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标题: 谁愿意偿试设计一个不存在消除24同态的状态数计算方法？ [打印本页]

作者: pengw 时间: 2009-8-24 07:25:16 标题: 谁愿意偿试设计一个不存在消除24同态的状态数计算方法？

谁愿意偿试设计一个不存在消除24同态的状态数计算方法？请说明计算原理

作者: pengw 时间: 2009-8-24 07:38:14

这个问题应该很容易做到

作者: pengw 时间: 2009-8-24 07:46:05

我偿试做了二阶,仍然是基于N阶定律的算法。
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无同态算法：(7!/2)*3^6*2
有同态算法：(8!/2)*3^7*2/24

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有谁愿意说明上面二者的本质区别,有谁愿意给出三阶四阶无同态计算方法

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-8-24 07:58 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-8-24 09:54:53

解读3楼的
“无同态算法：(7!/2)*3^6*2
有同态算法：(8!/2)*3^7*2/24 ”

第一式 (7!/2)*3^6*2。
固定一个角块的位置及其色向，其余7个角块用转魔方的方法（即不是拆了再随机组装），可能转出的不同的位置数为7！。其中7！/2属于“有奇数个位置偶循环”性质，另一半7！/2“有偶数个位置偶循环”，两者都是可转出的，故计算总态数时要乘以2：（7！/2）×2。
在用转魔方的方法改变角块的色向时，8个角块的色向和必须为零，第一个参照物角块色向固定了，其色向变化对于总态数的贡献因子为“×1”；最后一个角块的色向要看头7个角块的色向和如何而定－－只能是它的三种色向之中的一种，它的色向变化对总态数贡献因子也是1；其余6个角块的色向变化就不受限制，每一个都可以有3种色向变化，故8个角块色向变化引起的总态数因子为1×3^6×1＝3^6 。

未完…………

[ 本帖最后由乌木于 2009-8-24 09:57 编辑 ]

作者: jxf1991 时间: 2009-8-24 10:19:08

我还是不明白7！/2中的/2为何存在。。能否请各位大师给解释一下？

我个人的理解：对于一个二阶魔方，可以让任意两块单独换位，所以对于块的位置而言，任何一块在任何一个位置都是可能的。所以如果固定一块的位置，那么块的位置的状态数就是7！，如果不固定任何一块的位置，那么块的位置的状态数就是8!

另：忍大师似乎在每日一题？呵呵。。

[ 本帖最后由 jxf1991 于 2009-8-24 10:25 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-8-24 10:49:32

第二式 (8!/2)*3^7*2/24 。
转魔方时不去固定哪个块不动，但不妨记住复原态的24种取向之一作为参照物。8个角块的位置变化数为8！，一半是（相对于上述参照物而言）有奇数个位置偶循环的，另一半有偶数个位置偶循环，两者都正常，计算总态数时要加倍：（8！/ 2）×2 。
这样的转出态同样要色向和为零，头7个角块的色向变化数为3^7，最后一个角块的色向只能有一种选择－－要么0，要么1，要么2（借用盲拧法的色向代码），究竟选什么色向，要看头7个角块的色向和是多少，只要使8个角块的色向和为零即可。最后一个角块的色向变化对总态数的贡献因子为1。看一个转出态的一个角块的色向时也用上述复原态为参照。
暂时获得总态数（8！/ 2）×2 ×3^7 之后，需要时，可以“找一找”，把每24个态合并统计为一个态，这24态仅仅是同一个打乱态靠魔方的整体运动所得的不同取向。故：
（8！/ 2）×2×3^7 / 24 。

作者: 乌木 时间: 2009-8-24 10:59:13 标题: 回复 5# 的帖子

同意你的话。我的解读是为了试试符合楼主的式子，即他的思路，不然，我计算起来的话，也是不去除以2再乘以2的。
估计到阶数高的魔方时，用楼主的思路，分别计算后再乘以“扰动关系数”，来得方便（？）。

作者: jxf1991 时间: 2009-8-24 11:00:30

呃。。不知道我现在的理解对不对：

7!和8！都是包括奇数个位置偶循环和偶数个位置偶循环两种情况，且两种情况状态数相同，对于二阶魔方来说，两种情况都是可能存在的，那么7！/2和8！/2代表美中情况的状态数，*2代表两种情况都是可能的。。

