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标题: 高手必看———只有5条线段的数学界难题 [打印本页]

作者: 我是状元 时间: 2011-4-14 11:37:15 标题: 高手必看———只有5条线段的数学界难题

只有5条线段的数学BT题
我碰到难题了，请各路高手赐教。
在△ABC中CD,BE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线。且CD=BE。求证△ABC为等腰三角形。
这道题是我在无意中发现的。初看很简单，几次全等就可以证明。但是一但仔细研究，就会发现这道题难度很大。一查才知道这叫斯坦纳定理。网上给的证明都不对。有没有数学高手给个证明。
如果有，就先谢了。相信MF8一定会有很强大的数学高人。
P.S.别用一两次全等来骗我，这也是数学界的一道著名难题。

作者: 471455610 时间: 2011-4-14 11:48:36

证明它是等边三角形呢

作者: 华容道 时间: 2011-4-14 11:50:20

用反证法简单，直接证有难度：

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作者: 我是状元 时间: 2011-4-14 11:51:01

不要结论，我要过程。

作者: 我是状元 时间: 2011-4-14 11:53:12

能不能直接证呢？谢谢

作者: 弃此假此情 时间: 2011-4-14 13:04:14

初中水平的我看这个题看了半天还是看不懂。。

作者: Donald_LYC 时间: 2011-4-14 13:08:22

我才小学六年级，不懂。

作者: 夜雨听风 时间: 2011-4-14 14:00:34

百度一下。。。。。。。。。
http://apps.hi.baidu.com/share/detail/17352881

作者: aadxd 时间: 2011-4-14 15:02:45

记得上初中那时做过，班里只有一个人解出来，好像也是反证法吧

作者: 奔逸的蜗牛 时间: 2011-4-22 19:31:08

不用反正法也能证

作者: SURE_ 时间: 2011-4-26 22:29:09

楼主专业点好吗……我至少能提出两个疑问
第一，这个定理叫雷米欧斯—斯坦纳定理，请用全称好么
第二，该定理根本不是没人能证出来，别怀疑我的专业程度，我负责任的告诉你，《几何原本》中就有关于它的证明，用的是三角带换，很麻烦。如果你想找一个简单方法就别在直接方法上费心了，反证法是最佳方法。

好像算不上难题……这是被我们高中老师当作反证法的例题说的

作者: SURE_ 时间: 2011-4-26 22:50:52

未命名.JPG

假设AB>AC，由正弦定理，
有：LACE=LECB>LABD=LCBD
做△BEC的外接圆交BD于G（G可能在BD延长线上）
连结CG
显然LEBD=LECG,
由第二句话结论，得LECG<LEC，
进而得LBCG<LBCD
由“大角对大边”，得BG=CE<BD
矛盾！
所以假设不成立，故AB≤AC
当AB<AC时，完全类似，
最后得AB=AC

另一种反证法。。

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作者: 晶之水手 时间: 2011-4-27 12:28:08

快中考了啊，不理解的可以赶快来魔方吧问问，说不定中考就考了。

作者: hgt3122 时间: 2011-4-27 20:26:40

不懂啊刚考完七下第一次月考的路过~

作者: xiaoxiao_wxy 时间: 2011-4-28 20:01:30

什么玩意儿，我劝楼主直接学解析几何

不要怕烦

那些神马反证的蛋疼办法都扔了吧吧

没有技巧为最高技巧！！

学了解析几何，直接计算，就出来了

作者: tm__xk 时间: 2011-4-28 20:10:49 标题: 回复 16# 的帖子

别以为解几就没有技巧..

作者: W_FISH 时间: 2011-4-29 18:20:07

解析几何是个好东西。可是那计算量也不是一般的。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2011-5-3 08:56:01

状元也那么不给力啊。。似乎天才和是否是状元还没有关系

作者: L08 时间: 2011-5-3 09:44:18

这种三角关系，看得我头大~~~~~~~~~~

作者: caocaojun 时间: 2011-5-3 13:16:51

很眼熟的一个题目。
记得初中时有一道C级*题，我用了11条辅助线才得于证明。
后来高中时学了三角函数也比较容易的又证明了一次。

现在的数学已退步了，完全不知道如何去证明了。

[ 本帖最后由 caocaojun 于 2011-5-3 13:18 编辑 ]

作者: mxd2hj043437 时间: 2011-5-3 13:20:33

给个图比较直观。没有图真的很难看懂。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2011-5-4 00:16:30

= = 我记得某一本书说这题最简单的证法是同一法。。。

作者: lulijie 时间: 2011-5-15 14:35:45

我来给一个直接证法：

记：三角形三条边长a、b、c，面积S，半周长p，外接圆半径R，边a对角的角平分线长为ta。
那么根据角平分线长公式，可以化为如图所示的公式。
分子是常数，分母根号里的函数x(2p-x)^2/(p-x)是个递增函数。 0 <x<p
所以边长越长，对应的角平分线越短，也就是说只有边长相等，对应的角平分线才会相等。
也就证明了斯坦纳定理。

附件: aa.jpg (2011-5-15 14:35:45, 11.55 KB) / 下载次数 24
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