魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 开锁问题 --- 魔方最少覆盖问题 [打印本页]
作者: hw294    时间: 2005-4-19 11:14:57     标题: 开锁问题 --- 魔方最少覆盖问题

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作者: cube_master    时间: 2005-4-19 11:51:02

哈哈，魔方吧也玩起开锁了？

开锁也可以算是智力题啦，目的是找到锁的破绽而把锁打开。

楼主的题目好象不是要求找出锁的破绽，而是用穷举开锁，只是简单的数学问题。

作者: hw294    时间: 2005-4-19 12:48:28

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作者: hw294    时间: 2005-4-19 12:54:07

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作者: simpley    时间: 2005-4-25 14:23:17

10^10-3*10-1
作者: hw294    时间: 2005-4-25 17:29:34

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作者: cube_master    时间: 2005-4-27 11:30:44

题目并未说明密码锁的每个转盘有多少个数字
现设转盘有 N 个数字，肯定能打开的次数是：
(N<SUP>2</SUP>) + (N<SUP>2</SUP>) + (N<SUP>2</SUP>)</P>
考虑到三个 (N<SUP>2</SUP>) 试验中有重复拨号，则肯定能打开的最少试开次数是：
(N<SUP>2</SUP>) + (N<SUP>2</SUP> - N) + (N<SUP>2</SUP> - 2N)</P>
作者: ggglgq    时间: 2005-4-27 12:19:55

好象可以这样想：

只考虑两位，设每个转盘有 N 个数字，共有 N*N 种打开方法。 因此，最多试 N*N - 1 次（最后那一次，不试也知道）。

作者: hw294    时间: 2005-4-27 18:04:06

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作者: hw294    时间: 2005-4-27 18:18:16

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作者: cube_master    时间: 2005-4-27 21:46:20

以下是引用hw294在2005-4-27 18:04:06的发言：

另外，答案没那么多的，假如固定只试前两个，则需要10*10=100次就够了，而这还未考虑后一位的情况，所以说，只能比100少，不会比100多。[em12]

假定只有两个转盘，也要试10*10=100次，但现在有三个转盘，怎么还会少于100

作者: 乌木    时间: 2005-4-27 22:20:11

题目条件说只要（任意某）2位数字对，就能打开。故另一位是形同虚设呀！
作者: cube_master    时间: 2005-4-28 13:08:20

假设你已经知道那个转盘已经不起作用，只用试其余两个数字，那么肯定能打开的最少试开数也是102，怎么会比100少呢？

作者: hw294    时间: 2005-4-28 13:56:04

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作者: cube_master    时间: 2005-4-28 15:46:43

哈哈，再细看你的题目“一把密码锁，有3位数字，现已损坏，只要2位数字对，就能打开。如密码为123，只要12*、1*3、*23，就能打开锁。现在，密码忘记了，问：最少试多少次，就肯定能打开锁？”原来你的题目是只要求任意“两位数字对”就可以开锁。

作者: ggglgq    时间: 2005-4-29 12:08:42

看样子是不太容易呀！ 初步结论：最小值下界大于 N*N/3 。 我暂时找到最小值为 N*N-N 的方案！
作者: hw294    时间: 2005-5-7 11:54:47

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作者: ggglgq    时间: 2005-5-7 12:08:25

比如：

001 110 002 220 ... ... 00N NN0

112 221 113 331 ... ... 11N NN1

... ... ... ...

(N-1)(N-1)N NN(N-1)

不知你现在能给出最优解吗？具体到某一个 N ，应该可以找出更优的解吧！

作者: hw294    时间: 2005-5-13 13:44:25

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作者: hw294    时间: 2005-5-13 13:58:10

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作者: rosebud    时间: 2005-5-13 14:40:35

我要看[em02][em02][em02]
作者: lok    时间: 2005-5-13 15:32:07

頂一下~~~
作者: ggglgq    时间: 2005-5-15 09:25:49

好主题，固顶。原来“开锁问题”就是“魔方最少覆盖问题”呀，楼主厉害！[em17] 建议大家再进一步研究一下以下两个问题：

一把密码锁，有n位数字（ 0 - 9 ），现已损坏，只要k位数字对，就能打开。 现在，密码忘记了，问：最少试多少次，就肯定能打开锁？（ k < n ）

一把密码锁，有n位数字（ 0 - P ），现已损坏，只要k位数字对，就能打开。 现在，密码忘记了，问：最少试多少次，就肯定能打开锁？（ P > 0， k < n ）

作者: noski    时间: 2005-5-15 23:55:15

最少的还在考虑中, 我算个试最多的次数:

试最多的次数就是把所有打不开的都试个遍, 再加一次.