不过由于个人基础比较差。。不明白奇数个位置偶循环和偶数个位置偶循环的意义，是否可以这样理解：三阶魔方可还原的状态都是偶数个位置偶循环，不可还原的状态都是奇数个位置偶循环？

是否对于除2阶以上所有魔方，奇数个位置偶循环的状态都是不可还原的？

谢谢！

作者: pengw 时间: 2009-8-24 11:50:55

乌木解读极其正确，如果是四阶，被固定的块就可能就不仅限于角块，如果是C簇或B簇的块，该如何计算？有谁愿意偿试一下。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-8-24 12:05 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-8-24 11:55:02 标题: 回复 8# 的帖子

同一性质的块（指角块和角块，同性质棱块和同性质棱块等，有人叫“簇”）内部有奇数个位置偶循环的话，不能笼统说不可复原，而是单单在簇内（即不影响别的簇）用转魔方的方法无法位置复原。若拉进别的簇，就可以复原－－PLL中很多例子。
此外，簇内有无、有多少位置奇循环，都可以限于簇内复原，不影响别的簇。
顺便，你可以查查，PLL公式中凡是涉及角块要奇数个偶循环并棱块也要奇数个偶循环的，步数都是奇数次表层转90。180°算两次90°，中层转算有关的两个表层转。原因就是，表层每转一次90°，角块簇、棱块簇的位置偶循环数的奇偶性就切换一下。那种PLL公式的初态中，角块和棱块的偶循环数都是奇数；复原态的偶循环数为0，算偶性。所以那种PLL公式的总步数当然就是奇数了。

[ 本帖最后由乌木于 2009-8-24 12:14 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2009-8-24 12:10:31

回5楼：
你的疑问归结起来，应该是如何理解魔方变换，事实上，在同一扰动关系下，魔方任意簇只能转出自身一半的状态，特定阶魔方上的扰动关系数是固定的，所以，计算出同一扰动关系下的状态数再X上扰动关系数，就是魔方状态数，这是基于N阶定律的算法。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-8-24 12:28 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2009-8-24 12:20:41

因此，算法的构成由以下因素决定：

1。阶数
2。参照系选择
3。满足N阶定律约束，不管是外部还内部参照系
5。奇阶选择外部参照系无意义，偶阶则有24同态问题
6。偶阶选内部参照系将没有24同态问题，但是，由于选择不同的内参照，将有无数种可选的计算方法。

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外部参照系的好处在于整合一个统一计算方法，但存在24同态。内部参照系无24同态问题，但计算套路太多。如果讨厌24同态，你尽管选用内部参照系行了。

[ 本帖最后由 pengw 于 2009-8-24 12:27 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-8-24 17:55:35 标题: 回复 9# 的帖子

唉，其实，我是似懂非懂。最多只会对别人现成的算式解读解读，其中不无“凑答案”的嫌疑，自己心里是底气不足的。说到四阶，也是只会对通常见到的那个算式解释解释。如果要改用别的什么什么块作参照物来展开计算，听了就有点怕。
再等等，期待着从各位的发言中吸取营养。

[ 本帖最后由乌木于 2009-8-24 22:17 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2009-8-24 23:49:04

