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标题: 证明题：四维是最麻烦的维度 [打印本页]

作者: 咖啡味的茶 时间: 2011-6-28 01:21:13 标题: 证明题：四维是最麻烦的维度

最近在研究高维魔方理论发现了一个现象：在所有维度的二阶魔方中（注意，不包括二维或者一维魔方，因为不存在），任意“拼装”的魔方复原概率最小的是四维二阶。
下面是复原可能性表：
三维二阶：1/3    限制条件：二元换--可能  任意交换方向--不可能  限制条件仅为方向
四维二阶：1/6    限制条件：二元换--不可能  任意交换方向--不可能  限制条件既有位置，也有方向
大于五维二阶：1/2 限制条件：二元换--不可能任意交换方向--可能  限制条件仅为位置
从数据看来，我们知道五维或者以上的空间是最方便的，任意性最大，另外加一句，大于等于五维的“正”几何形（学名是正多胞体）只有三种，一种是高维立方体；第二种是单形（就是三角形，四面体的高维类比）；第三种是正轴体，高维立方体的对偶体，或者看做是正八面体的高维类比（对这些概念有兴趣自己去维基一下）。这种统一的性质是巧合吗？哈哈，这个我们无从得知。
三维的正几何体有五种，分别是正四面体，正八面体，正六面体，正十二面体，正二十面体。四维的正多胞体有正五胞体（四面体类比），超正方体（立方体类比），正十六胞体（正八面体类比），正二十四胞体（无三维类比），正一百二十胞体（正十二面体类比），正六百胞体（正二十面体类比）。
我们可以得知，正多胞体的数目随着维度并不是一直下降的，反而是在四维有一个突起。
也许正是因为这种原因，生物最初的存在和我们的意识形态都适应于三维：第一，五维以上的空间过于普遍，没有方向限制使得所有的存在状态都成为可能，使得物体无法存在一个固定的状态，所以不适合定向去理解事物；第二，四维又相对于三维限制过多。最重要的是，三维魔方是最简单，最基础的魔方（因为不存在二维）。
这仅仅是一些胡思乱想，希望可以加强魔友对高维空间的感性认识。

作者: tengda 时间: 2011-6-28 02:50:19

楼主好精力，完全不懂的人偷偷路过。

作者: schuma 时间: 2011-6-28 03:56:51

(1) 我觉得这个网页的MC2D就确实是普通三阶魔方在2D的对应物:
http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html (就是MC4D网站的一页)
的确很简单就是了。然后二阶就只看它的角吧

(2) 维数比较低的时候事情比较复杂，这是个比较普遍的现象。拓扑学有个重要的分支就是低维拓扑学 <http://en.wikipedia.org/wiki/Low-dimensional_topology>。之所以它能单分出来，就是因为有许多结论只在维数高于4或5的时候成立，但维数比较低的时候不成立。有许多问题在低维的情况下没被证明，反倒在高维的情况下被证明了。

[ 本帖最后由 schuma 于 2011-6-28 04:24 编辑 ]

作者: 栋梁 时间: 2011-6-28 09:06:33

对高维魔方实在难以想象，要是楼主能给点直观的例子就好了

作者: 咖啡味的茶 时间: 2011-6-28 09:42:02

原帖由 schuma 于 2011-6-28 03:56 发表
(1) 我觉得这个网页的MC2D就确实是普通三阶魔方在2D的对应物:
http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html (就是MC4D网站的一页)
的确很简单就是了。然后二阶就只看它的角吧

(2) 维数比较低的时候事情比较复杂 ...

二维魔方的确还是不存在。你仔细体会一下这个魔方你会发现这个类比根本不是“转动”。

作者: 乌木 时间: 2011-6-28 10:49:50

“ggglgq”给出过一个动画，我觉得有助于理解四维立方体。

一维，只能做出一条线段a；
二维，可以按照规律做出一个axa的正方形；
三维，按照同样的模式可做出axaxa的立方体。
画在平面上的立方体，立体感画得好的话，我们仍然理解它每根棱长度都是a，两根相交的棱是垂直的，一个顶点上有三根相互垂直的棱，六个正方形构成一个正六面体。这就是三维物体在二维中的表达。
四维，在三维立方体的基础上，按照相同模式，8个顶点再长出8根长度都等于a的棱，再把新的8个端点用长度都是a的12根线段联结起来，就得到四维正方体了。它的32根棱长度都是a，两根相交的棱都是正交的，一个顶点上有四根相互正交的棱，由8个相同的三维立方体构成一个四维正方体。它在三维空间的投影最好让它运动起来，只是能运动的三维模型不容易做出。
ggglgq给出的下图是进一步把它画在二维的屏幕上，并让它动起来。看得出，由8个三维立方体构成一个四维正方体，是否可以叫“正八胞体”？
四维空间立方体.gif