0~9一共十个数, 在三个位置上排列的情况有10*10*10=1000种;

"对对错"的情况有10种, "对错对"的情况有10种, "错对对"的情况有10种;

在这三种能开锁的情况中, "对对对"的情况计算了3次;

能开锁的情况有(3*10-2)种;

所以最多试1000-(3*10-2)+1 次就开了.

锁有3位数字, 每一位有N个数字可选的话, 比如题中是N=10, 则公式为:

N^3-3*N+3

想看看和魔方的关系~[em01]

[此贴子已经被作者于2005-5-16 12:47:37编辑过]

作者: 还猪哥哥    时间: 2005-5-17 21:19:44

足球彩票中的缩水（不是指条件过滤，而是纯粹的缩水）技术解决的就是这种问题。由于足球彩票的特殊性，每场结果只能是胜平负中的一个，也就是每一位有3个数字可选。这类问题是比较复杂的，基本没有通用的求最有优的方法
作者: noski    时间: 2005-5-18 08:59:07

以下是引用hw294在2005-4-28 13:56:04的发言：

先从最简单的考虑，比如说每个转盘只有0和1两个数字，那么密码共有以下8种可能：000，001，010，011，100，101，110，111。而只用001和110，只试两次就可打开，因为001管000，001，011，101这4种可能，而110管010，100，110，111剩下的这4种可能，所以只试两次就已打开锁了，而并非2*2=4次。[em05][em05]

对的! 答案也是这样

[此贴子已经被作者于2005-5-18 9:11:01编辑过]

作者: 大烟头    时间: 2005-5-18 09:29:59

以下是引用hw294在2005-5-13 13:44:25的发言：

只试下面的50次，就一定打开锁了。做小偷也要想着办法省力点嘛！[em07]

(0,0,0)(0,1,4)(0,2,3)(0,3,2)(0,4,1)
(1,0,1)(1,1,0)(1,2,4)(1,3,3)(1,4,2)
(2,0,2)(2,1,1)(2,2,0)(2,3,4)(2,4,3)
(3,0,3)(3,1,2)(3,2,1)(3,3,0)(3,4,4)
(4,0,4)(4,1,3)(4,2,2)(4,3,1)(4,4,0)

(5,5,5)(5,6,9)(5,7,8)(5,8,7)(5,9,6)
(6,5,6)(6,6,5)(6,7,9)(6,8,8)(6,9,7)
(7,5,7)(7,6,6)(7,7,5)(7,8,9)(7,9,8)
(8,5,8)(8,6,7)(8,7,6)(8,8,5)(8,9,9)
(9,5,9)(9,6,8)(9,7,7)(9,8,6)(9,9,5)

不可能。

如：密码为（0、5、X) 的锁头，用上面数据好象不行吧。

作者: hw294    时间: 2005-5-18 19:08:12

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作者: 大烟头    时间: 2005-5-18 19:44:34

哦，是我题目没看清楚，我以为是其中一个密码坏了[em06]，现在明白了。

独酌你心情不好可以理解，可惜我在论坛里找不到回收站，可能权限不够，我己建议恢复你的贴子:《笨人的天真——傻瓜转法》

作者: noski    时间: 2005-5-19 07:44:44

我把这五十个点画到一个立方体里面，这样可能更直观一些。

(0,0,0)(0,1,4)(0,2,3)(0,3,2)(0,4,1)
(1,0,1)(1,1,0)(1,2,4)(1,3,3)(1,4,2)
(2,0,2)(2,1,1)(2,2,0)(2,3,4)(2,4,3)
(3,0,3)(3,1,2)(3,2,1)(3,3,0)(3,4,4)
(4,0,4)(4,1,3)(4,2,2)(4,3,1)(4,4,0)

