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标题: 论三阶魔方总变化数 [打印本页]

作者: sathuwang 时间: 2010-9-21 09:09:11 标题: 论三阶魔方总变化数

首先，我们对三阶魔方要有基本的认识：
1、每2个角块无法单独互换；
2、每2个棱块无法单独互换；
3、每1个角块无法单独换色；
4、每1个棱块无法单独换色。
关于三阶魔方的总变化数：
联合公式.jpg

对于三阶魔方的总变化数，从网上广为流传的公式中我们可以看到，8！包含了所有角块的全排列，12！包含了所有棱块的全排列，而公式中简单的除以2无法说明角块和棱块均无法单独互换的情况。38包含了所有角块颜色的互换，如果简单地除以3，无法说明角块颜色无法单独互换的情况；同样，212包含了所有棱块颜色的互换，公式简单地除以2，也无法说明棱块无法单独互换颜色的情况。
因此，这个公式是错误的，正确的应该是修改后的公式。
1、
对8个角块而言，每两个不能单独互换，数学表达应该是（8-1）！
2、
对12个棱块而言，每两个不能单独互换，数学表达应该是（12-1）！
网上流传的公式，没有考虑每2个角块（棱块）互换可以连带2个棱块（角块）的互换，这种情况的数学表达是：P（8,2）和P（12,2）的乘积。
另外，网上广为流传的公式中对角块和棱块颜色不能单独互换的情况只简单地除以3和除以2，这是不正确的。魔方共有8个角块和12个棱块，每一个角块和棱块都无法单独换色，因此，角块总变化数量应该除以（3*8），棱块总变化数量应该除以（3*12）。
该公式的结论是三阶魔方的总变化数约为2.3亿亿，与原先的4.3*1019有很大差距。
如有高手对以上有异议，欢迎指正。

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作者: kattokid 时间: 2010-9-21 09:11:36

理论讨论帖，先占个楼，期待高深人士解答

作者: 东又西 时间: 2010-9-21 09:44:39

这个！对数学很迷茫！还是等别人来解答吧、、、

作者: ZLG5496 时间: 2010-9-21 09:54:02

楼主是有道理的，流传的是理论数字，可能未考虑一些不可能的因素吧

作者: sathuwang 时间: 2010-9-21 09:55:55 标题: 特别更正

由于网络显示原因，特别更正如下：
1、“38”是指3的8次方
2、“212”是指2的12次方
3、“1019”是指10的19次方

作者: zbyxzh 时间: 2010-9-21 10:02:58

对于三阶魔方的总变化数，从网上广为流传的公式中我们可以看到，8！包含了所有角块的全排列，12！包含了所有棱块的全排列，而公式中简单的除以2无法说明角块和棱块均无法单独互换的情况。38包含了所有角块颜色的互换，如果简单地除以3，无法说明角块颜色无法单独互换的情况；同样，212包含了所有棱块颜色的互换，公式简单地除以2，也无法说明棱块无法单独互换颜色的情况。

个人认为，除以3除以2除以2确实可以排除所有不正确的状态。LZ不妨仔细想一想
比如，任意一个三阶魔方的角块色向状态（无论正确与否），都可以由另外某一个状态顺时针翻转一个角块，或第三个状态逆时针翻转一个角块而得到。因此这三种状态中只有一个是正确的三阶状态。换而言之，对所有正确的三阶角块色向状态，分别顺翻或逆翻其中一个角块，便可得到所有错误状态
所以角块色向的排列数确实为3^8/3。

[ 本帖最后由 zbyxzh 于 2010-9-21 10:36 编辑 ]

作者: chenqing12003 时间: 2010-9-21 10:08:39

看不大懂，太深奥了

作者: 居士 时间: 2010-9-21 10:13:39

原帖由 sathuwang 于 2010-9-21 09:55 发表
由于网络显示原因，特别更正如下：
1、“38”是指3的8次方
2、“212”是指2的12次方
3、“1019”是指10的19次方

你可以这样写:3^8；2^12；10^19；

看着看着,发现我这个从统计学专业出来的人,原来数学知识都丢得差不多了...

