魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 为什么无色向簇的块无色向？ [打印本页]

作者: pengw 时间: 2008-9-8 09:04:52 标题: 为什么无色向簇的块无色向？

这又是一个弄不好就足以颠覆当前魔方理论的问题，有谁能证明无色向簇的块一定无色向？

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-9-8 10:33:52

哇,好深的问题,我看不明白啊

作者: 乌木 时间: 2008-9-8 10:38:40

这现象不能仅从机械构造说明，因为Puzzler中虚拟的全色N阶魔方也显示了这一规律。
 
高阶的非中心块的心块、非中棱块的棱块，都是这样，簇内轮换时，心块的方向、棱块的色向非常“犟”！比如，四阶的棱块轮换时，“左手棱块”调到“右手棱位”后，非切换色向不可；“左手棱块”调到“左手棱位”后，就是不肯变色向！和三阶的棱块大不同，好像这些高阶的非中棱块的棱块白给了它两个色片似的，它们个个都无法“就地翻色”的。四阶的两个紧靠在一起的“同样”棱块，看起来可以“就地翻色”，那是“魔术”（假象），实质是互换！
 
不知为什么。

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-8 10:51 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-9-8 11:16:47

请给出一个一般性的证明或描述

作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-8 13:09:58

来和忍大师、乌木老师学习

作者: earthengine 时间: 2008-9-11 19:34:01

原帖由 pengw 于 2008-9-8 09:04 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=234334&ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
这又是一个弄不好就足以颠覆当前魔方理论的问题，有谁能证明无色向簇的块一定无色向？

“当前”理论？数学理论是这么好颠覆的？恐怕你只是说你的吧。

作者: pengw 时间: 2008-9-11 20:41:46

如果你没有看懂我的前提，请再看一遍，你有什么式子用来证明无色向簇一定无色向，至少你现在连逆序对与簇奇偶性的关系都无法证明出来，还是别人帮你证明的，我也用了一个土得掉渣的方法证明了，你看看有错否。你这人是咋的，老喜欢用数学去压人，你自已又证明不了什么，真不好说你。你的兴趣好象在人身上，你不如去推翻点什么更有面子，真的。

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-11 20:43 编辑 ]

作者: bbshanwei 时间: 2008-9-11 21:39:10

问题：无色向？纯色的中块原地旋转好像也可以定义为有色相吧？

作者: pengw 时间: 2008-9-11 21:42:32

当然可以，更新版N阶定律就是这样定义的，还没有脱稿

作者: qq1627354 时间: 2008-9-11 21:57:35

嘛。。。。嘛玩意儿。。。。。这是个嘛。。啊。。。

，俺不懂

作者: 乌木 时间: 2008-9-12 09:38:50

所谓“无色向”，不是指（比如）一个棱块的两个色片一样颜色，它还是有两个不同的色片，而是该棱块无法原地翻色。比如四阶的棱块，它们和三阶的棱块大不同。三阶的可以原地翻色（只不过不能单单一个棱块原地翻色而已），四阶的棱块在原地只有确定的一种色向，要想翻色，唯有移动到另一类棱块位置，并且到了那个位置上同样不能就地变化色向。
 
此事确实奥妙，不知如何证明。

作者: Atato 时间: 2008-9-12 12:54:45

我先占一楼........

作者: Cielo 时间: 2008-9-12 20:04:34

原帖由 乌木 于 2008-9-12 09:38 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=236965&ptid=13524" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 所谓“无色向”，不是指（比如）一个棱块的两个色片一样颜色，它还是有两个不同的色片，而是该棱块无法原地翻色。比如四阶的棱块，它们和三阶的棱块大不同。三阶的可以原地翻色（只不过不能单单一个棱块原地翻色而已 ...

我平时手头总拿着3阶魔方，对高阶的思考就少了<IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border=0 smilieid="10"> 
 
就用乌木先生的例子，四阶的棱块经过若干步（90°算一步）转动后，回到原位，那么步数一定是偶数。
 
不知道这个“偶数”与色向不能改变有没有关系。
 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
 
另外一种想法：对四阶的棱块来说，我们设一开始魔方中心位于空间中的O点，而这个棱块的中心A（就是小正方体的中心）原来位于空间中的B点。不管这个棱块转动到了魔方的什么位置，我们保持魔方中心仍位于O，通过整体转动，将此棱块的中心A仍转到与B重合，那么它的两面上的颜色与初始时刻方向相同。
 