(5,5,5)(5,6,9)(5,7,8)(5,8,7)(5,9,6)
(6,5,6)(6,6,5)(6,7,9)(6,8,8)(6,9,7)
(7,5,7)(7,6,6)(7,7,5)(7,8,9)(7,9,8)
(8,5,8)(8,6,7)(8,7,6)(8,8,5)(8,9,9)
(9,5,9)(9,6,8)(9,7,7)(9,8,6)(9,9,5)

开锁问题 --- 魔方最少覆盖问题

由各个方向的视图可见，这些点并不是完全覆盖整个立方体，而是只覆盖了一半。如图：

开锁问题 --- 魔方最少覆盖问题




附件: [开锁问题 --- 魔方最少覆盖问题] UV45bM1v.jpg (2005-5-19 07:38:57, 36.37 KB) / 下载次数 47
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTA2OHxlYTg4ODk0MXwxNzE0NzgwMTkxfDB8MA%3D%3D

附件: [开锁问题 --- 魔方最少覆盖问题] WW5SiMzz.jpg (2005-5-19 07:44:12, 26.48 KB) / 下载次数 48
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTA2OXwwMWYyZDVmNnwxNzE0NzgwMTkxfDB8MA%3D%3D
作者: hw294    时间: 2005-5-19 19:58:12

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作者: hw294    时间: 2005-5-23 19:08:03

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作者: rosebud    时间: 2005-6-25 17:26:15

恭喜hw294升为贵宾啦！！！[em22][em23][em22][em23][em22][em23]
作者: hw294    时间: 2005-6-29 18:03:33

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作者: xinru    时间: 2005-6-29 18:07:30

帮忙把字放大一点！！！

呵呵，我倒没有注意，看了看权限，和以前差不多，再看了看等级，喝，可真不少：魔方新手—>魔方游民—>魔方游侠—>业余魔方—>职业魔方—>魔方侠之大者—>魔方黑侠—>魔方蝙蝠侠—>魔方蜘蛛侠—>魔方青蜂侠—>魔方小飞侠—>魔方火箭侠—>魔方蒙面侠—>魔方猎人—>魔方罗宾汉—>魔方阿诺—>魔方侠圣。大家要多发贴，发好贴，向魔方侠圣靠近哦！

不要不好意思啦！！！[em07][em07][em07]

作者: hw294    时间: 2005-6-29 18:34:06

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作者: 乌木    时间: 2005-6-29 19:11:34

不，我看也是34楼比35楼字大。

[此贴子已经被作者于2005-6-29 19:11:51编辑过]

作者: 乌木    时间: 2005-6-29 19:14:27

这几天写帖时字号大小是假的，要在编辑时才能放大。何故？

[此贴子已经被作者于2005-6-29 19:14:46编辑过]

作者: xinru    时间: 2005-6-29 19:23:47


<FONT size=1>魔方小飞侠
<FONT size=2>魔方火箭侠
<FONT size=3>魔方蒙面侠
<FONT size=4>魔方猎人
<FONT size=5>魔方罗宾汉
<FONT size=6>魔方阿诺
<FONT size=7>魔方侠圣
[em31][em31][em31]我什么时候才能成为魔方小飞侠呀？？？[em31][em31][em31]
作者: docker    时间: 2005-12-10 20:21:12

魔方新手—>魔方游民—>魔方游侠—>业余魔方—>职业魔方—>魔方侠之大者—>魔方黑侠—>魔方蝙蝠侠—>魔方蜘蛛侠—>魔方青蜂侠—>魔方小飞侠—>魔方火箭侠—>魔方蒙面侠—>魔方猎人—>魔方罗宾汉—>魔方阿诺—>魔方侠圣。

路漫漫其修远兮啊..............................................................................

要到什么时候哦.?

