→CAB)。
无论如何拆分,一个置换要么只能拆成奇数个基本单元,要么只能拆成偶数个基本单元,于是可以将所有置换分为奇置换和偶置换两个种类。用群论的语言就是任何置换群都与二阶循环群同态,同态核中的置换定义为偶置换,其余定义为奇置换。
众所周知,两个偶数相加是偶数,两个奇数相加也是偶数,一奇数和一偶数相加是奇数。置换叠加也是相同的规律。所以由一个奇置换达到的状态无法用偶置换达到,而由一个偶置换达到的状态也能用两个(或者更多偶数个)奇置换达到。
一个簇中块位置的状态可以分为能用偶置换从还原态达到的偶状态,和不能的奇状态。
比如三阶魔方的棱块需要做一个三循环(偶置换)方可还原,就称棱块簇为偶状态,若需要做一个三循环加一个六循环(奇置换)可还原,就称棱块簇为奇状态。

块的方向
一个块(由于结构上具有旋转对称性)在同一个位置可能可以有几个状态,比如三阶魔方的棱块有两个方向,角块有三个方向,中心块有四个方向,也有只有一个方向的,比如四阶魔方除了角块以外的块。
同一簇的块由于结构相同,方向数也相同。
[换句话说,有相同的方向数,有可能是同一个簇。这里说点题外话:方向数和魔方的结构与设计思路。块的方向数和相邻块的数量是相关的。比如三阶面块有四个相邻棱块对称分布,于是有四个方向;角块有三个相邻棱块,所以有三个方向;棱块有两个相邻角块对称分布,又有两个相邻面块对称分布,就有两个方向,当然也可以设法让四个方向都对称(改变一下切割的层宽为1:√2:1就行),就能变成有四个方向了,就和面块有了相同的方向数,具备了变成同一个簇的基本条件,这时候只要修改一下内部结构,使棱块和面块相同且可以互换,MixUp就出来了(这里不说中心块说面块是为了与MixUp等统一,MixUp的表面是没有中心块的)。将三阶的正四边形面变为正五边形,就是五魔方,棱块和角块的情况不变,面块变成了5个方向,所以不能和棱块相同了,故五魔无法变为MixUp。正四边形变成正三角形,就变成了Jing's Pyraminx,这时候面块的方向变为3个,与角块相同,又因为面块的数量、位置分布均和角块一模一样,在结构上,不但可以像三阶一样把面块作为中心块,还可以反过来把角块作为中心块,于是为了增加迷惑性,可以将它们的外形也做得一模一样,就像Skewb系列,这时候两个簇变得不可区分了。还可以进一步,使用诸如将二阶与Skewb结合(貌似这种结构上很难实现的魔方还没人做出来过吧)等方式将两个簇变成一个簇。因此,块的方向数可以为魔方设计提供一个不错思路。]
中心块的方向还有一个特例,那就是非对称方向,通常出现于非对称(除非讨论反射魔方,否则我们所说的对称都是旋转对称)中心块(比如百慕大的三角形中心块、百慕大五魔的梯形中心块)和对称性不足的中心块(比如百慕大五魔的菱形中心块和直升机的原型Crazy Comet的中心块)。转到非对称方向,显然魔方是无法复原的,所以我们讨论的方向都是对称方向。

转向与循环态
一个块沿着对称轴的转不同的角度就构成了一个循环群,其阶就是方向数。与置换以簇为对象不同,转向是以单独的块为对象的。二阶循环群对应奇偶状态,那么普通的循环群则对应类似奇偶而更复杂些的状态,不妨称之为循环态,用角度(本文默认正角度为逆时针旋转)表示。比如三阶的棱块有0°、180°两个循环态,角块有0°、120°、240°(或-120°)三个状态,中心块有0°、90°、180°、270°(-90°)四个状态。
当方向数为偶数时,偶数阶的循环群与二阶循环群同态,就有方向的奇偶性。比如三阶中心块的四个循环态中0°、180°为偶状态,90°、270°为奇状态。