作者: Wilson007 时间: 2010-9-21 10:31:13

好像很深奥，看不懂...

作者: sathuwang 时间: 2010-9-21 10:39:18 标题: 回复 7# 的帖子

谢谢你的回复！
你再帮我想想，这里我考虑很久了，也有些模糊。

作者: znf2 时间: 2010-9-21 11:47:20

我一直以为流传这个是不对的,我估计是由于没有考虑楼主的这些CASE
不过由于我不求甚解,一直也没怎么考虑.

楼主提出来了,还是请相关人士(精通数学/魔方)求证一下.

作者: superacid 时间: 2010-9-21 12:02:40

首先，原来公式一定是对的，这个先不说。
LZ的算式中，P(8,2)*P(12,2)是不能简单地加在7!和11!后面的，因为它是角块(或棱块)是偶排列的前提下的情况。
还有，角块(或棱块)色向在确定了前7(或11)个以后，最后一个唯一确定，且角块棱块互不干扰，所以对于色向的计算只需3^7*2^11即可。在计算时要注意位置和色向是没有任何联系的。
根据LZ的思想可以如下列式(色向就是3^7*2^11：
考虑位置：如果角块，棱块都是偶排列，那么有7!*11!种；
如果都是奇排列，角块可以看做是在前6个确定的情况下，后两个与上一种情况恰好相反，棱块也是，所以也有7!^11!种。
然后总情况有2*7!*11!*3^7*2^11=4.3*10^19种

作者: abandon 时间: 2010-9-21 12:05:06

遗憾地说：广为流传的公式是对的……魔方的状态，是以固定的6面中心为参照物的，所以角位置当然是8！种，棱位置是12！种，除以2是说不能单独交换两角、也不能单独交换两棱，但同时交换是可以的（参见PLL即可），另外色向规律也类似，所以建议楼主仔细研究一下再下结论吧~

