三阶纯色所有块不在原位的状态数是多少？

pengw

楼上可否用二阶举例，找出二个你认为是同一堆的二个状态

乌木

我只是在http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=37675&extra=page%3D1 的8楼xpboy的计算结果的基础上，进一步试试能否分清“8个角块都不在原位的数目14833”之中有多少扰动态，多少非扰动态。
所以，如果说我没有考虑消同态的话，也是应该先查问xpboy的计算结果14833等是否要消同态。
我想，三阶魔方的8个角块的位置变化数8！在此并无同态（极重要的原因是固定中心块不动，否则，单单看角块－棱块框架的话，任一模样都有12个同态，角块哪有8！种不同变化呢。换到二阶魔方的场合时时，则8！之中任一模样都有24个同态，也是不能算作8！的。），此处讨论的8！的局部数目14833等应该也没有同态，对吗？
再举例说说我5楼的具体计算，4个角块的位置变化数24之中，只有9种是4块都不在原位的：
假定都在原位的状态为 1 2 3 4 ，那么，都不在原位的9种状态是：
2143，3412，4321－－三种都是两个两交换，非扰动态；
2341，2413，3142，3421，4123，4312－－六种都是一个四轮换，扰动态。
这9种情况并无同态。
再考虑8选4的组合数70后，9×70＝630个“4角在原位、4角不在原位”态之中有无同态，我无法一一比对，我只是据上述“8！本身没有同态”而认为其局部数目630个态也无同态。
还可以看到，这630个态的扰动不扰动情况并非统一的，分为数目不相等的两类！
总之，这里还是离不开参照物中心块组。
不知可以不可以这样认识？

当然，我不是直接计算“8个角块都不在原位的数目14833”之中有多少扰动态，多少非扰动态，而是先去计算另一部分即25487个态中有多少扰动态，多少非扰动态，再倒推14833的情况。显然此法不如你们直接计算好。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-1 15:26 编辑 ]

pengw

墨板上画了一个c(4,2)*c(2,2),大致明白了JXF1991的意思，还在验证不同大小的堆

pengw

为什么C（8，5）*4！*2！不除2！，JXF1991能否在这里分析一下，并举一个浅显的例子

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-9-1 16:54 编辑 ]

乌木

那么，例如6楼的“4+4：C84*3！*3！/2！=1260”，这除以2！是校正C₈⁴ 引起的重复，即重复不是3！×3！引起的，对吗？

还有，4+2+2：C84*C42*3!/2！=1260
3+3+2：C83*C53*2！*2！/2！=1120
2+2+2+2：C82*C62*C42/4！=105
的除数分别校正哪个C或哪几个C引起的重复呢？

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-9-1 18:59 编辑 ]

pengw

JXF1991算法没错，如果有同等大小的环就会出现重复，需要除以这样的环的数量之阶乘来消除同态。

举例1：
4+4：c(4123)c(8567)与c(8567)c(4123)看似二种状态，实为同一状态。但环大小互不相同时，不存在这样的情况，但部分环大小相同时，也要消除计算上的重复
举例2：
3+3+2：c(312)c(645)c(87)与c(645)c(312)c(87)是同一状态，所以计算时要除2！

同理，2+2+2+2要除以4！

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事实上还可以通过计算逆序数来完成计算。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-9-1 20:53 编辑 ]

pengw

只要弄清了环组合的所有方式，计算则很简单,始终牢记魔方变规则。这些命题的解决有潜在的巨大分析价值。


如果涉及色向，问题也很简单。

对角块：用2^7代替3^7
对棱块：消去2^11

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-9-1 19:35 编辑 ]

jxf1991

忍大师16楼的解释很明确，不知道乌木老师能看明白吗？

4+2+2除以2！是为了消去两个二元环互换造成的重复，例如第一个二元环是56，第二个二元环是78和第一个二元环是78，第二个二元环是56

另外忍大师的举例一里有个小错误（8678）应改为（5678）

jxf1991

忍大师，如果您说的涉及色向指的是另一个帖子的话，您的算法是错误的。

您用2^7代替3^7，可以理解为前七个角块的朝向可以决定最后一个角块的朝向，但如果前七个角块的朝向情况决定最后一个角块的朝向是正确的呢？
例如：一至五号角块需要顺时针旋转，六七号角块需要逆时针旋转，这时候八号角块不需要旋转，违背的题目的要求。

另外对于棱块，因为棱块只有两个色向，所以所有棱块色向错误只有一种情况。

jxf1991

我把我在另一个帖子里的算法重新转移过来：
将八个角块记为一至八号
8个角块色向全错存在以下三种情况：
一个需顺翻，七个需逆翻：C81=8种
四个需顺翻，四个需逆翻：C84=70种
七个需顺翻，一个需逆翻：C87=8种
共计86种
十二个棱块色向全错只有一种情况

所以涉及色向的结果只需将本帖中只涉及位置的结果乘以86即可。