作者: dragonpig    时间: 2007-1-4 23:00:20

" 上面所说的36个格点至多覆盖36*10+36*4*2=648个格点"
请问这个×4×2怎么出来的？
作者: bawanglb    时间: 2007-1-22 10:58:27

按照题目说的，比如密码是“123”则须“12”“13”“23”就可以了，当然“21”“32”“31”也可以，那么就是说3个密码数字，只要猜队2个就好了，而我们也只试两个数字，用组合知，要10乘10再除以2，即50下就可以了，因为题目说的是与数字顺序没关系的。
作者: 小楼    时间: 2007-2-12 17:57:48

1000组合中。只有30个组打开锁

作者: 魔方初心者    时间: 2007-2-23 00:57:03

感觉题目出得不太好~题目说到有一条件是“肯定能开锁”但解答那里是有选择的去试的，这里密码位数少就当然能用这种方法，如果位数多了就不一样了~！就假设变成6位吧，那时候作出筛选来试比一个一个试可能更慢，以楼主在14楼的发言作例子，楼主用这个简单例子说明未必要N*N次，但实际上题目说了是“肯定能开”做了选择性的当然了，倒不如直接选了正确密码就一次OK了~~只有两位当然可以知道001和110覆盖了其他，但假设你不知道这两个数是覆盖了所谓其他数呢？就好像6位密码一样，知道那些数合起来覆盖所有其他数吗？这太麻烦了吧，如果在不知道的情况下就只能慢慢试，如果试两次，从000开始，那试了000，001是不是能开密码为101的呢？不能吧。

所以能符合“肯定能开”这个条件的尝试方法应该是N*N-1的

作者: kaitoKID    时间: 2007-5-3 14:51:08

QUOTE:
以下是引用bawanglb在2007-1-22 10:58:27的发言：
按照题目说的，比如密码是“123”则须“12”“13”“23”就可以了，当然“21”“32”“31”也可以，那么就是说3个密码数字，只要猜队2个就好了，而我们也只试两个数字，用组合知，要10乘10再除以2，即50下就可以了，因为题目说的是与数字顺序没关系的。

我新手哈，但觉得照题目的意思，显然是有关系的，不仅数字对，位置也要对，好像和某些彩票中奖规则一样，还和文曲星里的猜数字游戏一样：）

“123”的话，当然“21*”“*32”“31*”都是开不了的……

另外，如果照bawanglb所想的，只要有任意两个数字对，而不管位置的话，也要花点时间算算的哈：

共10*9*8/6+10*9*3/3+10=220种组合，其中100种是有重复数字的

001 112 223 334 445 556 667 778 889 990

就把所有重复数字的（100种），以及有相邻数字的不重复组合（70种）全覆盖了

剩下50种（前两位数省略写啦）

024、5、6、7、8
035、6、7、8
046、7、8
057、8
068


135、6、7、8、9
146、7、8、9
157、8、9
168、9
179

246、7、8、9
257、8、9
268、9
279

357、8、9
368、9
379

468、9
479

579

然后就是我头痛的地方了——我不知道怎么算，用感觉凑出来的：

024 135 036 147 257 369 068

这7组数字，可以完全覆盖这些

所以我至多需要17次，有大侠帮我看看，可不可能再少点啊！或者有完备的算法，而不是感觉！！！谢谢啦

作者: kaitoKID    时间: 2007-5-3 15:02:55

QUOTE:
以下是引用魔方初心者在2007-2-23 0:57:03的发言：

感觉题目出得不太好~题目说到有一条件是“肯定能开锁”但解答那里是有选择的去试的，这里密码位数少就当然能用这种方法，如果位数多了就不一样了~！就假设变成6位吧，那时候作出筛选来试比一个一个试可能更慢，以楼主在14楼的发言作例子，楼主用这个简单例子说明未必要N*N次，但实际上题目说了是“肯定能开”做了选择性的当然了，倒不如直接选了正确密码就一次OK了~~只有两位当然可以知道001和110覆盖了其他，但假设你不知道这两个数是覆盖了所谓其他数呢？就好像6位密码一样，知道那些数合起来覆盖所有其他数吗？这太麻烦了吧，如果在不知道的情况下就只能慢慢试，如果试两次，从000开始，那试了000，001是不是能开密码为101的呢？不能吧。

所以能符合“肯定能开”这个条件的尝试方法应该是N*N-1的

数学题就是这样哈，追求极致的最优化，而不是应用时的最快：）当然，你算过一次了，以后再有坏掉的锁试起来就快啦，哈哈——

就像魔方，要算出最少步数来翻，速度绝对比不过以自己最习惯的公式来翻，即使要多翻的次数是最少步数的几倍，也不会比研究最少步数的时间来得多。是吧？哈哈，我魔方新手

作者: kaitoKID    时间: 2007-5-3 15:17:46

楼主hw294的题目真有意思，就算是理解错了方向，也都是有趣的难题哦……

noski的三维图很让人豁然开朗啊！……

只是，如果要求：

一把密码锁，有n位数字（ 0 - 9 ），现已损坏，只要k位数字对，就能打开。现在，密码忘记了，问：最少试多少次，就肯定能打开锁？（ k < n ）

一把密码锁，有n位数字（ 0 - P ），现已损坏，只要k位数字对，就能打开。现在，密码忘记了，问：最少试多少次，就肯定能打开锁？（ P > 0， k < n ）

