[数学探奇]《用箭头来旋转》

乌木

偶又翻翻多年前买的一本《数学探奇》，其中一题蛮有趣，其论证我也不太懂。先把题目贴上来，供各位玩玩。
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把两张一样大小的纸放在桌子上，一张放在另一张上面。对于下面那张纸上的每一点P，上面那张纸上总有一点P*跟它对应，那就是恰好在P点上方的那个点。现在，让下面那张纸留着不动，把上面那张纸拿起来随意地折它，弄皱它，把它揉成一团，但别把它撕裂了。然后，就把这个纸团放在桌子上的那张纸上，比如说用一本大书把它压平，但别让它伸到下面那张纸的外面去。
我们可以断言，上面那张纸上存在一个点P*，恰好跟这张纸弄皱以前处于同一个位置上，也就是说，它现在就位于P点本身的上方。
这例子说明的是“不动点定理”或“布劳韦尔定理”（Brouwer，上世纪著名荷兰数学家）。
另一个例子是，有一杯咖啡，用小匙搅拌，没让咖啡溅出来。这样随便地搅了半分钟后，让咖啡慢慢停下来。这时这杯咖啡里至少有一个咖啡分子，恰好就处在搅拌以前所在的位置。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-5-25 19:18 编辑 ]

乌木

嗯，思路又进了几步呀！微元本身固然连续，但微元－微元之间就难说。（微元组成的）流层和流层之间，或者说流体中的“速度场”的不同点之间，会有相对的大位移的吧？不管这些了，那小册子毕竟是科普读物，重要的是该定理用于一些像他所举的数学例子中，无疑是成功的。

noski

记得流体力学里面是把液体看成是由一个一个微元组成的连续体，微元相对于宏观上是无限小，相对于分子量级又是无限大的。这样，液体运动时，微元只是不断变形，而不会被撕裂。<BR>
这样看来，既然液体是连续的，就可以用不动点原理，找到一个变了形的微元恰好处在原来的位置。而一个微元相对于分子量级近似为无限大，如果也可以看成连续的话，就会得到咖啡分子的结论。<BR>
不过，还有一个问题，就是小匙的进入，我认为它会破坏一部分液体的连续性。如果是摇晃杯子使液体运动，感觉更有道理一点。<BR>
PS：如果作者知道分子的无规则运动，知道量子力学里的测不准原则，应该也不会写出这样的结论吧。但也许这正是数学的本来面目。。

乌木

那例子说：有一杯咖啡，用小匙搅拌，没让咖啡溅出来。这样随便地搅了半分钟后，让咖啡慢慢停下来。这时这杯咖啡里至少有一个咖啡分子，恰好就处在搅拌以前所在的位置。

所以，咖啡液体停下来后，曲面应不存在了。此外，好像他这例子不是指液体的哪个一层截平面，而是指整个液体体积内（“这时这杯咖啡里至少有一个咖啡分子…………”）。也就是说，由（纸张）平面扩展为（液体）立体的了。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-5-25 20:03 编辑 ]

duoasis

不动点问题啊=。=b如果用初等方法的话三角函数也可以解决

乌木

也许。
他的咖啡例子说是咖啡分子，可能是不太恰当的用语吧。不管如何，数学点也好，固体质点也罢，条件是要连续，不能有断裂，对吗？液体中的“数学点”或咖啡分子，恐怕也要满足这条件。液体中的咖啡分子不管它们是溶解态还是悬浮态，分子之间的束缚力决没有大到不受搅拌力破坏的程度。即不能满足连续的条件。否则岂不是半杯咖啡兑上半杯清水，再搅拌也还是半杯咖啡半杯清水？

乌木

就是。所以，我想，那咖啡例子会不会是小册子作者（数学家米盖尔·古斯曼）的偶尔失误？否则如何想像相邻的液体分子之间的联系不受搅拌破坏呢？我想，即使不搅拌时，某一液体分子的相邻分子也保不住不更换的，这种微观运动与温度有关。

whitetiger

就是一定要“连续”，才会有这个不动点。
离散的问题，不能套用。