最小循环周期为总状态数的魔方

ggglgq

今天在 ★ 理论篇 ★ 看到 pan528 先生的 《这些问题能用魔方理论表述吗？》 ，
使我联想到这个有趣的数学问题。





一、定理：若某一魔方（各类魔方）的总状态数为 M ，则该魔方的任一 (变换 A) 的
最小循环周期 不大于 M 。

证明： 设该魔方 (变换 A) 的 最小循环周期 为 n ，则

(变换 A)、(变换 A)2、(变换 A)3、......、(变换 A)n 为该魔方的 n 个不同状态！

由于该魔方的总状态数为 M ，

故 n ≤ M 。 定理得证。



注：(变换 A) 为步长为 1 的变换 或 它们的任意组合变换。



二、最小循环周期为总状态数的魔方。

有趣的是，存在这样的魔方，它的总状态数为 M ，该魔方的任意 (变换 A ≠ 1) 的
最小循环周期 都为 M 。

很有意思的正是：这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作）的最小循环周期 都是 最大值 M 。
大家考虑一下，此时 M 应满足的前提条件是什么？ 有多少这样的魔方呢？

请各位魔友考虑一下，挺简单的，相信大家能够找到正确答案！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:10 编辑 ]

earthengine

原帖由 ggglgq 于 2008-8-19 08:51 发表

earthengine 说的不错。  看得出来， earthengine 的“群论”造诣颇深！n ...

我得承认，我还差得相当远。有些定理放在那里，在魔方上要是能应用那是很好的，但是不知道怎么应用。甚至一点头绪没有。比方说，群论说要是群的阶数（这个阶数是群元素的数目）可以被P^N整除（其中P是偶数），那么就有一个阶为P^N的子群（西罗定理）。对于魔方，我根本想不出来那个P=2的子群应该长个什么样子。

乌木

是的，我有太多的事物不懂。g老师的意思是否三阶纯色魔方的遍历公式的长度为4.3×10^19步（如果没有重复的话）？或者，三阶纯色魔方不存在遍历公式？是否所有魔方都有其遍历公式？

<HR>


正六面体魔方 应该都存在遍历公式！ 只是现在无法证明 ggglgq 回复<BR>


[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-19 10:20 编辑 ]

ggglgq

原帖由 乌木 于 也谈所谓“最小循环周期为总状态数的魔方” 7 楼 发表  

做了1980遍公式G之后，继续再做1980遍G，再做第三轮1980遍G，…………这样下去，只要不改G，就一定始终在那一大堆态中周游，不可能越雷池一步，怎么会历遍P= 8.85801*1022 个态呢？所以P/M也好，P/T也罢，该怎么理解这除式的含义呢？

乌木 先生在魔方理论方面所言多数还是比较严谨的。但在很多地方由于 乌木

先生数学能力所限，无法正确理解魔方理论更深层的含义！


比如 乌木 先生以上言论存在某些问题，充分说明 乌木 先生数学能力欠缺！


为什么非要 受无关“遍历”的“所谓最大循环周期”等概念的约束呢？




因为“魔方所有状态”的“遍历公式”，一般是“循环周期”为 1 的公式，

请大家参考：


1、 D R D+ D L- R 是 2×2 平面魔方的一个 遍历循环变换！

[注：D+、L- 不是 D、L 的逆]








2、 U R- R U+ U R L R 为 0123 魔方 的一个 遍历循环变换！

[注：R-、U+ 不是 R、U 的逆]

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:25 编辑 ]

ggglgq

原帖由 earthengine 于 2008-8-17 21:14 发表
以上其实是重新发现了群论里面的一个简单定理： 阶为N（N是素数）的循环群除单位元外所有元素的阶（即循环周期）为N。

earthengine 说的不错。 看得出来， earthengine 的“群论”造诣颇深！
老夫之所以用“循环周期”代替“阶”（“群论”中的“阶”），是怕广大
魔友同 三维空间 m×n×p 阶魔方 等“阶”的概念混淆！

ggglgq

原帖由 pengw 于 2008-8-17 22:22 发表

如果你能找到一个公式，可以不重复遍历完所有状态，将更能支持你的观点，否则看上去只是无根据的猜想。

正如 earthengine 所说，本主题是“群论”中一个极其简单的定理。

既然是“定理”，就不是“猜想”，还有必要“找到一个公式”“支持”吗？

呵呵，如果 pengw 能真正弄懂“群论”，你就不会提出这么幼稚的

问题了！


希望 pengw 平心静气地好好学学“循环变换理论”，你会有收获的！

希望今后看到的不是牢骚、攻击、漫骂的 pengw ，而是谦虚、负责、谨慎

的 pengw 。



希望 pengw 能认真领悟“循环变换理论”，了解“循环变换球面网”的

产生过程，不像你想象的那么简单。亦希望我们能 少一些 无聊争吵、对立，

多一些 真诚探讨、合作 ，共谋魔方吧未来的健康发展！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:24 编辑 ]

earthengine

以上其实是重新发现了群论里面的一个简单定理：

阶为N（N是素数）的循环群除单位元外所有元素的阶（即循环周期）为N。

pengw

GGGLGQ大师的刚体做一次翻转，大家看到的肯定是金丝猴，不可能是人，对吗？哈哈哈

ggglgq

原帖由 hw294 于 2008-4-11 16:59 发表

N只能是质数的一系列魔方。

不错，本题的拓扑结论就是“正 N 边形魔方”（ N 是质数）。

ggglgq

因为（最小循环周期为总状态数的魔方）的每一变换 A ≠ 1（操作）的最小循环周期
都是 最大值 M ，因此（重复 M 次）每一变换 （A ≠ 1）都可以“周游魔方所有状态”。

简称：“每一变换” 都可以“周游魔方所有状态” ！ 数学上是可以这样定义的！