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-9-21 12:07:23

鼓励楼主质疑权威，但是似乎楼主的计算方法还有偏差

作者: sokoban 时间: 2010-9-21 12:21:48

称这个公式是“网上广为流传”我怎么总觉得有点别扭。

魔方已经出现30多年了。这个公式在网上广泛流传之前，事实上也已经在各种出版物上广泛流传过。

作者: sathuwang 时间: 2010-9-21 13:32:36 标题: 回复 13# 的帖子

13# 说的似乎有道理，可是运算结果好象不对吧？我再考虑一下。

作者: sathuwang 时间: 2010-9-21 13:35:54 标题: 回复 7# 的帖子

7# 说的对！谢谢！

作者: hubo5563 时间: 2010-9-21 14:51:55

可以这么考虑，我们把魔方架子看成是具有12个楞块位置和8个角块位置的容器，棱块和角块看作是物体，需要往里面摆放，这个显然满足乘法法则。先摆放棱块，后摆放角块，棱块位置共12个，那么第一块就有12种位置，选定位置后，第一块可以正向放，也可以反向放，因此有2×12种方法，放好第一块，第二块可放位置，除不能放到第一块位置外，哪里都可以放。因此考虑放到位置和方向，就有11×2种，以此往下推，第11块可以有两个位置，考虑方向共有2×2种，当放完第11块后，第12块位置和方向也就确定了。因此棱块共有12！×（2的11次方）种摆放方法。角块摆放时，第一块有8个位置，有3个方向，有8×3种摆放方法，第二块除第一块位置外，那里都可以摆放，有7种位置三个方向共有7×3种，以此类推，第7块有2个位置，3个方向，但是位置摆放不自由了，受到棱块的制约，也就是说，角块第7块只有一个位置，但方向没限制有3种，因此第7块具有3种方法，把第7个角块摆好后，第八块的位置和方向都确定了，只有1种方法。这样角块摆放有8！除以2乘3的7次方，因此魔方状态共有12！×8！×（2的10次方）×（3的7次方）=43252003274489856000种，因此原来给出的结果没错。
也可以先摆放角块，第一个角块8个位置3种方向有8×3种摆放方式，第二个有7×3种摆放方法，以此类推，第7个有2种位置，3个方向有2×3种摆放方法，放好第七块后，第八块位置和方向都已经确定，所以角块共有8！×（3的7次方）种摆放方法。然后摆放棱块，第一个有12×2种摆放方法，第二块有11×2块摆放方法，以此类推，第10块有3×2种摆放方法，第11块摆放位置受角块制约，只能1种位置，2种方向，就2种摆放方法，第12块方向位置都以确定，因此棱块共（12！÷2）×（2的11次方）种方法，因此总魔方有8！×（3的7次方）×（12！÷2）×（2的11次方）=43252003274489856000种，因此原来给出的结果没错。
楼主说的：
1、每2个角块无法单独互换；
2、每2个棱块无法单独互换；
3、每1个角块无法单独换色；
4、每1个棱块无法单独换色。
缺一条，两个角块和两个棱块可同时交换。
魔方连同错误状态总状态有12！×（2的12次方）×8！×（3的8次方）种，由于最后的一个角块无法单独换色，所以需要除以3，由于棱块最后一个不能单独换色所以需要再除以2，又由于棱块和角块无法单独换位置所以需要除以4，但两个角块和两个棱块可同时交换，需要乘以2，最终还是12！×（2的12次方）×8！×（3的8次方）除以12=43252003274489856000种。

[ 本帖最后由 hubo5563 于 2010-9-21 15:26 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2010-9-21 19:08:47

三阶魔方的基本运动方式是表层90°转，也就是那四个角块总是来个四轮换，同时那四个棱块总是来个四轮换。任何四轮换可以独立转换为一个二交换，所以，表层90°一转，可以转换为角块一个二交换并棱块一个二交换，接下去想要单单复原那两个角块，不行；单单复原那两个棱块，也不行。只能角块和棱块同时都二交换。
可见，“不能单单交换两个块”这一魔方规律之一的根源还是魔方基本动作的上述顽固性质。

随机组装的位置变化总数 8！×12！要修正为转得出的位置态总数的话，是否可以简捷地除以2？

答案是肯定的。8！个角块位置态之中，一半是奇态（即由奇数次二交换得到的态），另一半是偶态（即由偶数次二交换得到的态）。12！个棱块位置态之中，也是一半奇态，一半偶态。任何一个正确三阶魔方的转出态只能由奇态角块组合奇态棱块，以及偶态角块组合偶态棱块。奇偶组合或者偶奇组合都是转不出态。好，这么一来，转得出的位置态总数岂不是 8！×12！/ 2 吗？即：
(8!/2)*(12!/2) + (8!/2)*(12!/2) = 8!*12!/2

至于为什么角块和棱块的奇偶组合或者偶奇组合都是转不出态，我就说不好了，哪位说说吧。我只是感觉这也是上述基本动作表层90°旋转的特点决定的，每一转，总是角块和棱块同时切换状态的奇偶性，怎么可能出现奇态角块组合偶态棱块或反过来呢？

[ 本帖最后由乌木于 2010-9-22 12:34 编辑 ]

作者: sathuwang 时间: 2010-9-21 21:33:37 标题: 郑重更正

网贴.jpg

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作者: sathuwang 时间: 2010-9-21 22:05:05 标题: 回复 12# 的帖子

你的运算结果不对吧？

作者: 乌木 时间: 2010-9-22 12:54:40

20楼说：

怎么理解这个式子呢？能解释解释吗？
（8－1）！，是否固定一个角块，其余7个角块的位置变化数就是（8－1）！；
（12－1）！，是否固定一个棱块？
那么，一个角块和一个棱块固定后，中心块还固定否？

