概率问题：球面四点

Cielo

在mf8群里提出过一个问题：球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。

前几天都没机会上网，不知道大家有没有得到答案^_^

appletree444

（采用57楼的说法）球面三角形面积为s的概率也是难求的，而且即使面积为s，但形状不一样的两个球面三角形出现的概率也不一样吧。

flwb

肯定大于0.5，前三个点肯定在同一半球，这三点越靠近平行于三点一面的赤道面，满足第四点在同一半球的概率就越接近0.5，但这三点如果互相靠近，这个概率就会接近1，如果三点并成一点，概率等于1，如果正好都分散在赤道上也是1。真要计算清楚，我看接近不可能！

[ 本帖最后由 flwb 于 2010-1-28 06:37 编辑 ]

lulijie

设该球面的表面积为单位1，在该球面上任取三点，该三点构成的球面三角形的面积为s。
设该形状的球面三角形发生的概率为p，
若再取第4点，其不能与前3点位于一个半球面，则该第4点必位于该球面三角形的关于球心对称的球面三角形上，其面积也等于s，其发生的概率为s。
所以任意取四点，其能在同一个半球面上的概率就等于∑ p*(1-s)
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计算此题的概率，可以这么计算：
假设第一点固定取北极点，第二点的位置为(A1,B1),第三点的位置为(A2,B2)      A、B用经度和纬度来表示，-180°<=A<180°，-90<=B<=90°
求出此三点构成的球面三角形的面积占总球面面积的比值s， 然后对1-s进行积分（对A、B积分）即可

appletree444

显然得用到微积分才能解得出来。可以想象出来，但是解法就给人感觉无从下手。

ignmdb

好像很难给出具体数据啊

dkanaiwen

原帖由 yq_118 于 2009-5-26 17:18 发表


情况a：前三个点在同一半球，那么第四个点出现在同一半球的概率是50%
前三点所在的半球可能不唯一，所以不确定，但肯定大于或等于50%。

我的描述错了，任意三点应该都在同一半球上。

yq_118

原帖由 dkanaiwen 于 2009-5-26 16:39 发表
我的答案是50%

首先：两个点的概率是100%

其次：三个点的概率是50%

再次：分两种情况，
      情况a：前三个点在同一半球，那么第四个点出现在同一半球的概率是50%
            情况b：前三个点补在同一半 ...

情况a：前三个点在同一半球，那么第四个点出现在同一半球的概率是50%
前三点所在的半球可能不唯一，所以不确定，但肯定大于或等于50%。

dkanaiwen

我的答案是50%

首先：两个点的概率是100%

其次：三个点的概率是50%

再次：分两种情况，
      情况a：前三个点在同一半球，那么第四个点出现在同一半球的概率是50%
            情况b：前三个点补在同一半球，那么第四个点无论在哪，都不可能出现四个点在同一半球上

所以，我的答案是四个点在同一半球上的概率是50%

Cielo

是啊，所以主要是看第四个点在什么位置才能确定这四个点是否在同一个半球面上啊！