数学智力题

chuchudengren

1.S先生和P先生谜题
有两个自然数在2和99之间，S知道这两数的和，而P知道这两数的积，他们两人进行了如下对话
S：我知道你不知道这两个数是什么，但我也不知道
P：现在我知道这两个数了
S：现在我也知道这两个数了
请问这两个数是多少
（很经典的题目，应该不少人见过）

2元旦那一天是星期六的次数多还是星期天的次数多
可以肯定不一样多啊

Paracel_007

元旦那个嘛。。。400年一个循环。。。
第一个没想出来。。。

战斗机

假设所取的两个自然数分别为a、b，a+b=A，a*b=B
从NA的“虽然我不知道，但是我敢肯定NB也不知道。”这句话中我们可以做出以下判断：
   首先(1)A不能表示成两个质数之和,否则NB能立即判断出a、b两数。(2)A<55。因为A>=55时,A能表示为53+x的和(其中53为大于50的最小质数),如果所取得两个数为53、x，那么NB通过计算马上就能把B分解成53*x的形式，并同时判断出a、b不可能为53和x以外的数，否则a、b中有一数就会超过100，那么NA就不会说“虽然我不知道，但是我敢肯定NB也不知道。”这句话。
   然后我们可以判断A不等于55以内的偶数，因为55以内任何一个大于6的偶数都能表示成两个质数相加的形式（由哥德巴赫猜想在小于55以内都成立所得），而2、4、6很容易判断不可能是NA所知道的数。
   所以A为55以内的奇数，那么a与b必然一奇一偶。我们可以把1、3、5、7、9、13、15、19、21、25、31、33、39、43、45、49排除其等于A的可能，其中1、3太小不可能是A，其他被排除的数都能表示成“2+质数”之和的形式，所以也不会是A。
   由此我们只剩下11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53这11个数可能为A。不难验证这11个数都不能表示成两个质数之和且都小于55，所以只有在NA看到这11个数的时候，他才会说“虽然我不知道，但是我敢肯定NB也不知道。”这句话。

NA的第一次回答之后，以上的结论NB都已经推断出来(这是个重要条件)
接下来我们对这11个数中的10个排除其等于A的可能性。（1）11可分解为2+9和4+7。若最初所取的两个数是2和9，那么B可以被分解为B=2*9=3*6，这时NB就会排除3*6的可能性而做出判断(因为3+6=9，9不在11个数之列)；若a、b两个数是4和7，那么B=4*7=2*14，这时NB会排除2*14(因为a、b两数一奇一偶)而做出判断。所以若A=11，那么在2、9和4、7两组数中NB都能做出判断，这样的话NA在第二次回答时就不能判断出那两个数究竟是什么了。11被排除（2）23可分解为4+19和16+7，由于a、b两数一奇一偶，所以NB对这两种情况都能判断a、b两数，如此NA第二次也无法判断。23被排除。（3）27可分解为4+23和8+19，27被排除(原因与23相同)。(4)29=25+4=13+16。若a、b两个数是25和4，那么B=25*4=5*20=2*50，NB会排除5、20(因为20+5=25，25不在11个数之列)，也会排除2、50，所以NB对这两种情况都能判断a、b两数，如此NA第二次也无法判断。29被排除.。(5)35=4+31=16+19,35被排除(原因与23相同)。(6)37=8+29=32+5,37被排除(原因与23相同)。(7)41=4+37=16+25,若a、b两个数是4和37，那么NB能判断a、b两数，若a、b两数为16和25，则B=16*25=80*5(其他情况都为两个偶数相乘)，NB可以排除80*5而做出判断。两组数NB都能做出判断，41被排除(8)47=4+43=16+31,47被排除(原因与23相同)。(9)51=4+47=8+43,51被排除(原因与23相同)。(10)53=16+37=32+21,若a、b两个数是16和37，那么NB能判断a、b两数，若a、b两数为32和21，则B只可能等于32*21(其他情况为两个偶数相乘或有一数大于100)，两组数NB都能做出判断。53被排除（注意：我们在排除数字的时候可以发现当A=2n+质数 时，NB必能做出判断。所以我们在分解A时可有所针对，这样有利于更快排除数字）

最后我们讨论17。17=2+15=4+13=6+11=8+9=10+7=12+5=14+3，(1)当a、b为2和15时，B可以被分解为B=2*15=5*6，此时2+15=17，5+6=11，两数和都在11个数之列，所以NB无法判断。(2)当a、b为4和13时，NB可以判断。(3)当a、b为6和11时，B=6*11=2*33，NB无法判断(原因与2、15相同)。(4)当a、b为8和9时，B=8*9=24*3，NB无法判断(原因与2、15相同)。(5)当a、b为10和7时，B=10*7=2*35，NB无法判断(原因与2、15相同)。(6)当a、b为12和5时，B=12*5=3*20，NB无法判断(原因与2、15相同)。(7)当a、b为14和3时，B=14*3=2*21，NB无法判断(原因与2、15相同)。
所以只有在A=17时NB有唯一的能判断a、b的情况，此时NA第二次才能回答“现在我也知道了”这句话。且a、b两数为13和4

chuchudengren

不会是自己想出来的吧

战斗机

这个之前看到过的。
这道题和哥德巴赫猜想有关系，以前在学习哥德巴赫猜想的时候有看到，所以就把答案贴上来了

Paracel_007

3楼的答案我越看越晕。。。