若中心块仍固定，那么，此处被固定的角块和棱块，在别的状态中相对于中心块而言处于别的位置时，那些态就不计入啦？还有，此处被固定的角块和棱块，在别的状态中，它俩的相对位置有了变化，得到的新态也不计吗？如果我问的两种情况都不计，这不是成了一种捆绑魔方了吗？你是探讨什么魔方呀？

若中心块不再固定，那么，虽然六个中心块的相对位置永远不变，可以当作一个块看待，但是这样的中心块组件相对于固定的一个角块和固定的一个棱块而言，总还可以有位置变化吧？你的算式中怎么不计入中心块相对于固定角块、固定棱块的位置变化呢？

如果你并未固定哪个角块，也未固定哪个棱块，仍然只是固定中心块，那么，哪来的（8－1）！？不让别的角块进入的一个角位上的角块和中心块用502胶水粘牢啦？哪来的（12－1）！？又是一个棱块粘牢啦？

[ 本帖最后由乌木于 2010-9-22 14:15 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2010-9-22 16:03:14

你说什么“网上流传的公式，没有考虑每2个角块（棱块）互换可以连带2个棱块（角块）的互换”，你错了，（8！×12！）这一数不仅包括“每2个角块（棱块）互换可以连带2个棱块（角块）的互换”，并且包括所有随机组装的位置情况，然后校正为正确魔方的可转出的总态数（8！×12！）/2 。

至于(3^8)/3 和(2^12)/2 何错之有？任一组装态的最后一个角块三种色向对一错两，正确的角块色向数不是占1/3 又是多少？任一组装态的最后一个棱块色向对一错一，不除以2，又该如何计算？

你开发新算法这件事本身没错，但不能因为结果不一致就否定别人的结果呀！

[ 本帖最后由乌木于 2010-9-22 17:48 编辑 ]

作者: 机器贝尔 时间: 2010-9-22 17:30:05

乌木老师真牛啊，这才是高水准的回复啊。

根据他的角块每两个不能单独互换，我觉得应该是8-2。

[ 本帖最后由机器贝尔于 2010-9-22 17:32 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2010-9-22 18:13:47

原帖由 机器贝尔 于 2010-9-22 17:30 发表
根据他的角块每两个不能单独互换，我觉得应该是8-2。

你是说角块的转出态总数为（8－2）！吗？不对。

“角块每两个不能单独互换”，这是指一个正确三阶魔方用转魔方的方法不可能单单交换两个角块，而随机组装角块时，则任何位置态都有可能，共有8！个组装态。相对于复原态而言，8！/2个是奇态（由奇数次二交换得到的位置态），8！/2个是偶态。
对于棱块，则12！/2个奇态，12！/2个偶态。
奇态角块组合奇态棱块，得到的转出态数为（8！/2）×（12！/2）（这里，既然组合双方都是奇态，角块和棱块都查看一下并合计之，当然不可能有单单一个二交换情况），
偶态角块组合偶态棱块，得到另一半转出态数（8！/2）×（12！/2）（这里更没有单单一个二交换的容身之处了），
两类转出态数之和为（8！/2）×（12！/2）＋（8！/2）×（12！/2）＝8！×12！/2 。

被排除的8！×12！/2个组装态，就都是错装态了，其中不乏单单一个二交换之类的位置不可复原态！

总之，引入（8－1）！或（8－2）！之类的因子，令人费解啊！

[ 本帖最后由乌木于 2010-9-22 20:30 编辑 ]

作者: sathuwang 时间: 2010-9-22 20:46:19 标题: 回复 22# 的帖子

乌木高手，你不用花费那么多文字，请把你的算式放上去，或者把原公式推导一下给我看看即可。
谢谢你的关注！

作者: 乌木 时间: 2010-9-22 21:41:37

原帖由 sathuwang 于 2010-9-22 20:46 发表
你不用花费那么多文字，请把你的算式放上去，或者把原公式推导一下给我看看即可。

正是，正是。

三阶纯色魔方中心块不拆不变不动，拆下角块和棱块，再随机组装，相对于中心块而言的、仅仅角块和棱块位置的变化总数为 8！×12！；
除了位置变化，角块和棱块还有色向变化。所以，计算组装的总态数时，8!×12！还要乘以3[sup]8[/sup]和2[sup]12[/sup]，即 8!×12！×3[sup]8[/sup] ×2[sup]12[/sup] ，这是组装数，即1楼原式的分子部分。

