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标题: 三阶棱块簇整体滚转命题证明 [打印本页]

作者: pengw 时间: 2008-9-1 20:10:12 标题: 三阶棱块簇整体滚转命题证明

初始状态是还原状态，角簇和心块簇保持不变的前提下三阶棱块簇整体做任意滚转，滚转之和是90度的偶数倍，则获得的状态一定是合法状态。

作者: 乌木 时间: 2008-9-1 20:23:00 标题: 回复 1# 的帖子

想开点的话，初态可以是正确魔方的任一转出态，不限于复原态，对吗？如何证明不会，补个图吧：
 
    棱块整翻12态.GIF

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作者: kexin_xiao 时间: 2008-9-1 21:47:33

坐板凳学习!

作者: pengw 时间: 2008-9-1 22:07:38

回1楼，对任何状态都成立，有时为了简化分析环境有意设得简单，推到一般性是必然的

作者: pengw 时间: 2008-9-1 22:09:58

有没有那位数学高手愿意展示数学才华？

作者: 乌木 时间: 2008-9-2 00:14:47

检点各态棱块的奇环数、偶环数，再判断合法态还是非法态，然后归纳出1楼的命题，算不算证明？如果不算，只能期待答案了。

作者: pengw 时间: 2008-9-2 07:11:51

回楼上，由于已知的滚动方式有24种，对每一种使用N阶定律方法进行判断，终后归纳出结论，显然是合法的证明。但有使用N阶定律更直接的一步到位方法证明，请再次深入分析

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-2 07:13 编辑 ]

作者: 魔鱼儿 时间: 2008-9-2 09:47:04

这问题乌木回答很专业,呵呵

作者: pengw 时间: 2008-9-2 10:27:20

刚才又想了一下，如果起始状态是任意的，乌木的证明方法还有效吗？

作者: 乌木 时间: 2008-9-2 11:05:00

下图用加引号的符号表示棱块簇整体旋转，比如“U”表示棱簇整体像表层动作U似的旋转。从图中可看出，合法态的棱簇做（比如）“U”或“U'”时，魔方发生3个偶轮换，得非法态；合法态做（比如）“U2”时发生6个二置换，仍得合法态；非法态做（比如）“U'”或“U”时得合法态；非法态做（比如）“U2”得非法态，等等。
 
这样，棱簇整体转所得的24个态，相互之间的变化关系可以如图所示－－由某一已经判定合法或非法的态经过棱簇整体一次90°或一次180°而得，结果就是各态全都落实了合法非法性。
 
不妨称之为“滚雪球”法。
 
 棱块整翻12态-2.GIF

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-2 11:22 编辑 ]

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作者: 乌木 时间: 2008-9-2 11:17:00 标题: 回复 9# 的帖子

对，如果初态为任一合法态，那么，不能简单采用6楼方法（各态各自检点棱的成环情况），得先检点角块的成环情况，据角块成环情况的不同（扰动或非扰动），加上棱块成环情况如何，方可判断整个魔方态合法或非法。如果采用10楼方法，则不必各态检点，但由于角块和中心块是打乱态，不够直观。
 
初态为任意态时，证明方法有讲究，但1楼的命题还是成立的，与扰动非扰动无关的吧？
 
 

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-2 11:34 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2008-9-2 11:37:14

先考虑棱块簇位置，无论朝哪个方向整体滚转90°，都是在原有状态的基础上进行了3个4-轮换。
 
再考虑棱块簇色向，由于对称性，如果某一棱块色向发生了（或没发生）改变，那么与之关于旋转轴（就是棱块簇整体滚转的轴）对称的那块的色向也发生了（或没发生）改变，所以色向错误的棱块数总是偶数，也就是说在色向上总是合法的。
 
4-轮换是奇置换，3个4-轮换也是奇置换，所以任意合法状态经过棱块簇整体滚转90°都变为非法状态。
但如果进行偶数次滚转，那么就是合法状态。

作者: pengw 时间: 2008-9-2 11:52:24

12楼已经意识到最直接的方法，不错，任何一次90度滚转伴随三个四轮换（意识到这一点是关键），实际上已经改变了棱簇的奇偶性，根据N阶定律中，三阶的扰动法则，必然导致角簇改变奇偶性，所以独立的棱棱簇90整体转动是不可能的，而偶数次90度整体转动实质上进行偶数次偶元置换，不改变棱簇的奇偶性，自然可以独立完成。

作者: 乌木 时间: 2008-9-2 12:02:42 标题: 回复 12# 的帖子

正是。把此处所得的非法态看作错装态，它还是服从魔方规律，故非法态的棱簇整体继续转90°，相当于前一合法态棱簇整体转180°，得合法态；或者非法态的棱簇整体逆转90°，则回到前一合法态。每一次棱簇整体转90°或－90°，总是使状态在合法非法之间切换一下。所以改变方向的一连串棱块整体转，也是这样一步一切换，所以1楼命题成立。

[ 本帖最后由乌木于 2008-9-2 12:05 编辑 ]

作者: pengw 时间: 2008-9-2 13:46:39

回上楼，依据N阶定律的扰动规律，棱簇整体90转是可行的，但必然在角簇和心簇留下痕迹，再转90度就从这二簇中擦除了痕迹，所以不能说成是在“合法非法之间切换”，所有转动得到的状态都是合法的。

作者: 乌木 时间: 2008-9-2 23:16:32

原帖由 pengw 于 2008-9-2 13:46 发表 <A href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=230223&ptid=13332" target=_blank><IMG alt="" src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" border=0></A> 回上楼，依据N阶定律的扰动规律，棱簇整体90转是可行的，但必然在角簇和心簇留下痕迹，再转90度就从这二簇中擦除了痕迹，所以不能说成是在“合法非法之间切换”，所有转动得到的状态都是合法的。

1楼说了，“角簇和心块簇保持不变的前提下”；这里又改口说“留下痕迹”，是否题目条件改变了？

作者: pengw 时间: 2008-9-2 23:27:56

正如三置换完成之前差不多有一大半的块在跑来跑去，变完后，只有三块没有跑回去。

作者: noski 时间: 2008-9-3 00:45:07 标题: 回复 15# 的帖子

顶一下12楼，三个四轮换的说法说得很明白。 
15楼pengw说会留下痕迹，那么对于偶阶看不见的心簇，和高阶魔方内部看不见的簇，它们都可能会留下看不见的痕迹吧？这样的话，高阶魔方是会出现表面看起来就是三个四轮换的状态。

作者: pengw 时间: 2008-9-3 08:03:19

很少见到NOSK1活动了，有没有三个四元置换这种问题，其实得由扰动方程来决定，三阶扰动方程： 
 
S=A（角）+M（棱）+H（心），M簇有三个四元置换，则A簇M簇一定得扰动（这就是痕迹），M再做三个四元置换则恢复到非扰动态，A簇也随之恢复到非扰动态，余下的问题只须要三元置换将A簇清理成基态，独留下一个M簇二次90度滚转的结果。 
 
至于偶阶簇，所有簇完全就是随意滚转，因为任意一滚都是偶数个偶元置换
 
至于奇阶簇，除了M簇，所有簇都可以随意滚（每一滚都是偶数个偶元置换），心块簇做为参照显然没有必要去滚

[ 本帖最后由 pengw 于 2008-9-3 12:29 编辑 ]

作者: bbshanwei 时间: 2008-9-3 20:49:37

LZ每次提出的问题都好深奥。不懂理论还真是不容易懂和思考清楚啊。

作者: pengw 时间: 2008-9-3 23:37:19

理论也没有想像的难

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