木木木木木

骰迷

今天上中文課時，文章講到山上的林木，我就想到：要是有五個並排的木字（RT），兩個木字可以合拼為一個＂林＂字，那麼共有多少種念法呢？
回到家，開始算了算。
１：木木木木木
２：林木木木
３：木林木木
４：木木林木
５：木木木林
６：林林木
７：林木林
８：木林林
共八個。
可是這是沒意義的，因為這只是一條數。於是我開始尋找N個並排木字的總念法數Ｘ。
Ｎ＝１，Ｘ＝１
Ｎ＝２，Ｘ＝２
Ｎ＝３，Ｘ＝３（看到這裡都很無聊，後面開始不同了）
Ｎ＝４，Ｘ＝５（多了一個，看上去有點怪）
Ｎ＝５，Ｘ＝８（如上，開始瞧出關係了）
Ｎ＝６，Ｘ＝１３
看到了嗎？是斐波那契數列！
1 1 2 3 5 8 13....
就是根據前面兩個數字的和來創造下一個數的數列。其實上面應該加上一個Ｎ＝０，Ｘ＝１，這樣就更符合了。
到這哩，我被數學的奇妙雷著了。
然後我再算上＂森＂的組合，即是三個字可以合拼（雖然看起來並不能）的念法數：
Ｎ＝１，Ｘ＝１
Ｎ＝２，Ｘ＝２
Ｎ＝３，Ｘ＝４
Ｎ＝４，Ｘ＝７
Ｎ＝５，Ｘ＝１３
Ｎ＝６，Ｘ＝２４
這次又是些什麼呢？這次可是加上前三個數字了。
這時我想起了小六時遇到過一條奧數：十級樓梯，一步可走１至４級，問共有多少種走法？
用這個數列可以解決到。當１至Ｙ個元素可以併合時，下一個數就是前Ｙ個數的和。而頭Ｙ個數，都依次是１，２，４，８，１６......等數。
可能各位教授都已經知道這些東西了，可是小弟可是第一次找到這關係，因此在此留一筆，當做紀錄。
還有一點：請LULIJIE大師幫我列出Ｘ，Ｎ和Ｙ的關係（通用公式），讓我好搞清楚一點。先謝過了。

斯芬克斯之谜

好像就这么几种啊？……是伐？

D.H.

晕

yzsjw0

加上立体的：木木森，木森木，森木木，林森，森林。

lulijie

当Y=4时
    通项公式  X(N)=0.566342887702648 * 1.92756197548293 ^ n + 0.149469516524664 * (-0.774804113215433) ^ n + 0.289707512992734* (-0.81827609877954) ^ n * Cos(1.47731898080876 * n + 0.195520990558405)

骰迷

樓上果然強大，小數位那麼多。1.61803398874989好像就是黃金分割。

lulijie

数列公式X(N)：    2^（N-1）                                      N<=Y
                           X(N)=∑X(N-i)     i=1 to Y                  N>Y
--------------------------------------------------------------------------
当Y=2时，就是 Fibonacci 数列
   通项公式   X(N)=0.723606797749979 * (1.61803398874989) ^ N + 0.276393202250021 * (-0.618033988749895) ^ N
------------------------------------------------------------------------
当Y=3时
    通项公式  X(N)=0.618419922319393 * (1.83928675521416) ^ N + 0.383408663070638 * (-0.737352705760328) ^ N * Cos(0.965359108097924 * N + 0.0977044663870669)
---------------------------------------------------------------------
电脑计算有精确度问题，但由于X(N)是整数，所以只要把小数点后的值四舍五入到个位，结果非常正确。
比如计算结果为6.99999999999999，其实就是等于7。

第8个小笼包

原来真的有也
【斐波那挈数列通项公式的推导】
[编辑本段]


斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列。


通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n

炀燚

Fibonacci 数列当然有通项
Fibonacci 数列通项的求法是数列递推中“特征方程和特征根”方法的例题

第8个小笼包

后面一个数列就是前三项相加