现在要用转一个正确魔方的方法改变魔方状态并统计总态数，中心块仍不动，只需把上面获得的组装数修正一下即可：
×1/2－－排除组装态数中单单一个二交换（无论角块还是棱块）之类的位置错装态，得到位置正确态，两者各占一半，故除以2即可；
×1/3－－组装态的最后一个角块有三个色向，一对两错，即一个色向是转得出的，另两个色向是装得出但转不出，故除以3即得角块色向转出态数；
×1/2－－类似于处理角块色向的办法，除以2得到棱块色向转出态数。

三个修正因子就是1楼原式的分母部分。

不知我写清楚了没有？

作者: 乌木 时间: 2010-9-22 22:17:23

一个正确三阶魔方，用转魔方的方法，不可能单单交换两个块，无论角块还是棱块。
角块和棱块要合计查看的，分开查看的话，角块完全可以有一个二交换，棱块也完全可以有一个二交换，但必须两者同时出现于同一魔方态之中才是正确态。不少PLL公式就是很好的例子，角块一个二交换同时棱块也一个二交换，非常正常。
不可能的只是，角块有一个或奇数个二交换，棱块没有或有偶数个二交换，总计就是奇数个二交换。这就不可复原了。或者角块情况和棱块情况反过来，也不正确。

更确切的说法是，角块有奇数个位置偶循环，就是奇态；有偶数个位置偶循环，就是偶态。奇循环及其数目对态性无关。
棱块也是这样。
所谓位置偶循环就是偶数个块构成一个位置循环。

所谓“不可能单单交换两个块”实质是指，正确的状态不可能是奇态角块配偶态棱块，或奇态棱块配偶态角块，否则就是错装态，不可复原了。
而错装态和正确态两者数量相等，所以上面8！×12！/2 就是体现“不可能单单交换两个块”这句话。所以，另外引进（8－1）！，P[sub]8[/sub][sup]2[/sup]，等东西该如何解释呢？

[ 本帖最后由乌木于 2010-9-22 23:07 编辑 ]

作者: sathuwang 时间: 2010-9-23 05:44:46 标题: 对三阶魔方总变化数公式的再次修正

各位魔友：
经高人指点，对三阶魔方变化总数公式修正如下，如其他人还有什么看法，欢迎跟帖。
公式：
最终公式.jpg

3的（8-1）次方表示，三阶魔方角的换色情况。因为每个角都无法单独换色，所以是（8-1）次方；
2的（12-1）次方表示，三阶魔方棱的换色情况。因为每个棱都无法单独换色，所以是（12-1）次方；
（8-1）！是因为三阶魔方每两个角无法单独更换的情况；
（12-1）！是因为三阶魔方每两个棱无法单独更换的情况；
8/2表示，全部三阶魔方的棱都能互换时，那么，将有一半的角不能参与交换；
12/2表示，全部三阶魔方的角都能互换时，那么，将有一半的棱不能参与交换。

附件: 最终公式.jpg (2010-9-23 05:44:46, 13.12 KB) / 下载次数 27
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作者: 乌木 时间: 2010-9-23 09:15:19 标题: 回复 29# 的帖子

这样，虽然没有错，但思路怪。
比如第二式，可以这样来看你的思路：固定一个角块，其余7角的位置变化数为（8－1）！，再固定第二角，其余7角位置变化数为（8－1）！，依次固定第三、第四……第八个角，每次得到其余7角的位置变化数都是（8－1）！，8次共有8×（8－1）！个位置变化数。
（何不直截了当地：8个角块的位置变化数为8！）
得到8×（8－1）！之后，再分析棱块，你的思路是：类似刚才角块位置变化数的算法，但是，由于8×（8－1）！包含了角块的全部变化态，所以棱块的12×（12－1）！个态只有一半可以转出来，即（12/2）×（12－1）！。
（同样，何不直截了当地：12！/2）

作者: hubo5563 时间: 2010-9-23 18:36:02

原帖由 sathuwang 于 2010-9-23 05:44 发表
各位魔友：
经高人指点，对三阶魔方变化总数公式修正如下，如其他人还有什么看法，欢迎跟帖。
公式：
113169
3的（8-1）次方表示，三阶魔方角的换色情况。因为每个角都无法单独换色，所以是（8-1）次方；
2的（ ...