立方体的投影方式不少，下图右面一种常用于看立方体的内部，比如看一个房间内的天花板、地板和三面墙壁，
这种投影同样表示六个正方形组成一个立方体（正六面体）。
我要说的是，下图右面的投影和上面动画所表示的四维立方体（正八胞体）在三维空间的投影，方式多么相似！
立方体投影之两种.png

[ 本帖最后由乌木于 2011-7-4 17:45 编辑 ]

附件: 四维空间立方体.gif (2011-6-28 10:49:50, 687.22 KB) / 下载次数 70
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作者: 谢老师 时间: 2011-6-28 11:34:01

强大！好难理解！正在理解中！

作者: Donald_LYC 时间: 2011-6-28 11:39:16

六年级的我完全不懂。。。。。。。

作者: ZJY 时间: 2011-6-28 12:14:08 标题: 回复 6# 的帖子

四维是这样的啊。。。我脑子比较笨。。。

作者: 乌木 时间: 2011-6-28 12:40:24

我想，那动画也只是帮助理解四维空间几何体，并非四维立方体就是那种样子的（比如，它不动的话，又该是什么样子呢？）。我们三维人不容易想象四维东西。
正像三维立方体在三维空间可以做出实际的模型，但是在二维平面中，是不可能做出三维东西的，只能让三维东西投影到二维，在我们的头脑中对这种投影图加工之后，想象出三维东西。但是“二维人”就不可能理解这种投影图。
我们三维人看了四维立方体的三维投影或二维投影，还是不容易想出四维立方体究竟是什么样的，只能推理出它的一些性质。

————————————————————————

此外，三维东西在二维平面中的投影，弄不好我们的头脑加工后会出错。比如，最近看到下面这个图片，我就奇怪：怎么图中最近的这一家向南、向东开两个大门？沪上有这种事吗？
中共一大会址-3.png

我就“百度”了更多的有关图片，明白了，这一排是五家，每家一个大门，最近的这一家遇到马路转角，其大门只好向东南方向开了。
中共一大会址-2.png

[ 本帖最后由乌木于 2011-6-28 13:26 编辑 ]

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作者: jinxian 时间: 2011-6-28 12:56:54

原帖由 咖啡味的茶 于 2011-6-28 09:42 发表
二维魔方的确还是不存在。你仔细体会一下这个魔方你会发现这个类比根本不是“转动”。

　
　　

楼主的“二阶魔方中不包括二维或者一维魔方”的观点很偏激，其他的观点就很难让人信服了。

以前论坛中烟头等人否认的“骰子是一阶魔方”就已经“矛盾重重”了，现在楼主又来个否认

“一维魔方、二维魔方”，就更没“基础”了！


下面提供几个论坛中的“一维魔方、二维魔方”的例子，希望大家有空看看：

一维魔方的例子： http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=7532

二维魔方的例子： http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=561



最后，提醒大家：魔方的定义不是看它能不能“转动”，而是看它能不能“变换”！

“魔方”是“群”，是可以用现实生活中的“实物”进行变换操作的“群”。

楼主对魔方的定义是有问题的！
　　　　
　　
　　
　　
　　

作者: dekingran 时间: 2011-6-28 14:49:22

数学理论不好啊，不过好期待能出来

作者: schuma 时间: 2011-6-28 15:39:16

原帖由 咖啡味的茶 于 2011-6-28 09:42 发表

二维魔方的确还是不存在。你仔细体会一下这个魔方你会发现这个类比根本不是“转动”。

嗯，我想了想，你说的有道理。三维四维说的旋转都不带镜像的，那个二维非得是镜像才能动。如果只允许旋转就没法拧了。一维也是一样，就算定义了也没法拧。

作者: schuma 时间: 2011-6-28 15:54:33

我又去 http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html 看了一下。那个网页一上来确实说，只看旋转的话是没法转的。为了让它有意思一点，就允许一下镜像，所以类比不是严格的。我开始没仔细这个了，或许是以前看过但是忘了。但总之你完全是对的！

