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标题: 3阶纯色魔方置换群的不同共轭类（Conjugacy class）有多少个？ [打印本页]

作者: superflip 时间: 2010-4-5 16:31:00 标题: 3阶纯色魔方置换群的不同共轭类（Conjugacy class）有多少个？

在http://www.speedsolving.com/forum/showthread.php?t=19581看的。

原文标题：Enumerating the Conjugacy Classes of the Rubik's Cube Permutation Group

答案：81120 ？看不太懂，请各位解释一下计算思路~

问的是置换群的共轭类的个数？

[ 本帖最后由 superflip 于 2010-4-5 17:11 编辑 ]

作者: 魏森 时间: 2010-4-5 16:35:50

，楼主说的是什么意思，不明白啊

作者: pengw 时间: 2010-4-5 16:44:09

公式f'+F+f是公式F的共扼类，你可以偿式去算算，我想，公式是算不清的，但状态应该是可以算清楚的

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-5 16:49 编辑 ]

作者: superflip 时间: 2010-4-5 16:48:40 标题: 回复 3# 的帖子

共扼类定义不用你解释了，能否解释下计算思路或过程。

作者: pengw 时间: 2010-4-5 16:52:02

抱歉，我没有时间重复发贴，你大概应该能够在这里找到相关的贴子

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-4-5 16:56:13

回楼主，共轭类是相对于某个状态的。。比如还原态，整个共轭类就它自己一个。

作者: superflip 时间: 2010-4-5 17:10:21

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2010-4-5 16:56 发表
回楼主，共轭类是相对于某个状态的。。比如还原态，整个共轭类就它自己一个。

修改了下，你再帮忙看看怎么算的~

是问群的不同共轭类有多少个？

作者: aubell 时间: 2010-4-5 19:46:32

说一下我的计算思路：
1.按照盲拧的方法，可以知道：
  只剩下一组角的三循环时，无论是怎样的三个角，都可以
  通过“步入--某三循环公式--步出”这样的方法来还原。
  也就是用某三循环公式的共轭。
所以，可以认为所有的角的三循环公式产生的状态都是共轭的。

2.在盲拧编码的时候，有时只需要一个编码环，有时有多个环。
  角编码的形态种类数就是8的整数分拆：
  8的分拆有22种。
棱的编码链形态对应于12的分拆，77种。

3. 22*77=1694 种编码链形态。

至于编码链的形态同共轭类之间的关系，怎样对应，还在考虑中。
欢迎指正。

这个考虑是不全面的：
因为，如果角是有孤Parity的，棱也必须要有孤Parity；
如果角没有孤parity，棱也必须没有孤parity。

继续改进中... ...

[ 本帖最后由 aubell 于 2010-4-5 19:57 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2010-4-5 23:05:22 标题: 回复 8# 的帖子

“3. 22*77=1694 种编码链形态。”
这一点是否有误？你在另一帖（http://bbs.mf8-china.com/redirect.p ... o=lastpost#lastpost）中，22种8的分拆，有的标有P。77种之中你没有标P，其中有的应该也可以标P的。那么，标P的8之拆分只能和也标有P的12的拆分组合；无P的和无P的组合。对吗？如果我理解对的，那么，就不能“22×77”了。对吧？

还有，“如果角是有孤Parity的，棱也必须要有孤Parity；如果角没有孤parity，棱也必须没有孤parity。”这有个前提：中心块组不动，当作角块、棱块位置变化的参照物。否则，（比如）角块保持复原态；棱块有一个二交换，其余10个棱块保持复原态。这样的角块和这样的棱块可以共处一个魔方的。只是中心块组要有变化。

[ 本帖最后由乌木于 2010-4-5 23:14 编辑 ]

作者: aubell 时间: 2010-4-6 00:04:58 标题: 回复 9# 的帖子

正如乌木老师所说。实际的形态远小于22*77。
ax+by < (a+b)(x+y)。
具体是多少我还要慢慢算。
77个分拆要标好久呢！

作者: 乌木 时间: 2010-4-6 11:27:21 标题: 回复 10# 的帖子

反正我闲着，到那帖中去帮你把77种拆分方式标一下P。

作者: pengw 时间: 2010-4-6 11:39:54

去拆分状态时请注意，每一组共所谓的共扼，都关联一个公式F或fFf'，使得共扼组有相同的公式循环同期，否则就不叫共扼，以前早就讨论过，记不住那个贴子了

作者: aubell 时间: 2010-4-6 12:10:55 标题: 回复 11# 的帖子

太感谢乌木老师了！

作者: aubell 时间: 2010-4-6 17:36:45

估计81120可能也有问题，可能不一定是正确的。

作者: yq_118 时间: 2010-4-9 11:45:28

明显还要靠虑方向。

作者: superflip 时间: 2010-4-15 23:19:06

回楼上，看来人工计算没戏啊？版主说以前讨论过，可惜没搜到相关帖子，也许是名字说法不同。

题外话：版主今天修改了版名及介绍，很恰当明确。

作者: pengw 时间: 2010-4-16 07:41:30

最早只有一个"理论区"版块,后来一分为三,我所负责的版区以讨论N阶正方体魔方变换规则及相关课题为主,为免魔友误解,特建议管理员改变成现在的名称与说明.

事实上,主流魔方都是正方体魔方,严格地讲,本版讨论的魔方应该叫正方体色子阵魔方,即由一个个正方体色子垒成的正方体色子阵构成,这个模型最早由邱志红版主提出 , 其它貌似正方体的魔方不是照鲁毕克魔方的方式变换.

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各向一致性,是正方体色子阵魔方复杂性为所有魔方之首的主要原因.

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N阶魔方变换理论是魔方最基本的理论，影响魔方所有变换，包括最短路径求取。除了最远状态和小短路径求解外，N阶正方体魔方已无秘密可言，有人问我，五年来怎么没有见我改进N阶定律，我的回答是，已经没有什么变换是N阶定律不能预言的，原内容结构相当完整，后来原因不明地被搞乱的，新稿在草拟中，最短路径最远状态跟变换规则没有直接关系，正如地图上并不声明那任意二点的最短距离，这是自已去找的问题，但是，找的过程中，必然受制于地图本身。

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-16 07:43 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2010-4-16 07:53:26

关于楼主的问题，我提个醒，从公式角度很难取得答案，只能从状态的拓扑结构上找，每一种拓扑对应一个共扼（F），每一个共扼对应若干结构相似的状态（f'Ff)，这些状态对应的公式循环周期必然相同。曾有人从拓扑角度计算状态数，事实上与楼主要求异曲同工

[ 本帖最后由 pengw 于 2010-4-16 08:21 编辑 ]

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