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标题: 最小循环周期为总状态数的魔方 [打印本页]

作者: ggglgq 时间: 2008-1-12 11:49:56 标题: 最小循环周期为总状态数的魔方

今天在 ★ 理论篇 ★ 看到 pan528 先生的 《这些问题能用魔方理论表述吗？》 ，
使我联想到这个有趣的数学问题。

一、定理：若某一魔方（各类魔方）的总状态数为 M ，则该魔方的任一 (变换 A) 的
最小循环周期不大于 M 。

证明：设该魔方 (变换 A) 的最小循环周期为 n ，则

(变换 A)、(变换 A)2、(变换 A)3、......、(变换 A)n 为该魔方的 n 个不同状态！

由于该魔方的总状态数为 M ，

故 n ≤ M 。定理得证。

注：(变换 A) 为步长为 1 的变换或它们的任意组合变换。

二、最小循环周期为总状态数的魔方。

有趣的是，存在这样的魔方，它的总状态数为 M ，该魔方的任意 (变换 A ≠ 1) 的
最小循环周期都为 M 。

很有意思的正是：这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作）的最小循环周期都是最大值 M 。
大家考虑一下，此时 M 应满足的前提条件是什么？有多少这样的魔方呢？

请各位魔友考虑一下，挺简单的，相信大家能够找到正确答案！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:10 编辑 ]

作者: noski 时间: 2008-1-12 14:18:59

<>

原帖由 ggglgq 于 2008-1-12 11:49 发表

<> 二、最小循环周期为总状态数的魔方。
有趣的是，存在这样的魔方，它的总状态数为 M ，该魔方的任意 (变换 A ≠ 1) 的
最小循环周期都为 M 。
很有意思的正是：这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作）的最小循环周期都是最大值 M 。
大家考虑一下，此时 M 应满足的前提条件是什么？有多少这样的魔方呢？
请各位魔友考虑一下，挺简单的，相信大家能够找到正确答案！...

1. 首先我想，莫非是这些状态排成一个环形，怎么走都要绕一圈，遍历所有状态才能回到起点。
比如假设M＝6，那么我能找到一个“一步”的公式，做六次，遍历这6个状态，回到起点。这样“一步”公式的循环周期为6。
2. 可是这时，把两个“一步”公式看作一个“两步”公式，那这个公式只要循环三次就回到起点了，又不满足条件。
3. 进一步想，假如这状态是一个欧拉图，就是可遍历的（可一笔画出来），那么，把这一次遍历所有状态的操作看成一个公式，它的循环次数就是1了吧？上面又全部**了。。
4. 再假如它的状态不是一个欧拉图，那就是一笔不可遍历的，除非经过重复的状态（参考七桥问题），那么，必能找到小于M个状态构成一个环，周期也应该小于M吧。

矛盾。。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:13 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-1-12 17:04:05

第一个问题是不是可以用一句话证明：局部小于等于整体。

作者: 乌木 时间: 2008-1-12 17:32:07

第二题是否一个无转层的刚体(如色子、钢珠、沙子等等），总状态数为1，变化为0。“不表态也是一种表态”，所以，其……周期为1。

作者: ggglgq 时间: 2008-1-17 10:48:30

呵呵，noski 先生对“循环变换球面网”理解的不透呀。记得当初 noski 先生曾把
魔方态态网放到正六面体中考虑，正六面体表面边、角、面中心的性质均不一样，
所以魔方态态网不是正六面体构造；同样魔方态态网也不是其他正多面体构造，
对于空间对称体魔方来说，该魔方态态网只能构成 “球面网”。因为“球面”没有
所谓表面的边、角、面中心，因此只有“球面”才能保证“态态”平等！

注：这里的球面网是指高维空间的球面网，不是通常三维空间的球面网！

因此 noski 先生对“最小循环周期为总状态数的魔方”的理解就显得“复杂化”了。

乌木先生一直在致力于“循环变换球面网”的研究，应该说体会颇深，发表了很多
魔方态态网的研究成果，本人每贴必看。在此感谢乌木先生为魔方吧论坛所做的工作！

因此乌木先生对“最小循环周期为总状态数的魔方”的理解就显得“太简单化”了。

总之，“最小循环周期为总状态数的魔方”的问题，没那么“复杂”，也没那么“简单”！
呵呵，请大家再认真考虑一下吧！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:13 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-1-17 10:53:00

