关于三阶魔方中间层的旋转问题

暗·逍遥

1、求证：同一个三阶魔方，转动其任何方向的中间层（但不连续转动同一方向的中间层）n次（n小于一百），得到一种形态。如果不按原公式（包括逆算法）返回的话，则至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原？
2、求证：同一个三阶魔方，转动其任何方向的中间层（但不连续转动同一方向的中间层）n次（n等于一百），得到一种形态。如果不按原公式（包括逆算法）返回的话，则至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原？
3、求证：同一个三阶魔方，转动其任何方向的中间层（但不连续转动同一方向的中间层）n次（n大于一百），得到一种形态。如果不按原公式（包括逆算法）返回的话，则至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原？

暗·逍遥

求高人指点迷津

乌木

“同一个三阶魔方，转动其任何方向的中间层（但不连续转动同一方向的中间层）n次…………，得到一种形态”，
如果最后这个状态恰好是复原态，则问题 “…………至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原？” 的答案是0步。
如果最后这个状态不是复原态，比如是状态A，则问题 “…………至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原？” 的答案是至少2步——如果定义表层一转90°为“一步”，那么，那批最后状态A之中，最简单的就是某一中层需要一转90°，魔方即复原，中层90°相当于两个表层90° ，所以答案是至少2步。
对吧？

关于 “但不连续转动同一方向的中间层” 这个条件，应该是指不能做比如E2，S2或M2之类的转动，对吧？
否则连E，S，或M也不能做了，因为E就是E' E' E' ，后者是不能做的，所以E也不能做了。
还有，连不做任何中层转也不可以了，因为比如M中层不动，相当于做了M M M M ，这样的“连续转动”也是不可以的，所以，任一中层不转也是不可以的。
这样，该怎么转中层呢？

至于n小于、等于或大于100，恐怕区别不大的吧？或许n越大，出现上述两种最简情况的概率越大？

是否还有一个条件，即转中层打乱之前，初态是复原态？

乌木

或许，不能只看“最简”情况，应该探讨一般的情况。
题目的条件表明，8个角块不变，故可以作为魔方变化的参照物。
转某一中层时，只有它所含的四个棱块发生移动，另两个中层所含的四个棱块无动于衷。而中心块则会因不同的中层旋转而有所变化。
按照题目条件运动的结果，如果各中层所含的四个棱块都没有复原，则各中层或者要顺转90°，或者要逆转90°，或者要转180°，也就是至少各转90°。
至此，角块和棱块都已复原了，中心块如果没有复原（此时以角块为参照物！），那么，还要调整中心块——要么中心块组要作某一方向的、整体180°的、相对于角块的旋转（即“四面回字”），要么中心块组要作两个方向的、共两个整体90°的、相对于角块的旋转（即“六面回字”）。不可能有中心块组要整体旋转奇数次90°的。
一般以表层90°转为“一步”，所以，
复原棱块时， “三个中层至少各转90°”， 就是6步；
复原中心块时，对于 “六面回字” ，两个中层共转4个90°，就是8步；
复原中心块时，对于 “四面回字”，有两种公式，换成表层转后，都是12步。

综合考虑，6步（若棱块都要复原）加8步（若遇“六面回字”），答案是14步。

例如那样打乱后状态如下图的初态，复原棱块做三次中层转，复原中心块做四次中层转，换成表层转为14步：

  
  
  
  
  
  
  
  

乌木

楼上的原魔方吧java图怎么显示得极慢极慢呢？！下面用胡波java，头三转是复原棱块，后四转是复原中心块：

东方1

如果最后这个状态恰好是复原态，则问题 “…………至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原？” 的答案是0步。
如果最后这个状态不是复原态，比如是状态A，则问题 “…………至少需要多少步才能将这个三阶魔方还原？” 的答案是至少2步——如果定义表层一转90°为“一步”，那么，那批最后状态A之中，最简单的就是某一中层需要一转90°，魔方即复原，中层90°相当于两个表层90° ，所以答案是至少2步。

东方1

复原棱块时， “三个中层至少各转90°”， 就是6步；
复原中心块时，对于 “六面回字” ，两个中层共转4个90°，就是8步；
复原中心块时，对于 “四面回字”，有两种公式，换成表层转后，都是12步。

hubo5563

    中间层转动，可以参考角块。如果角块固定，只转中间层，中心和棱块是运动的。第一个中心可以运动到6个位置，第二个中心除了第一个中心和对面中心外，有4个位置，第二个中心确定后，其他中心就确定了，因此，中心的运动最多有24种状态。转动中层只有三个操作可选，这三个中层转动时，棱块没有相交叉的，因此是独立的，每种转动有4种状态，因此共有4×4×4=64种状态，因此，只转中层，最多有24×64=1536种状态。
    由于棱块运动是独立的，因此，如果不管中心，棱块最多用3步能复原，加上中心，我估计最多7步应该能复原。

hubo5563

经过编程计算只转中层共有768个状态，最大需要5步。
转动一次中层算一步，不管是90度，180度还是270度。
转动步数： 状态数
   0步：     1
     1步：     9
     2步：     51
     3步：     247
     4步：     428
     5步：     32
总状态数768个。

hubo5563

乌木 发表于 2013-2-18 20:01
楼上的原魔方吧java图怎么显示得极慢极慢呢？！下面用胡波java，头三转是复原棱块，后四转是复原中心块：
...

这个四步：