需要小心求解的概率问题

tiawing

<FONT size=6>在半径为1的圆里任意做一根弦,求弦长大于</FONT> <FONT size=6>的概率.</FONT>

Riku.H

google了一下【贝特朗悖论】，有一篇介绍的结尾是这样写的：而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题

继续搜索【概率公理化】，找到了一个高数教学的幻灯片，结果——看不懂

william_khs

是否?

123wyx

查阅了一下《数学演义》，我的理解是：《数学演义》作者的意思是，建立完善的概率论公理体系，在这个问题上的分歧就能消除。如果没有完善的公理系统和概念，就会在这个问题上产生歧义。

Riku.H

答案真是五花八门！
当然有不少是荒谬的！！！
怎么可能一个固定的条件求出来的解同时是1/2，1/3，1/4？？？
这就好比说，有个人它既是男的，又是女的，同时是变态？搞笑啊~

回到正题，各位现在应该注意到了，标题上为什么写着【小心求解】
我在《数学演义》上看到过这道题，很经典的。它引发了依靠直觉建立的经典几何概率的悖论。
书上也是给了三个解法：内接三角形，平行所截线段和射线；得到的答案分别是1/4，2/1，3/1
书上只讲到了这个问题使得几何概率的定义更完备了，没写怎么解 但根据作者（王树禾，好像是中科院的）在上下文的口气判断，答案是唯一的

希望有兴趣的去看看那本书，指导下思路，也许能解出来

我认为，解决这道题应该是回归定义；像第二次数学危机不就是微积分的一些定义不完备造成的吗？




ls说的好像不大对，第一点虽然是固定的，但是是随机选取的！而且根据直觉，这样选取的线段的集合应该包括了圆内的所有弦了



不管怎么说，真理是越辩越明的，希望大家的数学水平由此进一步提高！

flwb

<P>这个所谓的贝特朗悖论就不可以推翻吗?解法一中的"先固定其中一点"就与题目的"随机地取一条弦"矛盾。</P>
<P>而且这个解法，要求两点都在圆周上，这还是在圆内随机取一条弦吗？</P>

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-8-8 11:45 编辑 ]

ggglgq

&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 这个问题最早由贝特朗提出，故叫做贝特朗悖论。请大家参考<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;&nbsp; <A href="http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7719"><FONT color=blue><STRONG>圆上作弦的概率问题</STRONG></FONT><BR></A>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;&nbsp;<BR>&nbsp;

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-8 11:27 编辑 ]

flwb

回复楼上的,你随便画一个圆,闭上眼用铅笔随便点两下,然后画弦,你就会知道弦长大于根下3 的概率绝不会是1/3。

失群孤雁

我算了个1/3的结果...
               先定一个任意的点a ....
               然后取点b...若角aob   (o是圆心)  > 120 度..   ab的长度就大于根号3..
.....答案是 (180 - 120 ) / 180 = 1 / 3
                          个人观点,不足之处.恳请指正

flwb

<P>虽然本题没有说明如何取弦,但无非只有两种方法:</P>
<P>第一种方法,随机取一点,作过此点的最短弦,弦长大于根下3&nbsp;的概率为25%;</P>
<P>第二种方法,随机取两点作弦,第一点,如果取在r=0.5的圆内,则第二点无论怎样取,该弦都必定大于根下3,第一点如取在r=0.5的圆外,(这种情况占75%)那么满足能够与第一点构成长度小于根下3的弦的第二点的可取面积是1.1973(此数值由金眼睛提供的公式得出,详情请看"与tiawing的概率题有关的问题"一贴),与大圆面积Π的比值约为38%,这样两次取点做弦,弦长小于根下3的概率约为75%*38%=28.5%,弦长大于根下3的概率为71.5%。</P>
<P>&nbsp;</P>

[ 本帖最后由 flwb 于 2008-8-8 01:48 编辑 ]