作者: superacid 时间: 2011-6-28 17:32:48 标题: 回复 10# 的帖子

那是传说中的**一大会址么。。。

作者: 乌木 时间: 2011-6-28 18:31:01 标题: 回复15楼

正是。
上面第一图取仰拍，当然气势较雄伟，但很容易使人误解为那两扇大门是互相垂直的（一朝南，一朝东），再加照片右面的景物裁去后，更看不出它是朝东南开的了。
这恐怕也涉及三维事物投影到二维平面上时，如何尽可能多地反映三维信息。
以前noski介绍过的“摇头龙”，看来也是因三维信息不足造成了视觉误差，反过来被利用来逗乐。

[ 本帖最后由乌木于 2011-6-28 20:42 编辑 ]

作者: jinxian 时间: 2011-6-28 18:56:44

原帖由 schuma 于 2011-6-28 15:54 发表
我又去 http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html 看了一下。那个网页一上来确实说，只看旋转的话是没法转的。为了让它有意思一点，就允许一下镜像，所以类比不是严格的。我开始没仔细这个了，或许是以前看过但是忘了。但总之你完全是对的！

　　可能连 schuma 自己都忘记了他编写过一个可以“旋转”的“二维魔方”了吧？！

有些搞笑了！

   http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=26372



　　

作者: jinxian 时间: 2011-6-28 18:58:36

　　
　　
　　

忘了说了，那还是 schuma 唯一的一个精华帖！呵呵，无法坚持真理的人实在是搞笑！
　　
　　
　　
　　
　　

作者: 咖啡味的茶 时间: 2011-6-28 19:37:23

原帖由 jinxian 于 2011-6-28 18:56 发表

　　
　　

　　可能连 schuma 自己都忘记了他编写过一个可以“旋转”的“二维魔方”了吧？！

有些搞笑 ...

注意，这个不是类比意义的二维魔方。你应该仔细体会魔方的定义，我给出的定义是N-1维自旋带动一层的转动的步骤叫做转动。

作者: jinxian 时间: 2011-6-28 19:53:27

原帖由 咖啡味的茶 于 2011-6-28 19:37 发表
我给出的定义是N-1维自旋带动一层的转动的步骤叫做转动。

　　

如果按照楼主的这种说法，

http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html

网站中的 2 维魔方，也是符合这样的说法的！
　　
　　　　
　　　　
　　

作者: 咖啡味的茶 时间: 2011-6-28 19:55:55

原帖由 jinxian 于 2011-6-28 19:53 发表

　　

如果按照楼主的这种说法，

http://www.superliminal.com/cube/mc2d.html


网站中的 2 维魔方，也是符合这样的说法的！
　　 ...

你仔细看你会发现那种不是所谓的“旋转”，那是翻转。

作者: jinxian 时间: 2011-6-28 20:09:05

原帖由 咖啡味的茶 于 2011-6-28 19:37 发表
我给出的定义是N-1维自旋带动一层的转动的步骤叫做转动。

　　

这不恰恰是“ N-1 维自旋带动一层的转动的步骤”叫做“转动”吗？！

“ 1 维的自旋转动” 不就是 “翻转” 吗？！  呵呵！
　　
　　

作者: jinxian 时间: 2011-6-28 20:28:43

　　

实际上我较在乎楼主关于高维魔方理论的一般化－－即高维魔方理论，在低维通用。

高维空间的“多胞体”可以“转动”，三维空间的“体”可以“转动”，二维空间

的“面”可以“转动”，一维空间的“线”当然也可以“转动”，那就是局部的“翻转”。
　　
　　　　　
　　　　　
　　　　
　　

作者: 咖啡味的茶 时间: 2011-6-28 21:57:12

请仔细思考一下“转动”。你真的觉得一条线可以在一维空间转动？

作者: jinxian 时间: 2011-6-28 22:23:36

　　
　　