关联约束
关联约束分三类,一是簇内块与块的关联约束,二是簇与簇之间的关联约束,三是块与簇之间的关联约束

不相容约束[一类]
两个块不能占据同一个位置(有点泡利不相容原理的味道,有木有),是必然存在的约束(楼主的宠物鼠标:废话)。

簇的相对定位约束[一类]
有这个约束说明,簇中所有块之间的相对位置总是固定的。中心块由于捆在轴上,都有这种约束。此外Jing's Pyraminx、Skewb魔方的角块也有这种约束。
通常可以用具有相对定位约束的簇(比如中心簇)作为参考,这样分析位置状态比较简便。若没有满足这样约束的簇,我们常用周围环境(比如自己或桌面)作为参考。

簇的偶约束[一类]
有些魔方(比如五魔方)的转动对某些簇产生的所有置换都是偶置换,于是这些簇只能处于偶状态。五魔永远不会出现单独两个棱块或角块互换。
有偶约束的簇,所有置换都可以分解为三循环,故许多魔方的分簇解法的基本公式都是三循环。

簇之间的共同奇偶关联约束[二类]
有些魔方的两个或几个簇之间的奇偶是相关的,比如三阶的棱簇与角簇,要么都处于偶态,要么都处于奇态,否则是无法还原的(这种说法基于以轴作参考,若以桌面做参考的话面簇也有奇偶性,情况变为三个簇只可能有两个或零个簇是奇态,其余则是偶态)。再如四阶的面块和角块共同奇偶。

簇之间的单向奇偶关联约束[二类]
例如空心三阶的角簇和棱簇有类似三阶的奇偶约束,而棱簇又能通过转动中层单独切换奇偶态,即改变角簇的奇偶性,就会改变棱簇的奇偶性,但反过来改变棱簇的奇偶性却不一定改变角簇的奇偶性,这就叫从角簇到棱簇的单向奇偶关联约束。
以环境做参考来看三阶,就能更方便理解空心三阶。这时候中心块是可以动的,因为可以转中层,棱簇的奇偶性就不依赖角簇了,于是约束就成了从角簇到棱簇的单向奇偶关联约束,此外还会有从中心簇到棱簇的单向奇偶关联。这么看,空心三阶就是纯粹少了一个簇
在五阶魔方中,有从角块簇、近角面块簇、侧棱块簇到近棱面块簇的单向奇偶关联。
这种单向关联有时会串成一串(从A簇到B簇,再从B簇到C簇,又从C簇到D簇……),复原的时候若是顺序不对就会很悲剧(如果BCD簇都复原了,却发现A簇处于奇态,那么BCD都要再拆掉了)。例子是魔眼2号。有位魔友的还原方式是先眼珠,再眼白,最后眼睑[原帖],最后出现两个眼睑要互换的情况(眼睑簇奇态),就悲剧了。因为这款魔方(实际是加宽三阶的变形)有从眼睑簇到眼白簇、眼白簇到眼珠簇的单向奇偶关联,而只有眼珠簇是没有任何奇偶约束的,所以这位魔友要调整眼睑簇的奇偶,必然改变眼白簇奇偶,还原眼白簇奇偶又得改变眼珠簇奇偶,最后再来调整眼珠簇的奇偶才能还原。要想避免这种悲剧就可以把还原顺序反过来(先眼睑再眼白最后眼珠),或者用我们伟大的桥式(一般来说桥式总能把奇偶悬念留到最后解决,因为中层转动往往是关键的奇置换。)
www.fenzland.com新做的个人站,欢迎光临