有兴趣的魔友可以参考 “遍历魔方的所有状态” 38 、39 楼，那里的问题较复杂，但
“最小循环周期为总状态数的魔方”很简单，因为“每一变换” 都可以“周游魔方所有状态”，
可谓是“闭上眼睛周游世界”，真惬意！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:15 编辑 ]

作者: noski 时间: 2008-1-17 11:14:10

要说三维空间的球面网，我自始至终都认为它是错的。至于高维的球面网，又难以直观的理解。可是在三维中出现矛盾，就归到高维去，这个推理的正确性也有待研究吧。<BR>不过要说到状态网，我的思路是它有点类似晶体中的晶格，也许看看金刚石的结构就知道我所想的了，当然金刚石和魔方是有很大不同的。金刚石结构中的碳原子，也是态态平等的，但不是球面。

[ 本帖最后由 noski 于 2008-1-17 11:19 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-1-17 11:53:51

引用: 原帖由 noski 于 2008-1-17 11:14 发表

不过要说到状态网，我的思路是它有点类似晶体中的晶格，也许看看金刚石的结构就知道我所想的了，当然金刚石和魔方是有很大不同的。金刚石结构中的碳原子，也是态态平等的，但不是球面。

呵呵，noski 先生理解的不对呀！

固然，金刚石内部结构中的碳原子是态态平等的，但对于最外层（表面）的“态”，就不平等！
金刚石表面边、角、面中心的性质互不一样，与内部（不是中心）、中心状态更不一样。

请 noski 先生注意：对于空间对称体魔方来说，该魔方态态网要保证“每个态都平等”！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:16 编辑 ]

作者: noski 时间: 2008-1-17 12:20:39

我当然知道每个态都要平等。。。当这个金刚石结构遍布整个空间时，就没有所谓的边缘了，这一点也许能用一个自封闭的空间来实现。好比拿出金刚石的一个晶格，碳原子有的在角上，有的在边上，有的在中间，但把这个晶格放到晶体中，则根据晶格的划分不同，每个原子都可以同时处在角、边、或中间，这就是等价的。

也可以想像一个大立方体，把上下、左右、前后分别通过空间扭曲连接起来，这样，从立方体内部来看，循环了吧。。

关于状态网很多我都只是想想而已，是对是错两说。。真正的理论要能拿来解决实际问题，不然就只是空中楼阁了。。

作者: ggglgq 时间: 2008-1-17 12:30:58

原帖由 noski 于 2008-1-17 12:20 发表
把上下、左右、前后分别通过空间扭曲连接起来，这样，从立方体内部来看，循环了吧。。

呵呵，魔方态态网要保证有限个状态中 “每个态都平等”，必然循环！

循环就是“圈”，“圈”在高维空间就是“球面”呀！ noski 先生理解了嘛？！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:17 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-1-17 12:41:21

为了使大家对“循环变换球面网”有一个正确的理解，下面让大家再看看：
2×2 平面魔方的“正八面体的循环变换球面网”：

2×2 平面魔方有 4 种操作 U 、 D 、 L 、 R 。 2×2 平面魔方的“循环变换球面网”
为“正八面体的循环变换球面网”（如图）。

请各位魔友注意，图中 A --> B 箭头表示：从 A 到 B 但还需要整体旋转后才能得到 B 。
图中不带箭头的可以互相转换；但带箭头的是不能互相转换的，转换后还需整体旋转。

我们不妨分别用 U 、 U+ 、 U2 、 U- 表示（D 、 L 、 R 操作同理）：
U 表示操作 U 后不需要再做整体旋转；
U+ 表示操作 U 后再做顺时针整体旋转；
U2 表示操作 U 后再做整体旋转 180 度；
U- 表示操作 U 后再做逆时针整体旋转。

话题好象扯远了，对于 “循环变换球面网” 的问题，大家可以在“循环变换理论” 中
讨论！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:18 编辑 ]

作者: noski 时间: 2008-1-17 12:59:45

原帖由 ggglgq 于 2008-1-17 12:30 发表
循环就是“圈”，“圈”在高维空间就是“球面”呀！...

g先生的思路果然非常人所能跟上的。。

作者: ggglgq 时间: 2008-1-25 11:03:05

“五角星魔方”只能在平面内旋转 “五角星魔方” 进行变换，不能拿出五角星所在平面
进行“翻转”，也不能随意调换“五角星魔方”颜色！即：只能按照图中的顺、逆时针旋转
72 度的倍数进行“五角星魔方” 变换。其中：初始状态为变换 P = 1 。

