从网上找到一篇讨论三阶魔方的文章

伊甸园

http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?t=2270&sid=c62c5630f1370ba3cc233878ac0d81d5

0q 1
1q 12
2q 114
3q 1068
4q 10011
5q 93840
6q 878880
7q 8221632
8q 76843595
9q 717789576
10q 6701836858
11q 62549615248
12q 583570100997

可能已经过时了。

黑白子

伊甸园 发表于 2013-9-29 22:51
http://twistypuzzles.com/forum/viewtopic.php?t=2270&sid=c62c5630f1370ba3cc233878ac0d81d5

0q 1

谢谢你提供的珍贵资料！问一下，这些数据是计算机编程算出的，还是数学计算出来的？

伊甸园

别问我，我什么也不懂，好怕怕。
不过据我所知，可能是计算机算出来的。

黑白子

今天打开了5楼的链接，把它的内容粘贴到这里吧。
Here it is folks, the Ultimate Expression of Cubism! Welcome to...
-----------------------------------------------------------------
God's Algorithm Calculations for Rubik's Cube, Rubik's Subgroups,
and Related Puzzles
-----------------------------------------------------------------
This is the work of Dan Hoey, Jerry Bryan, Dik Winter, Micheal Reid,
Martin Schoenert, Tom Rokicki, Jaap Scherphuis and Mark Longridge.
Not all results are known but with computing power continuing to
increase we will undoubtably see more calculations of this sort
in the future.
Size of Cube Space = (8! * 12!/2) * (2^12 /2) * (3^8 /3) = 43,252,003,274,489,856,000
(approx 43 quintillion)
Real size of Cube Space = 901,083,404,981,813,616 (approx 901 quadrillion)
The Real Size of Cube Space was first calculated on Fri, 4 Nov 94
by Dan Hoey.

黑白子

  Analysis of <T2, D2, F2>         Analysis of <T2, D2, F2, B2>
       ------------------------         ----------------------------

        Level   Number of               Level   Number of Positions
                Positions

         0          1                     0             1
         1          3                     1             4
         2          5                     2            10
         3          8                     3            24
         4         13                     4            53
         5         21                     5            64
         6         23                     6            31
         7         13                     7             4
         8          5                     8             1
         9          3                                 ---
        10          1                                 192
                   --
                   96       Antipode 2 X order 2 = R2 T2 L2 R2 T2 R2 D2 T2

Antipode  2 H order 2 = (R2 D2)^2 (T2 R2)^2 D2 T2

        Analysis of <T2, F2, R2>

        Level   Number of
                Positions

        0           1
        1           3
        2           6
        3          12
        4          24
        5          48
        6          93
        7         180
        8         315
        9         489
       10         604
       11         522
       12         250
       13          42
       14           3
                -----
                2,592

   Analysis of < U, R2 >  (using both U and -U)
   ---------------------

Level    Positions    Total  Elapsed Time
  0)          1
  1)          3          4           0
  2)          5          9           0
  3)          8         17           0
  4)         13         30           0
  5)         21         51           0
  6)         34         85           0
  7)         55        140           0
  8)         85        225           0
  9)        125        350           0
10)        188        538           0
11)        286        824           0
12)        432       1256           0
13)        646       1902           0
14)        952       2854           1
15)       1404       4258           1
16)       1794       6052           1
17)       2170       8222           2
18)       2306      10528           3
19)       1964      12492           4
20)       1312      13804           5
21)        512      14316           5
22)         75      14391           5
23)          5      14396           5
24)          3      14399           5
25)          1      14400           5              

黑白子

Antipode of < U, R2 >

              TOP
            U  U  U
            U  U  U
            U  U  U
    LEFT     FRONT   RIGHT      BACK
  F  L  B  L  B  R  B  R  F    R  F  L
  L  L  L  F  F  F  R  R  R    B  B  B
  L  L  L  F  F  R  B  R  F    R  B  B
             DOWN
            D  D  D
            D  D  D
            D  D  D