乌木长辈谦虚，当然不妨统一用角块做参照，因为任意阶都有角块

作者: 乌木 时间: 2009-8-25 09:11:07 标题: 回复 14# 的帖子

不是谦虚，是实情。比如，人家有个四阶总态数的算式，我能够跟着如此这般地解释一通。但是心里一直有疑问，这里不妨说说，这也是我不敢算四阶的原因。
算式中每一项、每一因子都要有解释；要解释，先要知道魔方各种块的变化规律。比如三阶中角块、棱块的位置变化数，用转魔方的方法，为（8！×12！）/ 2，这除以2就是排除角块（或棱块）相对于中心块而言转不出单单只有奇数个位置偶循环的情况。
四阶中，单个的棱块共有24个，它们的位置变化数为24！，不要除以2什么的，因为四阶允许单单两个单个的棱块交换位置，就无须也不能像三阶那样排除单单二交换的情况。
四阶的单个心块共有24个，它们的位置变化数（校正纯色问题之前）也是24！，人家的算式中也不除以2。对此，我就不懂了－－是不是四阶的心块也允许单单两个单个心块交换？好像用转魔方的方法是办不到的，对吗？也许只是我不会，不等于四阶心块不能两交换，对吗？
总之，四阶能不能单单交换两个心块？各位指点为要。
这一点疑问不解决，是无法算四阶总态数的。
（还有更饶人的问题。我一直以来认为，全色四阶中，角块交换了两块的同时，心块也一定发生了奇数个偶循环。反过来，应该是心块交换了两个的同时，角块也一定有两交换性质的变化，对吗？在纯色四阶时，心块的交换有时看不出，此时是不是就可以把角块的位置变化数和棱块的变化数一样看待？即，棱块可以单单两交换，其变化数为24！，不要除以2；角块虽然不能单单两交换，却由于在纯色时心块有时不显示其变化而让角块也享受不除以2的待遇－－角块位置的变化数为8！，这可以吗？换到全色四阶时是否要除以2了－－全色四阶角块位置变化数为8！/2 ？好像没看到有这样计算的（？）。
看来，这是否就是不用扰动关系算态数出现的困惑？
我真想知难而退了。）

[ 本帖最后由乌木于 2009-8-25 12:26 编辑 ]

作者: jxf1991 时间: 2009-8-25 11:39:25

我继续更正我的理解：似乎奇数个位置偶循环和偶数个位置偶循环是指对于同一簇内的循环？

作者: 乌木 时间: 2009-8-25 11:54:10

原帖由 jxf1991 于 2009-8-25 11:39 发表
我继续更正我的理解：似乎奇数个位置偶循环和偶数个位置偶循环是指对于同一簇内的循环？

不同簇的块虽然同处一个魔方中，却是鸡犬之声相闻，老死不相往来。所以，位置上的循环不可能跨簇发生。角块簇，棱块簇，都可以查看其位置成环情况。三阶魔方中，角块转出了奇数个偶循环的话，棱块也一定有奇数个偶循环，反过来也一样。此时，要想保持一个簇仍然有奇数个偶循环，另一簇“内部消化”解决本簇的位置复原问题，用转魔方的方法是不可能的。

作者: jxf1991 时间: 2009-8-25 12:47:33

我感觉我似乎理解了。。。

两个角块单独换位是奇数个位置偶循环
三个角块循环就是偶数个位置偶循环

两个角块换位，两个棱块换位是角块簇奇数个位置偶循环和棱块簇奇数个位置偶循环，但两者可以看做整个魔方的偶数个位置偶循环？（不知道这个说法对不对）

然后我的新的疑问。。奇数个位置偶循环中的位置是指什么？

作者: 乌木 时间: 2009-8-25 15:11:11 标题: 回复 18# 的帖子

“奇数个位置偶循环中的位置是指什么？”角块的位置变化相对于保持原状的中心块组而言，即相对于角块的复原态而言。棱块的位置变化也是这样比较。一个三阶魔方再怎么打乱，好在中心块组永远不乱（魔方整体运动一下后中心块组就复原了），所以还能查看角块和棱块的变化。
那么，拿到一个打乱的三阶魔方时，谁知道它的中心块组最初是何方向？这就有24种选择了，各人喜好不同，一旦选定，你就按照确定的参照物－－中心块组及其方向进行查看角块、棱块的成环情况、色向变化情况等等。半途不能变更参照。
同一个打乱态，选用的中心块组方向可以不同，具体的角块、棱块成环情况（指具体的编码什么的）也就随着不同，但是成环的性质不变，也就是魔方整体运动时，魔方的混乱情况不变。

至于你说“两个角块换位，两个棱块换位是角块簇奇数个位置偶循环和棱块簇奇数个位置偶循环，但两者可以看做整个魔方的偶数个位置偶循环？（不知道这个说法对不对）”，在三阶中，只要不引起什么误会，我看这样说一般没什么错，只是分不清是角块有偶数个并棱块也有偶数个；还是角块有奇数个并棱块也有奇数个；还是集中于角块（或集中于棱块），需要时，可以另外说清楚就是了。

[ 本帖最后由乌木于 2009-8-25 15:30 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-8-25 15:41:25 标题: 回复 18# 的帖子