可以看出：“五角星魔方” 的任意变换 A ≠ 1 (A、A'、B、B') 的最小循环周期都为 5 。

例子多多，请大家再仔细考虑考虑，最终给出正确答案。

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:19 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-2-9 09:40:00

三阶魔方分别从初态得到六个状态：UU，DD，LL，RR，FF，BB 。请从初态出发，访问这六个状态一次，中间不得经过其它状态，最后回到初态。这是一个检验循环变换（本质上是相似变换）的最好实例。如果觉得难了，也可以将六个状态换成更简单的：U，D，L，R，F，B，再试试。这六个状态距初态都一样远，前一个只有2步，后一个只有1步。

 本人虽然不懂造飞机，但是，要求别人造的飞机飞上天试试，这不过份吧。这种证明谁都懂，甚至不认字的人。还好，在魔方上做测试比试射导弹便宜多了，不要跟我说钱不够，哈哈哈。
--------------
如果有答案，请用三阶的公式给出
如果认为题错了，请说明理由，给予更正>
-------------
废话少说，是驴子是马一溜便知。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-2-9 09:32 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-2-9 12:02:29

请 pengw 稍安勿躁！没有必要一贴多发！ “遍历循环变换”必须在“所有状态”范围内
进行！你的问题无解！

pengw ，再次提醒请你参考： 也谈“魔方态关系网”。

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=1002&extra=page%3D1&page=1<;/A>

如果你能真正弄懂烟头、乌木那的帖子内容，你最近这些天的“牢骚、攻击”可能就没了！
我想那时你再“平心静气”地好好学学“循环变换理论”，你会有很大收获的！希望今后看到的
不是“牢骚、攻击、漫骂”的 pengw ，而是“谦虚、负责、谨慎”的 pengw 。

希望你能认真领悟一下这个帖子，了解“循环变换球面网”的产生历程，绝不象你想象的
那么简单。亦希望我们能少些无聊争吵、对立，多些真诚探讨、合作，共谋魔方吧未来的健康
发展！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:21 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-2-29 12:03:05

这两天看见乌木先生为“各类魔方最大循环周期的公式”通过“该魔方最远状态”
忙碌着，可惜 “正六面体 N 阶魔方”都不争气！

“最大循环周期的公式”通过“该魔方最远状态”的“魔方”在这里（比如）：

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:22 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-2-29 12:06:12

因为这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作公式）的最小循环周期 都是最大值 M 。
所以这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作公式）的 循环公式 都通过“该魔方最远状态”！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:23 编辑 ]

作者: hw294 时间: 2008-4-9 11:51:44

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: hw294 时间: 2008-4-9 12:22:46

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: ggglgq 时间: 2008-4-9 14:50:53

回复 18# 的帖子 
好象 hw294 说的问题与主题“最小循环周期为总状态数的魔方”不太一致呀？！

原帖由 [I]ggglgq[/I] 于 2008-1-12 11:49 发表

二、最小循环周期为总状态数的魔方。
有趣的是，存在这样的魔方，它的总状态数为 M ，该魔方的任意 (变换 A ≠ 1) 的<BR>最小循环周期都为 M 。
很有意思的正是：这种魔方的每一变换 A ≠ 1（操作）的最小循环周期都是最大值 M 。
大家考虑一下，此时 M 应满足的前提条件是什么？有多少这样的魔方呢？
请各位魔友考虑一下，挺简单的，相信大家能够找到正确答案！

比如：六边形魔方存在“最小循环周期”为 2 的变换呀！请您仔细看清题意！
也可能 hw294 以为说的是“最大循环周期为总状态数的魔方”？

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-4-9 14:53 编辑 ]

作者: hw294 时间: 2008-4-11 16:59:15

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: ggglgq 时间: 2008-4-11 19:03:50

因为（最小循环周期为总状态数的魔方）的每一变换 A ≠ 1（操作）的最小循环周期
都是最大值 M ，因此（重复 M 次）每一变换（A ≠ 1）都可以“周游魔方所有状态”。