   Analysis of < U, R2 >  (counting U2 as 1 move)
   ---------------------

Level    Positions    Total  Elapsed Time
  0)          1
  1)          4          5           0
  2)          6         11           0
  3)         12         23           0
  4)         18         41           0
  5)         36         77           0
  6)         53        130           0
  7)        100        230           0
  8)        144        374           0
  9)        252        626           0
10)        364        990           0
11)        644       1634           0
12)        898       2532           1
13)       1504       4036           1
14)       1934       5970           1
15)       2544       8514           2
16)       2662      11176           3
17)       1988      13164           4
18)       1111      14275           5
19)        116      14391           5
20)          9      14400           5              


   Analysis of < U, R2 >  (using clockwise U only)
   ---------------------

Level    Positions    Total  Elapsed Time
  0)          1         
  1)          2          3           0
  2)          3          6           0
  3)          5         11           0
  4)          7         18           0
  5)         10         28           0
  6)         15         43           0
  7)         22         65           0
  8)         32         97           0
  9)         46        143           0
10)         66        209           0
11)         95        304           0
12)        133        437           0
13)        188        625           0
14)        266        891           0
15)        373       1264           0
16)        515       1779           0
17)        700       2479           0
18)        923       3402           0
19)       1194       4596           1
20)       1487       6083           1
21)       1752       7835           1
22)       1899       9734           2
23)       1817      11551           2
24)       1472      13023           3
25)        895      13918           4
26)        368      14286           4
27)        100      14386           4
28)         13      14399           4
29)          1      14400           4            

Antipode of < U, R2 >  (same as previous)

              TOP
            U  U  U
            U  U  U
            U  U  U
    LEFT     FRONT   RIGHT      BACK
  F  L  B  L  B  R  B  R  F    R  F  L
  L  L  L  F  F  F  R  R  R    B  B  B
  L  L  L  F  F  R  B  R  F    R  B  B
             DOWN
            D  D  D
            D  D  D
            D  D  D

黑白子

    Analysis of the <M_R, D> Group
        ------------------------------

     Level         Number of      Time       Branching
                   Positions                  Factor

       0               1           0 s          --
       1               4           0 s           4
       2              10           0 s           2.5
       3              24           0 s           2.4
       4              58           0 s           2.416
       5             140           2 s           2.414
       6             338          11 s           2.414
       7             816          67 s           2.414
       8            1,909        433 s           2.339
       9            4,296       2793 s           2.250
      10            8,893      17355 s           2.070

Calculation later completed by B MacKenzie confirmed by Brac37
    Depth whole cube   total    unique     total
       0         1         1         1         1
       1         4         5         4         5
       2        10        15        10        15
       3        24        39        24        39
       4        58        97        58        97
       5       140       237       140       237
       6       338       575       338       575
       7       816      1391       816      1391
       8      1909      3300      1909      3300
       9      4296      7596      4296      7596
      10      8893     16489      8893     16489
      11     17160     33649     17160     33649
      12     28891     62540     28891     62540
      13     37996    100536     37996    100536
      14     37678    138214     37678    138214
      15     27186    165400     27186    165400
      16     13051    178451     13051    178451
      17      4128    182579      4128    182579
      18      1199    183778      1199    183778
      19       372    184150       372    184150
      20       122    184272       122    184272
      21        36    184308        36    184308
      22        10    184318        10    184318
      23         2    184320         2    184320

        Analysis of the 3x3x3 5 Generator Group
        ---------------------------------------

     Level         Number of       Local      Branching
                   Positions        Max        Factor

       0                  1           0
       1                 10           0           10.000
       2                 77           0            7.700
       3                584           0            7.584
       4              4,434           0            7.592
       5             33,664           0            7.592
       6            255,320           0            7.584
       7          1,933,936                        7.575
       8         14,635,503                        7.568

        Analysis of the 3x3x3 Slice & Anti-Slice Groups
        -----------------------------------------------
                  arrangements       M          arrangements           M
Moves Deep     (2q or slice)     conjugates (4q or double slice)   conjugates

