一个猜想

lanjingling

原帖由 sokoban 于 2011-4-29 11:07 发表
楼上的反例可以证明对大于等于6的偶数，猜想是错的。
对于奇数和n=4，这个猜想还是值得思考。

图中，黑线是五等分圆的半径，显然其夹角为72度。
在下方适当位置做两个红色线段，分别与下面的两个半径相交。每边可得到一个小三角形和一个有两条线段、一段圆弧组成的图形。调整红色线段位置可使得如图中的黄色三角形和青色图形面积相等。
可以证明小于半径的红色线段存在。（可令其垂直于旁边的半径，即可证明。）
这样，由上面三条半径、两个红色线段将圆面积等分为五份，而其长度之和小于5r。
（图像添加标记麻烦，从略见谅，能说明问题就可以了。）

sokoban

想到另外一个反例，对n>=7都有效。
以 R/ sqrt (n)   为半径作一个同心圆，外面的圆环沿着半径（只用两环之间部分）把圆环再等分为 n-1个部分。
这样总长度是 (n -1 ) ( 1 - 1/sqrt(n)) R   + 2Pi * R/ sqrt (n)
n>=7 时，总长度< nR

[ 本帖最后由 sokoban 于 2011-4-29 13:22 编辑 ]

lanjingling

原帖由 华容道 于 2011-4-29 11:30 发表
可以是任意曲线。

当然按照题设可以是任意形状的线条，但是使用曲线的话总长度肯定大于直线。

sokoban

这个反例很好，红色线段的存在性还可以用连续函数介值定理来解释。

华容道

貌似不严密，比如将一个圆心角为60°的扇形分成面积相等的两部分的所有分割线中最短的是圆弧。

华容道

谢谢，让我受益良多！

华容道

不知能不能确定出n≥5时的最短分割线呢

lulijie

对于任何n等分面积，分割线总长要求最短时，必须满足以下条件：
1. 分界线必须是线段或圆弧；
2. 最多有三条分界线交于一点，且彼此成120度角；（圆弧与圆弧或直线所成的角，计算圆弧在交点处的切线方向）
3. 与外圆相交的分界线必须垂直于圆周。

西北天狼

如图:设圆面积=1，则半径=1/√π，正方形边长=1/√5，每条分割线=1/√π-1/√10。
分割线总长=4/√π+4(1/√5-1/√10)。

华容道

很好的一个反例，铜钱！