简称：“每一变换” 都可以“周游魔方所有状态” ！数学上是可以这样定义的！

作者: ggglgq 时间: 2008-4-11 19:06:16

原帖由 hw294 于 2008-4-11 16:59 发表

N只能是质数的一系列魔方。

不错，本题的拓扑结论就是“正 N 边形魔方”（ N 是质数）。

作者: pengw 时间: 2008-7-7 16:30:04

GGGLGQ大师的刚体做一次翻转，大家看到的肯定是金丝猴，不可能是人，对吗？哈哈哈

作者: earthengine 时间: 2008-8-17 21:14:26

以上其实是重新发现了群论里面的一个简单定理：

阶为N（N是素数）的循环群除单位元外所有元素的阶（即循环周期）为N。

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 08:39:46

原帖由 pengw 于 2008-8-17 22:22 发表

如果你能找到一个公式，可以不重复遍历完所有状态，将更能支持你的观点，否则看上去只是无根据的猜想。

正如 earthengine 所说，本主题是“群论”中一个极其简单的定理。

既然是“定理”，就不是“猜想”，还有必要“找到一个公式”“支持”吗？

呵呵，如果 pengw 能真正弄懂“群论”，你就不会提出这么幼稚的

问题了！

希望 pengw 平心静气地好好学学“循环变换理论”，你会有收获的！

希望今后看到的不是牢骚、攻击、漫骂的 pengw ，而是谦虚、负责、谨慎

的 pengw 。

希望 pengw 能认真领悟“循环变换理论”，了解“循环变换球面网”的

产生过程，不像你想象的那么简单。亦希望我们能少一些无聊争吵、对立，

多一些真诚探讨、合作，共谋魔方吧未来的健康发展！

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:24 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 08:51:03

原帖由 earthengine 于 2008-8-17 21:14 发表
以上其实是重新发现了群论里面的一个简单定理：阶为N（N是素数）的循环群除单位元外所有元素的阶（即循环周期）为N。

earthengine 说的不错。看得出来， earthengine 的“群论”造诣颇深！
老夫之所以用“循环周期”代替“阶”（“群论”中的“阶”），是怕广大
魔友同三维空间 m×n×p 阶魔方等“阶”的概念混淆！

作者: ggglgq 时间: 2008-8-19 08:52:19

原帖由乌木于也谈所谓“最小循环周期为总状态数的魔方” 7 楼发表

做了1980遍公式G之后，继续再做1980遍G，再做第三轮1980遍G，…………这样下去，只要不改G，就一定始终在那一大堆态中周游，不可能越雷池一步，怎么会历遍P= 8.85801*1022 个态呢？所以P/M也好，P/T也罢，该怎么理解这除式的含义呢？

乌木先生在魔方理论方面所言多数还是比较严谨的。但在很多地方由于乌木

先生数学能力所限，无法正确理解魔方理论更深层的含义！

比如乌木先生以上言论存在某些问题，充分说明乌木先生数学能力欠缺！

为什么非要受无关“遍历”的“所谓最大循环周期”等概念的约束呢？

因为“魔方所有状态”的“遍历公式”，一般是“循环周期”为 1 的公式，

请大家参考：

1、 D R D+ D L- R 是 2×2 平面魔方的一个遍历循环变换！

[注：D+、L- 不是 D、L 的逆]

2、 U R- R U+ U R L R 为 0123 魔方的一个遍历循环变换！

[注：R-、U+ 不是 R、U 的逆]

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-3-13 09:25 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-8-19 09:24:41 标题: 回复 29# 的帖子

是的，我有太多的事物不懂。g老师的意思是否三阶纯色魔方的遍历公式的长度为4.3×10^19步（如果没有重复的话）？或者，三阶纯色魔方不存在遍历公式？是否所有魔方都有其遍历公式？

<HR>

正六面体魔方应该都存在遍历公式！只是现在无法证明 ggglgq 回复<BR>

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2008-8-19 10:20 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-8-20 15:02:25

原帖由 ggglgq 于 2008-8-19 08:51 发表

earthengine 说的不错。  看得出来， earthengine 的“群论”造诣颇深！n ...

我得承认，我还差得相当远。有些定理放在那里，在魔方上要是能应用那是很好的，但是不知道怎么应用。甚至一点头绪没有。比方说，群论说要是群的阶数（这个阶数是群元素的数目）可以被P^N整除（其中P是偶数），那么就有一个阶为P^N的子群（西罗定理）。对于魔方，我根本想不出来那个P=2的子群应该长个什么样子。

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