  0                    1             1               1                 1
  1                    6             1               9                 2
  2                   27             2              51                 4
  3                  120             6             247                15
  4                  287            16             428                25
  5                  258            15              32                 3
  6                   69             9             ---                --
                     ---            --             768                50
                     768            50

                  arrangements           arrangements
Moves Deep   (2q or anti-slice moves)   (4q or double anti-slice moves)

    0                   1       1             1        1
    1                   6       1             9        2
    2                  27       3            51        5
    3                 120      10           265       25
    4                 423      37           864       75
    5               1,098      93         1,785      152
    6               1,770     166         2,017      184
    7               1,650     147         1,008      108
    8                 851      89           144       16
    9                 198      21
                    -----     ---         -----      ---
                    6,144     568         6,144      568


        Analysis of the 2x2x2 cube group
        --------------------------------

Originally computed on a DEC VAX 11/780 in over 51 hours of CPU time
on Sept. 9, 1981
Moves Deep     arrangements (q+h)   arrangements (q)  loc max (q+h) loc max (q)

  0                    1                   1                 0               0
  1                    9                   6                 0               0
  2                   54                  27                 0               0
  3                  321                 120                 0               0
  4                1,847                 534                11               0
  5                9,992               2,256                 8               0
  6               50,136               8,969                96               0
  7              227,536              33,058               904              16
  8              870,072             114,149            13,212              53
  9            1,887,748             360,508           413,392             260
10              623,800             930,588           604,516           1,460
11                2,644           1,350,852             2,644          34,088
12                                  782,536                           402,260
13                                   90,280                            88,636
14                                      276                               276
               ---------           ---------         ---------         -------
               3,674,160           3,674,160         1,034,783         527,049






        Analysis of the full 3x3x3 cube group
        -------------------------------------

Moves Deep   arrangements (q+h)  bf        arrangements (q only) *

  0                    1         --                     1
  1                   18         18                    12
  2                  243         13.5                 114
  3                3,240         13.33              1,068
  4               43,239         13.34             10,011
  5              574,908         13.29             93,840 (March   22, 1981)
  6            7,618,438         13.25            878,880 (August  14, 1981)
  7          100,803,036         13.23          8,221,632 (December 7, 1981)
  8        1,332,343,288         13.217        76,843,595 (July    18, 1994)
  9       17,596,479,795         13.207       717,789,576
10                                         6,701,836,858
11                                        62,549,615,248 (February 4, 1995)

PH[0]  = 1
PH[1] <= 6*3*PH[0]
PH[2] <= 6*2*PH[1]   + 9*3*PH[0]
        PH[n] <= 6*2*PH[n-1] + 9*2*PH[n-2] for n > 2

Solving yields the following upper bounds:

htw        new        total      htw        new         total
0           1            1       10    2.447*10^11   2.646*10^11
1          18           19       11    3.267*10^12   3.531*10^12
2         243          262       12    4.360*10^13   4.713*10^13
3        3240         3502       13    5.820*10^14   6.292*10^14
4       43254        46756       14    7.769*10^15   8.398*10^15
5      577368       624124       15    1.037*10^17   1.121*10^17
6     7706988      8331112       16    1.385*10^18   1.497*10^18
7   102876480    111207592       17    1.848*10^19   1.998*10^19
8  1373243544   1484451136       18    2.467*10^20   2.667*10^20
9 18330699168  19815150304

     

黑白子

Analysis of < U2, F2, L2, R2 >
        ------------------------------

Level           Positions

  0                    1
  1                    4
  2                   11
  3                   30
  4                   82
  5                  224
  6                  589
  7                1,484
  8                3,649
  9                8,488
10               18,424
11               34,890
12               47,802
13               36,757
14               12,360
15                1,067
16                   26
                 -------
                 165,888

        Analysis of the 3x3x3 squares group
        -----------------------------------

                                          branching
Moves Deep       arrangements (h only)     factor      loc max (h only)