所以若棱块被转回原位，就相当于上面整体转动魔方的步骤省略掉了，所以色向不变。

作者: pengw 时间: 2008-9-12 20:29:52

顺便问一句，Cielo是如何联想到逆序对与簇奇偶性关联的，确实是一个很妙的思路。

作者: earthengine 时间: 2008-9-13 16:45:13

原帖由 pengw 于 2008-9-12 20:29 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=237466&ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
顺便问一句，Cielo是如何联想到逆序对与簇奇偶性关联的，确实是一个很妙的思路。

请参考我的更早帖子。这个思路在任何一本《线性代数》的教材都有，谁都不是原创。另外，证明“不可能”的命题，寻找不变量是一般的思路。

原帖由 earthengine 于 2008-9-5 17:29 发表 <a href="redirect.php?goto=findpost&pid=232287&ptid=13343" target="_blank"><img src="images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
下面是一个证明思路：1、找到一个描述所有置换情况的数字，它总是在偶置换时为偶数，奇置换时为奇数。2、证明每个相邻位置的对换总是改变这个数字的奇偶性。相邻位置可以通过用某种方式来排序所有位置来定义。3、证明 ...

作者: earthengine 时间: 2008-9-13 17:49:25

原帖由 Cielo 于 2008-9-12 20:04 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=237435&ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>

 
我平时手头总拿着3阶魔方，对高阶的思考就少了
 
就用乌木先生的例子，四阶的棱块经过若干步（90°算一步）转动后，回到原位，那么步数一定是偶数。
 
不知道这个“偶数”与色向不能改变有 ...

Cielo，我提示一下估计你就能明白了，即使别人可能还不明白。 1、把魔方的层转面转看成无数个点在整体变换位置（在同一个块里，这是连续变换，因此相邻的点变换到的位置也相邻！）。 2、魔方的一个块有方向，是因为在某些变换下，这个块的某个点回到了原位（称为不动点），而其它点则改变了位置。如果一个块在任意变换下都不存在不动点时，它将没有色向变化。原因是它的整体位置唯一决定了它所有点的位置，因此不会再有方向的变化。 3、需要证明：每个点在任意变换下最多只能到达24个不同位置。 4、需要证明：在魔方的任意变换下，只有26个可能的不动点：8个角的端点，12条棱的中点，以及6个面的中心点。 5、这样，高阶魔方存在无色向块的原因是它们存在不含有不动点的块。 我先发到这里，如果你说不能完成证明，我后天贴3的证明。 

[ 本帖最后由 earthengine 于 2008-9-13 19:08 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2008-9-13 17:58:54

原帖由 pengw 于 2008-9-12 20:29 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=237466&ptid=13524" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 顺便问一句，Cielo是如何联想到逆序对与簇奇偶性关联的，确实是一个很妙的思路。

我只是联想到簇奇偶性与排列的奇偶性有关，而不是联想到逆序对与簇奇偶性关联的。
 
因为正如earthengine所说，“逆序对”只不过是用来说明“奇排列、偶排列”的定义的工具。

作者: 乌木 时间: 2008-9-13 18:41:29

16楼所说的“4、需要证明：在魔方的任意变换下，只有26个可能的不动点：8个角的端点，12条棱的中点，以及6个面的中心点。 5、这样，高阶魔方存在无色向块的原因是它们存在不含有不动点的块，”是否可以和立方体的二次对称轴和三次对称轴以及四次对称轴相联系？那三种轴在四阶魔方上只有三次轴穿过角块，穿过的点就是“不动点”；另两种轴都没有穿过魔方块，以致四阶的棱块和心块就“找不到北了”（即所谓“无色向”）。对吗？

作者: earthengine 时间: 2008-9-13 18:46:27

原帖由 乌木 于 2008-9-13 18:41 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=238184&ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
16楼所说的“4、需要证明：在魔方的任意变换下，只有26个可能的不动点：8个角的端点，12条棱的中点，以及6个面的中心点。5、这样，高阶魔方存在无色向块的原因是它们存在不含有不动点的块，”是否可以和立方体的二次 ...

你的初步想法是正确的，不过还有待严格的数学证明。

作者: pengw 时间: 2008-9-13 21:54:50

真不明白16楼在说什么，你这也提示那也数学，可是到头来，所有证明思路都跟你无关，所有证明都要别人替你完成，你到底在自豪什么，再看看你那些冗长无序的归纳，别人几句话就完成了，难到数学目标就是让人越搞越乱，还是你根本不懂数学的意义？还是根本不知道自已在说什么？

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-13 22:25 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-9-15 19:18:34

原帖由 earthengine 于 2008-9-13 17:49 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=238143&ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
Cielo，我提示一下估计你就能明白了，即使别人可能还不明白。1、把魔方的层转面转看成无数个点在整体变换位置（在同一个块里，这是连续变换，因此相邻的点变换到的位置也相邻！）。2、魔方的一个块有方向，是因为在某 ...