银魔

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四年元老

发表于 2014-2-12 17:47:13 |显示全部楼层

预占的沙发果然用上了,万万没想到还有字数限制,后悔没多占几楼

本帖最后由 Fenz 于 2014-2-13 13:15 编辑

簇之间的一对多奇偶关联约束[二类]
上面所述三阶以环境为参考时两个单向奇偶约束其实并不完整,因为这两个关联约束所约束的紧紧是角簇和中心簇,并未约束棱簇,而棱簇(不像空心三阶的棱簇那样)是独立奇偶的,其奇偶改变必然要影响其它簇,要么是角簇要么是中心簇,所以还有一个从棱簇到角簇和中心簇的一对多关联约束。上面所述的五阶近棱面块簇也有这种约束。
而空心魔方没有了中心簇,这种关联约束就被打破了,棱块成了独立奇偶的簇。
[题外话:奇置换禁止导致的“特殊情况”。“特殊情况”除了上面说的错误并、分簇,还有一种情况是所用的还原法将奇置换或独立的奇置换禁止了。比如空心三阶用普通三阶的层先、两层先(比如CFOP)等还原法,那么就禁止了中层的90°转动(有些公式利用了中层转动,但整个公式一个中层的总转动角度总是0),于是就禁止了棱簇的独立奇置换,棱簇的奇态就无法还原。]

簇的奇偶与中心块方向奇偶的关联约束[三类]
奇置换都是有奇数个奇置换基本转动组成的,譬如三阶的RUR就是个奇置换。如果转动层都有中心块的话,就会有至少一个(奇数个)中心块转了奇数步,若中心块的方向数正好是偶数(有奇偶性),那么这两个奇偶性就会相关联。
例如三阶的棱簇或角簇为奇(偶)态时,中心块的方向也会处于奇(偶)态。

簇的方向循环态约束[一类]
有的簇的所有块循环态角度之和为360°的整数倍。比如三阶的棱块和角块就有这样的约束,所以不存在单棱翻、单角转或单独两角同方向转同样角度的情形。中心块或其他一些能让自身的对称轴和魔方转轴重合的块(如MixUp的棱/面块)就没有这种约束。MixUp能单棱翻,中心块能单独转180°或90°(这里考虑第一类约束,所以其它簇都被忽略)。
楼主不才,还没想通为什么会有这样的约束,以及存在这种约束的条件,希望集思广益。

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发表于 2014-2-12 18:04:39 |显示全部楼层
板凳也不错啊。。话说楼主写的还不错

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学习一下

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发表于 2014-2-12 22:41:35 |显示全部楼层
好一个关联约束。
通俗易懂。

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四年元老

发表于 2014-2-12 23:43:08 |显示全部楼层
讲解的清晰透彻,学习了

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六年元老

发表于 2014-2-13 00:16:19 |显示全部楼层
很好,我慢慢看看

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发表于 2014-2-13 11:59:34 |显示全部楼层
本帖最后由 乌木 于 2014-2-13 17:05 编辑

2楼说:“簇的奇偶与中心块方向奇偶的关联约束[三类]
奇置换都是有奇数个奇置换基本转动组成的,譬如三阶的RUR就是个奇置换。如果转动层都有中心块的话,就会有至少一个(奇数个)中心块转了奇数步,若中心块的方向数正好是偶数(有奇偶性),那么这两个奇偶性就会相关联。
例如三阶的棱簇或角簇为奇(偶)态时,中心块的方向也会处于奇(偶)态。”

如果参照魔方的周围环境,下面的例子是否表明,棱块由偶态转换为奇态时,中心块还可以有另一种关联约束?即六个中心块来个(奇数次)90°(整体)旋转(这应该算中心块位置状态由偶变奇吧?),而角块可以不变。并且,各中心块可以纠正回到(新位置上的)0° 方向。










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发表于 2014-2-13 12:34:48 |显示全部楼层
本帖最后由 Fenz 于 2014-2-13 13:12 编辑
乌木 发表于 2014-2-13 11:59
2楼说:“簇的奇偶与中心块方向奇偶的关联约束[三类]
奇置换都是有奇数个奇置换基本转动组成的,譬如三阶的 ...


用周围环境做参考的话,没有棱簇和角簇的共同奇偶,只有从角簇到棱簇、从中心簇到棱簇的单向奇偶关联。
9楼演示的情况应该是位置而不是方向的问题,属于从中心簇到棱簇这个单向奇偶关联的情况。
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不过倒是提醒了我,棱簇也并不会独立切换奇偶,而是必然影响角簇或中心簇中的一个,这种关联约束上面没有提到,这就补充更新

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