  0                    1                      --             0
  1                    6                      6              0
  2                   27                      4.5            0
  3                  120                      4.444          0
  4                  519                      4.325          0
  5                1,932                      3.722          0
  6                6,484                      3.356          1  (6 X pattern)
  7               20,310                      3.132          0
  8               55,034                      2.709         65
  9              113,892                      2.069      1,482
10              178,495                      1.567      7,379
11              179,196                      1.004     25,980
12               89,728                      0.501     50,320
13               16,176                      0.180     11,328
14                1,488                      0.092        912
15                  144                      0.096        144
                 -------                                ------
                 663,552                                97,611

        Analysis of the 3x3x3 squares group (5 generators)
        --------------------------------------------------

Moves Deep     arrangements (h only)
  0                    1
  1                    5
  2                   18
  3                   64
  4                  223
  5                  726
  6                2,360
  7                7,315
  8               21,619
  9               57,283
10              130,243
11              207,350
12              171,907
13               58,469
14                5,353
15                  564
16                   52
                 -------
                 663,552

        Analysis of the 3x3x3 <U, R> group
        ----------------------------------
ML's Conjecture: The < U, R > group is >=20 turns deep in qt metric
                 Now confirmed, Sept 1, 1994

                                          branching
Moves Deep       arrangements (q only)     factor

  0                    1                      --
  1                    4                       4
  2                   10                       2.5
  3                   24                       2.4
  4                   58                       2.416
  5                  140                       2.413
  6                  338                       2.414
  7                  816                       2.414
  8                1,970                       2.414
  9                4,756                       2.414
10               11,448                       2.407
11               27,448                       2.401
12               65,260                       2.378
13              154,192                       2.363
14              360,692                       2.339
15              827,540                       2.294
16            1,851,345                       2.237
17            3,968,840                       2.144
18            7,891,990                       1.988
19           13,659,821                       1.755
20           18,471,682                       1.352
21           16,586,822                       0.898
22            8,039,455                       0.485
23            1,511,110                       0.188
24               47,351                       0.031
25                   87                       0.002
              ----------
              73,483,200

Moves Deep       arrangements (q+h)     total
  0                      1                1
  1                      6                7
  2                     18               25
  3                     54               79
  4                    162              241
  5                    486              727
  6                  1,457            2,184
  7                  4,360            6,544
  8                 13,016           19,560
  9                 38,482           58,042
10                113,094          171,136
11                328,920          500,056
12                942,351        1,442,407
13              2,616,973        4,059,380
14              6,774,848       10,834,228
15             15,105,592       25,939,820
16             24,231,019       50,170,839
17             19,421,274       69,592,113
18              3,843,568       73,435,681
19                 47,465       73,483,146
20                     54       73,483,200


        Analysis of 3x3x3 corners only
        ------------------------------

Moves Deep   arrangements (q+h)   arrangements (q only) *  loc max (q only)

  0                    1                       1                   0
  1                   18                      12                   0
  2                  243                     114                   0
  3                2,874                     924                   0
  4               28,000                   6,539                   0
  5              205,416                  39,528                   0
  6            1,168,516                 199,926                 114
  7            5,402,628                 806,136                 600
  8           20,776,176               2,761,740              17,916
  9           45,391,616               8,656,152              10,200
10           15,139,616              22,334,112              35,040
11               64,736              32,420,448             818,112
12                                   18,780,864           9,654,240
13                                    2,166,720           2,127,264
14                                        6,624               6,624
              ----------              ----------          ----------
              88,179,840              88,179,840          11,870,110

        Analysis of 3x3x3 edges only using q turns
        ------------------------------------------

    Distance    Number of  Branching    Number of  Branching
        from   M-Conjugate   Factor    M-Conjugate   Factor
       Start     Classes                 Classes
                Without                  With
                Centers                 Centers