命题：在魔方表面随便点一个点，其坐标为(x,y,z)，如果一个公式f能把魔方表面上的这个点移动到(x',y',z')，那么必定有一个整体翻转的动作，也能做到这点。 证明：如果F的长度为0，那么F是空公式，显然这时候“不动”的整体翻转就与它等价。 假设f的长度为n时命题成立，那么长度为n＋1的任意公式可以写成fX，这里f是一个长度为n的公式，而X是一个基本转动（层转／面转90度或者180度）。设f把(x,y,z)移动到了(x',y',z')，因为f长度为n，因此有一个整体翻转c能把(x,y,z)转到(x',y,'z')。如果X对(x',y',z')没有影响，那么这时候因为X对(x',y',z')没有影响，所以这个c已经符合要求。如果X把(x',y',z')进一步移动到(x'',y'',z'')，由于在N阶正方体魔方里面，所有基本转动都是绕某一通过中心的轴线转动90度／180度，因此这个X也不例外。那么与之对应的有一个相同轴线上转90度／180度的整体翻转C，它同样把 (x',y',z')移动到(x'',y'',z'')。这样，容易看出cC就可以满足定理的要求。从而定理得证。 以上证明了任意点所能到达的位置均可通过整体翻转到达。但是因为整体翻转只有24态，因此任意点所能到达的位置只有24个。

作者: 乌木 时间: 2008-9-15 21:03:09

据21楼所述，即可明白一个“有色向”块为何“有色向”，一个“无色向”块为何“无色向”。你琢磨琢磨下面的例图：三阶的某个棱块的某一色片有如图所示的24个可去之处；四阶的某个棱块的某一色片的24个允许的落脚点又是什么样的！
　　　
　　　　　一片色片可达的24个位置.GIF

附件: 一片色片可达的24个位置.GIF (2008-9-15 21:03:09, 8.61 KB) / 下载次数 5
http://www.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MjU0NDZ8ODExMDVlOTF8MTcxNTk5NDAxOHwwfDA%3D

作者: earthengine 时间: 2008-9-15 22:28:58

原帖由 乌木 于 2008-9-15 21:03 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=240078&ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
据21楼所述，即可明白一个“有色向”块为何“有色向”，一个“无色向”块为何“无色向”。你琢磨琢磨下面的例图：三阶的某个棱块的某一色片有如图所示的24个可去之处；四阶的某个棱块的某一色片的24个允许的落脚点又 ...

你的理解很到位。对于角块可以同样用色块分析。但是对于面心块，只能将它切成4块再分析了。不过因为证明的时候我用的是点，因此不受影响，所有这些情况都能适用。 这个证明是一个很好的例子，说明对于“整体翻滚”的研究有助于理解很多魔方现象。

作者: 乌木 时间: 2008-9-15 23:24:37 标题: 回复 23# 的帖子

四阶的心块也可以不切成四块，画个箭头上去，它就有（箭）头、（箭）尾、（箭）左、（箭）右之朝向区分了。同一心块在24个心块位置上，其箭头的朝向个个都是确定不变的，也即它无论移动到什么心块位置，在该处再怎么倒腾都是无法就地变向的。这一顽固性，你可以到Puzzler中用全色四阶实际看到的。

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-15 23:40 编辑 ]

作者: earthengine 时间: 2008-9-17 17:36:11

原帖由 乌木 于 2008-9-15 23:24 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=240168&ptid=13524" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
四阶的心块也可以不切成四块，画个箭头上去，它就有（箭）头、（箭）尾、（箭）左、（箭）右之朝向区分了。同一心块在24个心块位置上，其箭头的朝向个个都是确定不变的，也即它无论移动到什么心块位置，在该处再怎么 ...

我说的心块专指奇数阶最中央的那个块。要分析那个块的变化需要把它切成4块。 对于偶数阶的面块，如上所述，你在上面随意选2个点（比如象你说的画个箭头，箭头的首尾两点就可以），这两个点肯定都是一起移动的，且因为每个点都有24个位置，确定了一个点的位置另一个就确定了。所以它不可能再有别的方向。相反，奇数阶中央心块有一个不动点，因此它到不了全部24个位置。因此当箭头起点选在该点时，起点不动的情况下终点还能移到别的位置，这样就形成了方向。

作者: 乌木 时间: 2008-9-17 23:13:43

也就是说，奇阶魔方的六个中心块是有方向性的块，不属于本帖题目的讨论对象。

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://www.mf8-china.com/)