当然可以那样理解！那是抽象的“转动”！
　　
　　
　　
　　
　　

作者: 咖啡味的茶 时间: 2011-6-28 23:53:32

这个概念就错了。当你说是“抽象”的时候说明你已经承认有所去区别了

作者: schuma 时间: 2011-6-29 02:44:56

我一共没编过几个程序，当然记得我编的Rubiks Square。只是它更接近于三维的魔方，而不是真正二维的类比。一个数学问题而已，真不用提什么真理来上纲上线。

说到旋转镜像之类的，严格说来是这样的：n维实数线性空间里的正交变换，对应的矩阵就是正交矩阵了，构成的群叫O(n)。正交变换分为两类，矩阵特征值为+1的和-1的。矩阵特征值是+1的变换构成的群叫特殊正交矩阵群，表示纯旋转，SO(n)。矩阵特征值是-1的那些代表镜像以后再旋转，是O(n)里不属于SO(n)那部分。以上说法对n=1,2,3,...都成立。所以我们定义n维魔方可以用这些符号来。

理论上讲，我们可以考虑两类n维魔方：A: 只允许旋转(SO(n))的魔方和 B: 允许旋转和镜像(O(n))的魔方。这两类都是数学上有良好定义的迷题，我都想玩。咱们来看看咱们熟悉的3x3x3是哪一类。

咱们熟悉的3x3x3，允许的操作是纯旋转，不允许镜像。原因是因为物理世界让我们没法做镜像操作。所以它属于A类。

Superlimial里画的二维魔方，用到了镜像，矩阵是
(1, 0)
(0,-1)
这样的，特征值为-1。所以它属于B类，跟3x3x3不是一类的。superlimial上的2D魔方前面的说明也说的很清楚，只是为了让它能玩，考虑了镜像，并且说明了这不是严格的对应。

由于以上原因，superlimial里的魔方不是普通3x3x3的二维对应物。我相信楼主最初说二维魔方不存在，也是这个意思。

另外，如果有哪个程序模拟B类3x3x3魔方的话，我想试试。不过难度应该和普通3x3x3差不多吧。

参考:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5

[ 本帖最后由 schuma 于 2011-6-29 02:47 编辑 ]

作者: jinxian 时间: 2011-6-29 07:26:22

原帖由 咖啡味的茶 于 2011-6-28 23:53 发表
当你说是“抽象”的时候说明你已经承认有所去区别了

　　
　　

本不想再回帖子了，又想再最后“罗嗦”几句算了。

我说的“转动”是有“中心对称”性质的变换。

对于直线来说，“中心对称”的是“中心点”；对于平面来说，“中心对称”才有“中心轴”；

对于三维以上的空间来说，“中心对称”的“中心轴”就更多了！它们之间当然互相都有“区别”！
　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　

作者: 羽篮乒 时间: 2011-7-1 19:08:54

好深奥...不懂...太难了

作者: Cielo 时间: 2011-7-2 19:08:34

原帖由 schuma 于 2011-6-28 03:56 发表 ...有许多问题在低维的情况下没被证明，反倒在高维的情况下被证明了。

确实，貌似庞加莱猜想就是这样~

作者: csgg 时间: 2011-7-4 12:51:52

想破脑子也是没用的东西………………

作者: 玉逸风 时间: 2011-7-4 22:06:13

看不懂的路过。。。。。。。。。。。。。

作者: 肥嘟嘟左卫门 时间: 2011-7-4 22:08:41

有点不懂楼主说的什么顶一个让更多人看到来解释

作者: 至尊达哥 时间: 2014-2-15 21:46:17

本帖最后由至尊达哥于 2014-3-21 18:42 编辑

这样理解高维空间会消减难度，希望对大家有所帮助。

四维立方体想象图
四维魔方.png

五维立方体想象图

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附件: 四维魔方.png (2014-2-15 21:43:59, 25.13 KB) / 下载次数 19
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjMzODA3fDg3OTZmMWIxfDE3MTYzNzc2NzB8MHww

作者: 黑白子 时间: 2014-2-16 14:08:59

三维空间可以建立空间直角坐标系，四维空间怎么建立直角坐标系？世界上真的存在四维空间吗？

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