 岂不是要用到多维空间？

[em06][em06]
作者: 123455    时间: 2007-9-2 18:27:20

[em01][em01][em01][em01]
作者: haohmaru    时间: 2007-12-2 22:55:02

最少.......
应该是一次吧
作者: 汕头=老沙    时间: 2008-2-24 21:53:20

不错不错不错不错不错不错不错不错不错不错不错不错不错不错不错不错
作者: robbit521    时间: 2008-3-4 02:24:03

<P>密码是1-9的话。太简单了9个里任取2个：9×8/2×1=36</P>
<P>密码是0-9的话。太简单了10个里任取2个：10×9/2×1=45</P>
作者: ososo    时间: 2008-3-7 23:47:03

最少试一次,恰好蒙对了，楼主说呢?
作者: qiny1984    时间: 2008-3-8 23:06:28

从000-099总共100次
作者: hw294    时间: 2008-4-9 18:03:13

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作者: xiaoye    时间: 2008-8-24 19:21:44

假如密码锁有N个元素的话，那么不失一般性，题目要求的密码应该是在00——NN之间的一位，即我们如果放弃第三位的话，至少要试（N+1）×（N+1）次，不过由于还有一位，则我们可以这样设置：00N,01(N-1),02(N-2).......此时若N为奇数时，以9为例，要10×10%2=50,N为偶数时，以8为例，8×8%2+9=41～
作者: 咖啡味的茶    时间: 2008-8-24 22:21:16

题目的问题是，至少多少步能保证开锁。这么考虑，题目也就是把不能开锁的所有都算出来，然后再试一次就可以了。所以应该是1.只对一个密码：3*9*9；2.一个都不对：9*9*9；一共是9*9*9+9*9*3+1=973次
作者: 咖啡味的茶    时间: 2008-8-24 22:25:02

cube-master考虑错了啊，在试的过程是没有得考虑的，所以你不能说第三个键盘不转的，一定要考虑所有打不开的情况。
作者: 金眼睛    时间: 2008-8-25 10:54:01

<P>答案已经有了，如下：</P>
<P>(0,0,0)(0,1,4)(0,2,3)(0,3,2)(0,4,1)</P>
<P>(1,0,1)(1,1,0)(1,2,4)(1,3,3)(1,4,2)</P>
<P>(2,0,2)(2,1,1)(2,2,0)(2,3,4)(2,4,3)<BR>(3,0,3)(3,1,2)(3,2,1)(3,3,0)(3,4,4)</P>
<P>(4,0,4)(4,1,3)(4,2,2)(4,3,1)(4,4,0)<BR>(5,5,5)(5,6,9)(5,7,8)(5,8,7)(5,9,6)</P>
<P>(6,5,6)(6,6,5)(6,7,9)(6,8,8)(6,9,7)</P>
<P>(7,5,7)(7,6,6)(7,7,5)(7,8,9)(7,9,8)<BR>(8,5,8)(8,6,7)(8,7,6)(8,8,5)(8,9,9)</P>
<P>(9,5,9)(9,6,8)(9,7,7)(9,8,6)(9,9,5)<BR>但答案不是唯一的，给出得到答案的一个思路吧，<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/loveliness.gif" border=0 smilieid="28"> </P>
<P>&nbsp;</P>
<P>采用的数学原理是抽屉原理，因为密码有三位，所以要设置两个抽屉，也就是随机把0~9的数字分为两组，例如：0~5和6~9两组，则密码中的三位数字一定有两位落在同一个组内，我们就利用这两个同组数字来开锁。这两个数字的变化情况为5*5=25种，位置变化为ab*，a*b，*ab三种，共25*3=75种，如果加入第三位每一种可以代替三种，所以可以构造75/3=25种来代替全部变化。同理如果落入第二个抽屉，还需要25种情况，所以一共需要25*2=50种情况。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>看看上面的答案，可以发现就是两个抽屉的各25种情况。在每一种情况当中，先固定一位(上面的答案固定的是第二位)，然后让另一位在固定位的基础上轮换(即第一位在第二位基础上轮换)，最后一位在前两位的基础上进行轮换(即第三位在第一、二位的基础上轮换)。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>如果有人对此问题的数值解法感兴趣，可以参考<A href="http://lab.ntsec.gov.tw/activity/race-2/International2004/pdf/0104.pdf"><FONT color=blue>http://lab.ntsec.gov.tw/activity/race-2/International2004/pdf/0104.pdf</FONT></A></P>
<P>关于此问题，其中有详细的结论。<FONT color=red>N为偶数时，F(N)=(N/2)^2+(N/2)^2=N^2/2；N为奇数时，F(N)=(N^2+1)/2</FONT>。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>PS：55#的构造能不能多写点，看不出构造的规律。如果后面只是改变第一个数，第二个数总是小于第三个数且不变(如果不小于就100种了)，那么类似054这种组合怎么能试出来呢？也许是我理解得不对，o(∩_∩)o...</P>