           0            1                       1
           1            1       1.00            1         1.00
           2            5       5.00            5         5.00
           3           25       5.00           25         5.00
           4          215       8.60          215         8.60
           5        1,860       8.65        1,886         8.77
           6       16,481       8.86       16,902         8.96
           7      144,334       8.76      150,442         8.90
           8    1,242,992       8.61    1,326,326         8.81
           9   10,324,847       8.31   11,505,339         8.67
          10   76,993,295       7.46   96,755,918         8.40
          11  371,975,385       4.83  750,089,528         7.75
          12  382,690,120       1.03      ....
          13    8,235,392       0.02      work
          14           54       0.00       in
          15            1       0.02    progress

              -----------
    Total     851,625,008

Posted to Yahoo by Tom Rokicki on  Jan 2, 2004   
Dist    Positions     Unique wrt M    Unique wrt M+inv

0                 1                1                 1
1                12                1                 1
2               114                5                 5
3             1,068               25                17
4             9,819              215               128
5            89,392            1,886               986
6           807,000           16,902             8,652
7         7,209,384          150,442            75,740
8        63,624,107        1,326,326           665,398
9       552,158,812       11,505,339         5,759,523
10    4,643,963,023       96,755,918        48,408,203
11   36,003,343,336      750,089,528       375,164,394
12  208,075,583,101    4,334,978,635     2,167,999,621
13  441,790,281,226    9,204,132,452     4,603,365,303
14  277,713,627,518    5,785,844,935     2,894,003,596
15   12,144,555,140      253,044,012       126,739,897
16           23,716              750               677
17               30                3                 3
18                1                1                 1
    ---------------    -------------    --------------
    980,995,276,800   20,437,847,376    10,222,192,146  

黑白子

Analysis of 3x3x3 edges only using q+h turns
      --------------------------------------------

Dist   Positions          Unique mod M    Unique mod M+inv
----   ---------------    -------------   ----------------
0                  1               1                    1
1                 18               2                    2
2                243               9                    8
3              3,240              75                   48
4             42,807             925                  505
5            555,866          11,684                6,018
6          7,070,103         147,680               74,618
7         87,801,812       1,830,601              918,432
8      1,050,559,626      21,890,847           10,960,057
9     11,588,911,021     241,449,652          120,788,522
10   110,409,721,989   2,300,251,615        1,150,428,080
11   552,734,197,682  11,515,452,614        5,759,027,817
12   304,786,076,626   6,349,914,756        3,176,487,580
13       330,335,518       6,896,891            3,500,434
14               248              24                   24

Total number of positions on edges-only 3x3x3:
(2 ^ 12 / 2 ) * 12! =  980,995,276,800

Total number of positions on edges-only 3x3x3 without centres:
(2 ^ 11 / 2 ) * 11! =   40,874,803,200

*Note* that normally there would be only half the number of positions
since on a real 3x3x3 cube you can't exchange one pair of edges alone.

              Analysis of Pyraminx
              --------------------

Moves Deep       arrangements      branching
                                    factor

  0                    1             --
  1                    8              8
  2                   48              6
  3                  288              6
  4                1,728              6
  5                9,896              5.726
  6               51,808              5.235
  7              220,111              4.248
  8              480,467              2.183
  9              166,276              0.346
10                2,457              0.015
11                   32              0.013
                 -------
                 933,120


(If tips are included: 933,120 * 3^4 = 75,582,720)

               Analysis of the Skewb
               ---------------------
The correct numbers for H = < RUF, LUB, RDB, LDF > are as follows

Moves Deep    Arrangements
----------    ------------
     0                  1
     1                  8
     2                 48
     3                288
     4              1,728
     5             10,248
     6             59,304
     7            315,198
     8          1,225,483
     9          1,455,856
    10             81,028
    11                 90
                ---------
                3,149,280


  Analysis of the Dino Cube
  (calculated by Jaap on January 29 2002)

Moves Deep    Arrangements
----------    ------------
     1               16
     2              160
     3            1,408
     4           11,712
     5           90,912
     6          640,192
     7        3,740,838
     8       11,138,597
     9        4,313,963
    10           20,577
    11               24
               --------

             19,958,400

黑白子

我看到的内容就这么多，已经都放在这里了，方便查阅。