这个就是原来的值。说明原来的计算没有错。

作者: 机器贝尔 时间: 2010-9-23 19:49:13

原帖由乌木于 2010-9-22 18:13 发表

你是说角块的转出态总数为（8－2）！吗？不对。

“角块每两个不能单独互换”，这是指一个正确三阶魔方用转魔方的方法不可能单单交换两个角块，而随机组装角块时，则任何位置态都有可能，共有8！个组装态。相对于 ...

啊，我忘了排除棱块了。。。。。。不好意思，那就8-3吧，这样就可以了

作者: 乌木 时间: 2010-9-23 19:57:33

原帖由 机器贝尔 于 2010-9-23 19:49 发表

啊，我忘了排除棱块了。。。。。。不好意思，那就8-3吧，这样就可以了

楼主在29楼给出他最新的算式了，你的（8－3）将代替楼主的哪个式子的哪个因子？

作者: 机器贝尔 时间: 2010-9-23 20:10:05 标题: 回复 33# 的帖子

我不参与了。。。。。。感觉打击好大啊，乌木老师我错了

作者: 乌木 时间: 2010-9-23 21:18:52 标题: 回复 34# 的帖子

不必，不必。参与不参与自由。
以前人家介绍中岛的五魔方顶层PLL公式中有个符号大家不懂，记得是你破解的，帮了很多魔友的忙啊。可见，自己感兴趣的事物，总会有收获的。

[ 本帖最后由乌木于 2010-9-23 21:23 编辑 ]

作者: kexin_xiao 时间: 2010-9-24 22:06:40

原帖由乌木于 2010-9-23 21:18 发表
不必，不必。参与不参与自由。
以前人家介绍中岛的五魔方顶层PLL公式中有个符号大家不懂，记得是你破解的，帮了很多魔友的忙啊。可见，自己感兴趣的事物，总会有收获的。

乌木老师的脑子真好，佩服！
我也记得当时五魔方的公式，好像是图形的错误。

作者: 乌木 时间: 2010-9-24 23:20:20 标题: 回复 36# 的帖子

我记性不好，所以又找了一下有关帖子。也就是上面我说的“记得……”不确切，应是模糊记得，接着找帖子找了好一会才找到。
在http://bbs.mf8-china.com/viewthread ... =1&extra=#pid950312一帖中，他破解中岛五魔方顶层公式中的符号R+ 。
在找帖子时还找到另一个纠错事，就是你说的图形错，转向画反了，是“柴米油盐”纠正的，见http://bbs.mf8-china.com/viewthread ... tra=page%3D3&page=2 的18楼，或者见http://www.cube-china.com.cn/bbs/redirect.php?tid=33&goto=lastpost#lastpost的24楼。

***************************************

顺便再说一下，这个4.3×10[sup]19[/sup]还只是纯色三阶的变化数，对于六个中心块自转变化都是显性的全色三阶，此数还要乘以2048，详见pengw的帖子。

[ 本帖最后由乌木于 2010-10-9 11:21 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2010-9-26 16:20:10

不是高人不出此论,我早就说过,推导状态数的理论就是魔方变换理论,也就是说,计算状态的理论就是状态变换理论的所有,看一个人对状态数计算方法的解析就能充分评测其对魔方变换理解的水平.不过请那些总是把找最短路径视为变换理论的高人注意,不要再次混乱二种概念.

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-9-26 16:53 编辑 ]

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