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标题: 【東方】求高人解答！魔方某一面可以存在多少状态？ [打印本页]

作者: haohmaru 时间: 2009-9-27 17:44:41 标题: 【東方】求高人解答！魔方某一面可以存在多少状态？

我的“某一面”是这么定义的：
魔方六个面：FBRLUD
F面上的颜色就叫F，其他同理

经过打乱之后，F面已经花了
这个面的颜色分布是：
F、D、F
L、F、U
L、B、L

那么这个“F面”总共可以出现多少种状态呢？

肯定要比魔方状态数少的，在B面做OLL或者PLL，魔方状态改变
但是F面颜色分布并没有改变

如果能计算出来的话，算法是怎样的呢？？

期待高人解答。。。。。。。。。

[ 本帖最后由 haohmaru 于 2009-11-3 11:50 编辑 ]

作者: haohmaru 时间: 2009-9-27 17:47:09

突然想到一个思路：
设定F层不转动的情况下，存在的魔方状态数为a
b=21+1（pll状态数+还原态）
魔方全部的状态数除以a*b
应该就是我需要的结果了吧。。。。。

作者: wwd_meng 时间: 2009-9-27 17:50:47

看不懂，想不通，更加无从下手
so我也不知道了
反正我也不是高手

作者: vincentlamar 时间: 2009-9-27 18:10:39

应该不是21+1，21只是PLL公式的个数。

作者: sbiqje 时间: 2009-9-27 18:12:51

高手啊，都要深入了解魔方了，哎，这些我一点不懂。

作者: aben306 时间: 2009-9-27 18:13:17

楼主是数学方面的奇才哦.....

作者: vincentlamar 时间: 2009-9-27 18:14:35

思路：如果F层确定的话，魔方共有(8!*2^8*4!*3^4)/12种状态。
然后把F面的情况可能的F层列举出来，列举的个数乘以上面那个数就OK了……

作者: vincentlamar 时间: 2009-9-27 18:15:43

占楼算数，紧接楼上……

已知F面构造：
F、D、F
L、F、U
L、B、L

先考虑角块，两个F如果正好是FLU FLD 那么两个L也确定了，算入两F交换、两L交换是4种。
如果只有一个是FLU FLD中的一个，那么有(2*2*2)*(3*2)=48种
如果两个F角都不包括L色，那么有2*4*3=24种。
因此角块的构成有76种情况。

棱块先考虑D和U，因为D和U是相对面。
如果这两个块是DL和UL，那么L可能是LF或LB，那么B分别有4种和3种选择。(7)
如果这两个块是DB和UB，同理，又7种
如果这两个块是DL和UB，那么L可能是LF、LB或LU，此时B分别有3种、2种和3种。(8)
如果是DB和UL，同理，8种。
如果是DL配UF或UR，此时L有3种选择，B有4种选择，但不能同为LB。2*(3*4-1)=22
DB配UF或UR同理。
UL配DF或DR同理。
UB配DF或DR同理。
其余情况：DF或DR配UF或UR，那么L、B各有4种选择但不能同为LB。4*（4*4-1）=60
综上，棱共有7+7+8+8+22*4+60=178种。
因此F层有共76*178种情况。

那么总状态数就是76*178再乘上楼上那个数……

[ 本帖最后由 vincentlamar 于 2009-9-27 18:30 编辑 ]

作者: vincentlamar 时间: 2009-9-27 18:34:18

哪位数学高人帮我检查一下，看看有没有问题

作者: jxf1991 时间: 2009-9-27 18:36:33

或许是我的理解有问题，为啥我觉得结果就是6 ^8呢？
除了中间的F，其他八个位置都可以选择六种颜色的任意一个。

作者: 小波 时间: 2009-9-27 19:52:18

其实就是找个好方法，繁琐的方法还是比较简单的，思考中……

作者: 乌木 时间: 2009-9-27 20:00:48

是不是这样考虑：
约定中心块没有变化（否则结果再乘以4），再约定另外两层可以根据魔方变化规律自动调整得使整个魔方状态“合法”，以便配合F层的变化。
8个角块调动到四个位置上的位置变化数为8×7×6×5；每一位置上的角块可以有3种色向，共有3^4种色向变化数。故F面角块状态数为8×7×6×5×3^4。
同理得到F面棱块状态数为12×11×10×9×2^4。
所以F面的状态数为（8×7×6×5×3^4）×（12×11×10×9×2^4）≈2.59×10[sup]10[/sup] 。

