求教证明题

jx215

求证：方程2^x-1=3y, 有无穷多组正整数解。

jx215

请教了别人，原来这个结论用欧拉定理和欧拉φ函数可以证明。

jx215

原帖由 西北天狼 于 2011-2-28 19:10 发表
如此说来还需证明：对任何大于1的奇数p，存在k、q，使得pq+1=2^k。

方法有错，收回此证明

[ 本帖最后由 jx215 于 2011-2-28 21:02 编辑 ]

西北天狼

如此说来还需证明：对任何大于1的奇数p，存在k、q，使得pq+1=2^k。

jx215

p=5时，设x=4n
2^4n-1=5y
(1+15)^n-1=5y
展开后每项都能被5整除，所以有无穷多正整数解。

西北天狼

原帖由 jx215 于 2011-2-26 20:47 发表
找到一种证法，用二项式定理展开
假设x=2n
2^x-1=2^2n-1=(1+3)^n-1=1+C(n,1)*3+C(n,2)*3^2+C(n,3)*3^3+......+3^n-1
由于左边各项都能被3整除，所以原方程有无穷多组正整数解。


如果推广，可以证明2^x-1=py, ...

我对推广很有兴趣，但不知道p=5时是怎么样推广的！

西北天狼

设a(k)=4^k, k=0,1,2,…
则S(k)=1+4+4^2+…+4^k，3S(k)=(4-1)(1+4+4^2+…+4^k)=4^(k+1)-1=2^(2k+2)-1
令x=2k+2，y=S(k)，k=0,1,2,… 即2^x-1=3y 有无穷组解。

jx215

找到一种证法，用二项式定理展开
假设x=2n
2^x-1=2^2n-1=(1+3)^n-1=1+C(n,1)*3+C(n,2)*3^2+C(n,3)*3^3+......+3^n-1
由于左边各项都能被3整除，所以原方程有无穷多组正整数解。


如果推广，可以证明2^x-1=py,p取任何大于1的奇数。

[ 本帖最后由 jx215 于 2011-2-26 20:50 编辑 ]

yeees

不用证明是奇数的时候怎样。因为题设只要求求证方程2^x-1=3y, 有无穷多组正整数解，也没说必须证明有无穷多组奇数解
如果我证明了对于无穷多个偶数，都满足这个条件，那么还有证明别的的必要吗？

jx215

我的意思是x=n(n为偶数）则成立，若n为奇数的情况怎么样。

你是猜想n为偶数时采用数学归纳法证明的，若取奇数次幂是否就得不到正整数解。