【解决了，没那么复杂】一道数学题4角之和..

why1994boy

图中为4个正方形，求：
∠1+∠2+∠3+∠4=？


需要详细解题过程...（初三水平）


设图中四个全等的正方形边长为1
∵∠1=∠5   ∠2=∠6  ∠3=∠7   ∠4=∠8
所以tan∠1=tan∠5=AF/EF=1/1
       tan∠2=tan∠6=BG/EG=1/2
       tan∠3=tan∠7=CH/EH=1/3
       tan∠4=tan∠8=DI/EI=1/4

后面就很简单了，算出来的总和∠1+∠2+∠3+∠4好像是104°

[ 本帖最后由 why1994boy 于 2009-3-26 21:06 编辑 ]

金眼睛

这道题的解法有很多种，最好方法是利用复数了，呵呵！

主要用到了复数相乘的几何意义，即两个复数相乘，积的辐角等于各复数的辐角和，很巧妙！

下面给出一种作图的方法，可以用纸板剪下来，拼在一起就是所求的四角和了 ：）

当然也可以继续剪下去，这也是一种n等分线段的方法，注意正方形的底边，当然n等分线段时矩形就可以了。


[ 本帖最后由 金眼睛 于 2009-4-1 19:29 编辑 ]

oboe

原帖由 乌木 于 2009-3-27 15:44 发表
此事我也是觉得很奥妙。照23楼lulijie给出的、那样的n个角之和为 0.3016+ln (n) ，应该没有极限，只要n足够大，总可以超过2π 或4π等等的。上面我算过n约为400时和角超过360度，你没看到？n约为212000时，和角接近7 ...

谢谢乌老
我想明白了。
如果把角度换算成弧度就好理解了。
给一个有限的弧度，就好比给定三角形的一个边。
只要这个边是有限的，那无论这条边对面的角再小，也能做成一个三角形。

lgbs_bl

对不起大家了，我算错了，我是用计算器随便按了下反正切求的角2和角3，得出的结果是角2=29度多，其实我的计算器让人设置的单位不是度，呵呵，现在更正过来了，角1+角2+角3=90度完全正确。

lgbs_bl

没搞明白为什么——角1+角2+角3=90度。
用最苯的方法来大约算下：角1=atan1/1=45度；角2=atan1/2≈29.52度；角3=atan1/3≈20.48度；角4=atan1/4≈15.6度；
那么角1+角2+角3=45+29.52+20.48≈95度，
我没算错吧？

longqi2008

这么简单也问.........
复数三角都可。

乌木

此事我也是觉得很奥妙。照23楼lulijie给出的、那样的n个角之和为 0.3016+ln (n) ，应该没有极限，只要n足够大，总可以超过2π 或4π等等的。上面我算过n约为400时和角超过360度，你没看到？n约为212000时，和角接近720度了。
用这式子计算角度时，6.283185307……就是360度（即2π ），等等。

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-27 15:57 编辑 ]

oboe

原帖由 乌木 于 2009-3-26 09:43 发表
原来如此，谢谢各位指点。
随着n增大，单单一个角是越来越小，n趋于无穷大时，这个角趋于0。但是，角度一次次累加的话，却无极限。...

也许我极限没学好。
但理解中的定义是，极限就是不超过。
当然是最接近的那个不超过值。

比如有一个足够大的数，能超过３６０度么？
或者说，要达到７２０度的话，也能算出一个数达到么？

乌木

1楼你的解法为：
“ 设图中四个全等的正方形边长为1
∵∠1=∠5   ∠2=∠6  ∠3=∠7   ∠4=∠8
所以tan∠1=tan∠5=AF/EF=1/1
       tan∠2=tan∠6=BG/EG=1/2
       tan∠3=tan∠7=CH/EH=1/3
       tan∠4=tan∠8=DI/EI=1/4
后面就很简单了，算出来的总和∠1+∠2+∠3+∠4好像是104° ”

我怎么觉得你既然从各角的正切值求各角，何必涉及∠5，∠6，∠7 和∠8呢？可以直接得到原来角1～4的各正切值，即可求得各角，则四角的和也就出来了。

一个三角形处于任何方位，都可以求某角的正切值，何必要让三角形摆得规规矩矩，未知角处于左下方，其对边为右边的直角边，其邻边为下边的直角边，然后再求出角5的值，再转而得到角1的值。这样累不累呀？
比如下图，直接求角1，何必让角5做“中介”呢？有的场合遇到有的角很大，处于第二，或第三，或第四象限等等的话，正切值的正负以及相应角度的大小完全有规律可循的。

   

[ 本帖最后由 乌木 于 2009-3-26 22:30 编辑 ]

why1994boy

解决了........请乌木老师来看看...