[ 本帖最后由乌木于 2009-9-27 20:12 编辑 ]

作者: haohmaru 时间: 2009-9-27 20:11:49

原帖由乌木于 2009-9-27 20:00 发表
是不是这样考虑：
约定中心块没有变化（否则结果再乘以4），再约定另外两层可以根据魔方变化规律自动调整得使整个魔方状态“合法”，以便配合F层的变化。
8个角块调动到四个位置上的位置变化数为8×7×6×5；每一位 ...

这样算的话有没有包含F层的pll情况呢？

作者: pengw 时间: 2009-9-27 20:18:02

算法：
顶层八块无色向变换数A=(4!*4!*4/8)*2
顶层八块有色向变换数B=A*2^3*3^3
顶层块组合数C=C（8,4）*C(12,4)

顶面可能的花色数=A*B*C
-------------------------------------------
这里计算隐含纯色问题，如一面全是红色，对应不可见的A种变换。如何将这种不可见的变换取出来，这是计算难点，如果魔方上每一个块的每一面互不相同，则这个问题不存在，这里的计算结果对应这种假定。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-9-27 20:19 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-9-27 20:27:41 标题: 回复 13# 的帖子

包括且不止的吧？PLL的大前提是下两层已经复原，顶面已经同色。现在你的条件并无这个制约。反过来理解：比如，三阶魔方复原态，底层交换两个棱块，顶面可以（例如）也交换两个棱块，好，PLL中无法单单交换两个棱块的。也没有同时交换顶底各有两个棱块的PLL公式。如果转换一下再用PLL式，则是另一回事了－－顶面的原状也变了，且本题并非要复原什么的，只是问状态数。
在你的题目中，F面完全可以有单单两个棱块交换一下的情况，反正别处自动会有（例如）两个棱块也交换就是了（因为不是拆了重装，而是转魔方的方法改变状态）。至于这个F面无法用PLL，对统计状态数又有何干？
比如下例的F层在“F层的PLL”中是没有的，并不妨碍它挤进F层的状态数统计。
[java3=250,250]
  [param=scrptLanguage]SupersetENG[/param]
  [param=scrpt] [/param]
  [param=stickersRight]1,1,1,4,1,4,1,1,1[/param]
  [param=stickersDown]2,2,2,2,2,2,2,2,2[/param]
  [param=stickersLeft]4,4,4,1,4,1,4,4,4[/param]
[/java3]

上面我计算的某一层的状态数2.59×10[sup]10[/sup]是指一层，如果问一个面的状态数，应该要少很多，例如上面这个java图的F面和复原态的F面，要合并为同一“面态”。至于一个打乱后的“花脸”，和它做了一下F，F'或F2之后的一共四种状态是否要合并，恐怕只需事先说明一下即可。

[ 本帖最后由乌木于 2009-9-28 14:08 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-9-28 14:40:02 标题: 看看“大墙后面”

这一层的状态数（8×7×6×5）×3^4×（12×11×10×9）×2^4 其实就是三阶纯色魔方总态数的一部分－－每个“层态”后面的两层，都有一大帮子不同的角块、棱块状态：
4个角块在4个角位的位置变化数为4！
8个棱块在8个棱位的位置变化数为8！
但是两者的乘积要考虑不存在单单交换两个块的限制，即（4！×8！）/ 2，才是“大墙后面”角块、棱块的位置变化数。
后两层的角块色向变化数和棱块色向变化数也要考虑不存在单单一个翻色的限制，即3^3×2^7 。
所以，后两层的变化数为（4！×8！）×3^3×2^7 / 2 。
好，某一层的状态数乘以后两层的状态数应该就是魔方的总态数：
〔（8×7×6×5）×3^4×（12×11×10×9）×2^4 〕×〔（4！×8！）×3^3×2^7 / 2 〕
整理后，就是8！×3^7×12！×2^11 / 2 ≈ 4.3×10^19 。
这可以作为一种验算2.59×10^10 的方法吧？

作者: Cielo 时间: 2009-9-28 23:41:17

原帖由 jxf1991 于 2009-9-27 18:36 发表
或许是我的理解有问题，为啥我觉得结果就是6 ^8呢？
除了中间的F，其他八个位置都可以选择六种颜色的任意一个。

我也这么觉得

——————————————————————————————
又想了一下，发现也许要排除掉那些旋转之后是同一种状态的……

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-9-28 23:42 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2009-9-29 07:24:30

难到其它块就不能跑到顶层去玩玩?这个因素可以不考虑?

