加拿大中学3年级数学竞赛的一道题

libiamo

Jean在纸上写一个2187位的，由1和2组成的数字，<br>Judith以这样的方法，建立了一个数字：她从左读Jean的数字，她每看到“1”，她就写112；她每看到“2”，她就写111。<br>比如说，Jean的数是2112，Judith就写111112112111。<br>当Judith写完的时候，她发现，她的数字的前2187位数和Jean的数字完全相同。<br>问题：在Jean的数字中，有几次<span style="font-weight: bold;">连着的5个1</span>？<br>选项：a)182&nbsp;&nbsp;  b)183&nbsp;&nbsp;  c)184&nbsp;&nbsp;  d)185&nbsp;&nbsp;  e)186<br><br>

乌木

此题甚妙！初步分析，原数的头 2187/3－1＝729－1＝728 位中含有的 2  的个数即为本题答案。但是，具体多少，一时还未找出。

乌木

初步摸索一下，原数的第 3、6、12、15、21、24、27、30、33、39、42、48、51、54、57、60、66、69、75、78、84、87、93、96、102、105、108、111、114、120、123、129、132、135、……位上是数字 2 ，如此摸索到728位不是个事，即使苦干一番排出，肯定不算好办法。讨救兵啦！

[ 本帖最后由 乌木 于 2007-12-18 17:44 编辑 ]

shendy

妙题啊..让我先想想,忍不住先回个帖

shendy

..没头绪!等答案了

Tain

这个简单嘛
一个一个列出来
列完2187个数一下就可以了

乌木

由1得112 －－含1个2。<BR>由112得112&nbsp; 112&nbsp; 111 －－含2个2 ，即下一代含2个11111。<BR>由112&nbsp; 112&nbsp; 111得112&nbsp; 112&nbsp; 111&nbsp; 112&nbsp; 112&nbsp; 111&nbsp; 112&nbsp; 112&nbsp; 112 －－含7个2，即下一代含7个11111。<BR>再得81位数－－含20个2，即下一代含20个11111。<BR>再得243位数－－含61个2，即下一代含61个11111。<BR>再得729位数－－含182个2，即下一代的2187位数含182个11111。<BR>据题意，该“下一代的2187位数”即原数，<BR>故1楼的答案为182。

[ 本帖最后由 乌木 于 2007-12-19 07:41 编辑 ]

duoasis

我做的答案是184。。。。=。=

乌木

<P>7楼的结果不是全部列出243个或729个数字再清点的，因此，有可能答案182不对（？）</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>前面到81位数是全部列出数字清点的，81位数有20个2。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>对243位数是列出一部分，借用前面已有的结果20，加上判定第243位数字是2，故20×3＋1＝61。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>对于729位数则不必列出具体数字，判定第729位数字是1，故得到61×3－1＝182。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>不知这样考虑是否有误？</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2007-12-19 09:49 编辑 ]

Tain

<P>182 方法一：见6楼。</P>
<P>方法二：易得前三位为112。</P>
<P>&nbsp;前3位决定了前9位，前9位决定前27，前27决定前81。。。 前3位有多少个1，则前9位便有多少个2，前9位多少个1，前27便有多少个2。。。 兼于此： 前3位2个1则前9位有2个2、7个1。前9有7个1，则前27有7个2、20个1，前27有20个1，则前81有20个2、61个1。前81有61个1，则前243有61个2，182个1。前243有182个1，则前729有182个2。</P>
<P>&nbsp;前729位有182个2，一个2对应一个五连1（若第729位为2则这个2不造成5连1）。故为182 。</P>

[ 本帖最后由 Tain 于 2007-12-19 10:29 编辑 ]