[ 本帖最后由 金眼睛 于 2008-8-25 10:57 编辑 ]
作者: psuynjw    时间: 2008-8-27 13:11:36     标题: 1000次.因为不知道第几位坏了

123的锁,12*,13*,*23.首先要知道是哪个位置错了吧.个人觉得这和锁没坏一个样.
所以个人认为答案是10*10*10=1000.
前提,开锁数字是0-9这十个数
作者: yushaolun2002    时间: 2008-9-4 21:32:22

覆盖的问题没有介绍清楚，大家也都没有理解好！不是吗？你自己也搞清楚了吗？
作者: lulijie    时间: 2008-10-3 19:35:50

<span class="keyword">okkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk</span>
作者: 哋獄嚤蔟の炷    时间: 2008-10-5 18:55:25

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; N*(N-1)
作者: yss999    时间: 2009-2-5 16:56:47     标题: 回复 1# 的帖子

其实就是概论问题。呵呵
作者: juventus66    时间: 2009-2-13 12:38:17

学习了,支持下
作者: 371298247    时间: 2009-2-19 08:21:44

哇哈，这个思路转化的好，。
作者: 美景    时间: 2009-2-26 10:35:26

晕！看的我直迷糊！
作者: 科长大人    时间: 2009-7-27 07:46:49

这个问题和小时候玩的一个游戏-------炸弹超人----有点相似之处。30楼的图可以看作放置几个可以向6个方向爆炸的炸弹，问在哪些地方放置最少的炸弹可以保证炸死所有敌人。

应该没错吧......
作者: woyujnss    时间: 2010-7-11 00:14:05

不知道为什么，在看到题目的时候有种怪怪的感觉，后来看了所有的回复之后我发现，小学的时候解过类似的题目，反而现在看到这种题却晕了……
作者: luandianlong    时间: 2010-10-10 11:01:10

是简单的概率问题  学过的都会
作者: 894058936    时间: 2011-5-22 09:13:20

原帖由 hw294 于 2005-4-19 12:54 发表
    另外大烟头说的开锁的“锁”，是指现实中常用的锁门的“锁”吧？[em07]

想要喜洋洋里面灰太狼的魔方锁 呵呵 复原六面就开启
作者: 魔方minister    时间: 2012-6-14 23:03:20


如果每个转盘有十个数字，那么共有1000种情况。符合的有28种
作者: 梦羽灵泉    时间: 2012-6-24 05:44:17

1000-28＝1972？
作者: 梦羽灵泉    时间: 2012-6-24 05:45:34

然后1973次就开了
作者: 梦羽灵泉    时间: 2012-6-24 05:47:35

所以应该是1973次？
作者: 谢鑫硕、    时间: 2012-7-22 23:23:58

天哪、、蒙圈了
作者: 小闪电    时间: 2013-4-13 02:05:58

不错的题目，我喜欢。我高兴
作者: 大大大魔方    时间: 2016-2-7 17:07:35

好难啊。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
作者: fgmN    时间: 2016-3-12 22:40:54

要从两方面考虑是个问题



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