作者: pengw 时间: 2009-9-29 07:48:02

任取四角组合:A=C(8,4)
任取四棱组合:B=C(12,4)
棱角所有可能的组合:C=C(8,4)*C(12,4)
棱角心任意一种组合可以变出状态：D=(4！*4！*4)*2^4*3^4
顶层总状态D=C*D
--------------------
这样的计算意味着标准的三阶着色带来的纯色问题扩展到棱角块,例如,一面全红,的前提下,"红"下的块仍然可以置换而用"红"无示表现出来.因此要满足以上计算,所有块的所有面标识应互不相同.这样的计算用公式是无法完成的.

多数公式如同无头苍蝇,只有落到什么地方你才知道自已到达什么地方,你只有用另外的方法为它装一只眼睛,公式才有用.简单地讲,谁能用公式计算出三阶状态数?所以不要迷信公式,更不要做公式的性奴,飞机再好也要人来告诉它飞往何处,很多人以为离了公式就无法生存,什么问题都乞求公式,简单的问题弄得无比复杂直至脑溢血还不知所云,却没有想到转身就是答案,希望这些语言能解放出更多的公式性奴.

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-9-29 08:13 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-9-29 10:16:05 标题: 回复 17# 的帖子

看来，你俩说的是F面（不是F层）的变化数咯？
如果是这样的，那么，我上面说了，F面旋转后重复的“面态”是否合并，只需事先说明一下即可。

此外，此题至少给自己设计花样的人一个概念：单单看一个面的话，该面花样的可能数多达6^8＝1679616种，足够他挑选的了。

[ 本帖最后由乌木于 2009-9-29 10:29 编辑 ]

作者: haohmaru 时间: 2009-9-29 16:49:46

原帖由乌木于 2009-9-29 10:16 发表
看来，你俩说的是F面（不是F层）的变化数咯？
如果是这样的，那么，我上面说了，F面旋转后重复的“面态”是否合并，只需事先说明一下即可。

此外，此题至少给自己设计花样的人一个概念：单单看一个面的话，该面花 ...

F层旋转后应该算一种的
毕竟F可以看成b'

作者: 乌木 时间: 2009-9-29 17:50:49

原帖由 haohmaru 于 2009-9-29 16:49 发表
F层旋转后应该算一种的
毕竟F可以看成b'

用转魔方的方法，变换F面的“面态”，这“面态”是否有变，总要有个参照物才好说。最好仍用六个中心块为参照，只不过不管F层的四条侧边如何，只看F面相对于六个中心块如何，判断是否新花样而已。
其中，任一“F面态”分别转F、F'或F2所得到的共四个面态，要不要合并为一态，是否看工作需要而定？恐怕不能一概而论“应该算作一种的”吧？
一个魔方分别经动作F和动作b所得到的两个状态，相对于六个中心块而言，第二个必须再做CF，让参照物中心块状态统一之后，无疑，1图和3图是同态；但是相对于周围环境而言，两个态是什么样就什么样，谁也不得另加动作，哪怕整体运动也不可以，所以，1图和2图决非同态。也就是说，任一个魔方态，相对于周围环境而言，规整的的状态可以经过整体运动变换出24种不同的态。相当于用一个照相机，从六个方向给同一魔方态拍照，每一方向旋转着拍四张相片，还要约定每一相片拍到魔方的三个面，就像下面的图片那样。共得24张相片，各不一样。这24张相片相对于六个中心块而言，是同一态；相对于周围环境而言是24种态。
同态不同态问题.JPG

总之，楼主的题目蛮有意思，不过，是否得把有关条件再明确明确，或者，各位作答时要明确有关条件。

[ 本帖最后由乌木于 2009-9-29 18:45 编辑 ]

附件: 同态不同态问题.JPG (2009-9-29 17:50:49, 15.95 KB) / 下载次数 15
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作者: pengw 时间: 2009-9-29 21:29:13

我靠,还没反应过来

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