“三个角块循环就是偶数个位置偶循环”，此说没错，不过，在有的场合，比如查看一个打乱态魔方是否属于位置错装态时，在一个簇内，查得无论有无、有多少个奇循环，都属于正确（可复原），不必把奇循环折算为偶数个偶循环的。不过，在实际的复原过程中，有的复原套路就是用角块两交换公式来解决角块的位置问题，反而要把角块的三轮换态弄成角块两交换态来处理，一样的。至于把三轮换转换为两个二交换，似乎有点得不偿失。
查看有无位置错装态时，只要集中注意抓有无、有多少个偶循环。如果簇内有偶数个偶循环，没事；如果角块有奇数个偶循环，那就要注意棱块是否也有奇数个偶循环，也有，没事；否则，位置不可复原！

[ 本帖最后由乌木于 2009-8-25 17:42 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-8-25 16:45:02

看来我得把15楼我的问题说说清楚，才能让大家好答复。
三阶魔方中，由于不可能转出单单两个角块（或棱块）位置交换的情况，就要把（8！×12！）/ 2，才得到角块、棱块位置变化数。（角块和棱块都有两块交换的情况在此并未排除。）
全色四阶中，好像也是（？）不可能转出单单两个角块（或心块）位置交换的情况，是否也应该把（8！×24！）/ 2 才是角块、心块位置变化数呢？
是不是到了纯色四阶时，会有个什么事情要“乘以2”，从而抵消了我这里自说自话加入的“除以2”？
我的问题是针对有的纯色四阶总态数算式：

8！×3^7×24!×24！ / { (4!)^6×24｝

式中(4!)^6好解释－－每面四个心块无区别，共6面，故24个心块的变化数24！要除以(4!)^6 。
比如四个红心，无论它们乱七八糟地处于魔方六面的何处，认住这四个位置，四个有区别的红心（例如编号不同）在这四个位置有4！种布排。一旦四个红心没了区别，24！这一变化数不得不除以4！。另五色心块类推。故纯色时，24！要除以(4!)^6 。
分子中另一24！是24个棱块的位置变化数。棱块可以单单二交换，故不除以2。单个棱块不能在原地翻色，无色向变化，故不乘以2^24或2^23什么的。
分母中的24是消同态。

[ 本帖最后由乌木于 2009-8-25 23:26 编辑 ]

作者: jxf1991 时间: 2009-8-25 19:27:33 标题: 回复 20# 的帖子

谢谢乌木老师的解答。。我还在继续更新我的理解。。

之前的理解错误似乎是因为我的断句有问题。。

奇数个位置偶循环是否应断为：奇数个位置偶循环，而不是奇数个位置偶循环？

如果是第一种断法，那么位置偶循环是否可以理解为同一簇内两块位置互换？

谢谢！

作者: 乌木 时间: 2009-8-25 19:58:24 标题: 回复 22# 的帖子

对。也许我的文字太啰嗦，引起两种理解。指定了的一个打乱态的循环只能是块的位置循环。在重复做同一公式时，另有一种色向变化上的循环现象，在此不会和位置循环混淆的，我过分小心了，此处说的循环只能是位置循环，不必加“位置”两个字的。
一个簇内的偶循环有多种，两交换，四轮换，六轮换，八轮换，十轮换直到十二轮换，都属于偶循环。又比如，顶层四个棱块的四轮换，可以有顺时针，逆时针和多种“8字形”方式。四个棱块不在同一层时，四轮换方式更多。
此外，奇数个位置就涉及奇数个块，它们构成的循环只能是奇循环，所以，“奇数个位置＿＿偶循环”的理解法马上可以排除。

还有，簇内的一个无论多大的偶循环，用转魔方的方法总可以就在簇内转换为两块交换态的（只不过不是原来的状态了，话题转为态的转换了），至此，可以不动另一簇。但是要继续交换这最后两个块，就一定要动动另一簇的块了。PLL公式中有很多例子，凡是要两交换角块的，要么另两个角块也交换，要么有两个棱块也要交换。PLL中决无单单交换两个块的。

[ 本帖最后由乌木于 2009-8-25 21:12 编辑 ]

作者: jxf1991 时间: 2009-8-26 11:47:31 标题: 回复 23# 的帖子

谢谢乌木老师。。终于理解了

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